直角双曲線上に３頂点をもつ三角形の垂心が同一双曲線上にあることの幾何的な証明

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1 直角双曲線上に３頂点をもつ三角形の垂心が同一双曲線上にあることの幾何的な証明
　　　　　　　　　　　小野田　啓子 聖徳大学附属聖徳中学校聖徳高等学校

2 はじめに 三角形の頂点を図形や曲線の上で動かし，内心，外心，重心，垂心の軌跡を調べたことが契機
垂心の軌跡は何故そうなるのか理由が分からなかった

3 垂心の軌跡 直角双曲線上で３頂点を動かしたとき，垂心は同一双曲線上にあることに気付いた
上の3点A，B，Cを結んでできる△ABCの垂心は，計算によれば簡単に直角双曲線上にあることが分かる

4 計算による証明で結果を説明することはできたが，何故このような関係があるのかという疑問が残った
幾何的な証明を行なおうとした動機 　計算による証明で結果を説明することはできたが，何故このような関係があるのかという疑問が残った 　直感的に理由が分かりやすい幾何的な証明ができれば，三角形の垂心と直角双曲線との関係が分かるのではないか

5 直角双曲線の角度に関する性質 『2定点を結んだ直線Lと，その2定点をそれぞれ通る直線がLとなす角度の差が一定である点の集まりは直角双曲線となる』　　（大阪教育大附属高等学校池田校舎　友田勝久先生より）

6 直角双曲線の幾何学的性質 直角双曲線 xy=k 上にある，原点対称な2点をA，Dとする。
この双曲線上の2点をP,Qとすれば，座標で計算すると， 　傾き(PA) = －傾き(PD) 　傾き(QA) = －傾き(QD) となる。よって，∠PAQ = ∠PDQ が成り立つ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪教育大附属高等学校池田校舎　友田勝久先生より）

7 〔証明〕 【直角双曲線上の三角形に成り立つ性質】 直角双曲線上に任意の3点A，B，Cを取り，△ABCを作る。 〔性質ⅰ〕
頂点Aの原点に関して対称な点をD(＝－A)とする。このとき，頂点Bを双曲線上のどこに取っても，直線ACとx軸とのなす角をδとすると， ∠BAC－∠BCA＋∠CBD＝2δ・・(ⅰ) が成り立つ。この関係は，他の 各頂点と角に対しても同様に成 り立つ。

8 〔性質ⅰ〕の証明 右の図で，∠BAC=α，∠BCA=β，∠CBD=εとおく。 点Bを通るx軸に垂直な直線lに関して，点Aと対称な点をA’とすると， 〔直角双曲線の幾何学的性質〕から， 　　　傾き(AB)＝－傾き(BD) ゆえに，直線ABとBDは直線lに関して対称な直線であり，点A’は直線BD上にある。 よって， 　　　∠BA’B’= ∠BAB’=α より， 　　　∠BA’’B’=α+ε 直線ACとx軸とのなす角をδとすると， 　　　∠A’’B’C=2δ 　　　β+2δ=α+ε 　 　　α－β+ε= 2δ・・・(ⅰ) ここで，2δはA，Cが変わらなけれ ば一定となるので， α－β+εの値 は一定である。

9 〔性質ⅱ〕 　直角双曲線上にある点Pに対して， 　　fAC(P)=∠PAC－∠PCA と定義するとき， fAC(B)= fAC(H)となる点Hが，同じ双曲線上に頂点B以外に1点だけ存在する。このとき〔性質ⅰ〕から，∠BAH＝∠BCH・・・(ⅱ)が成り立つ。

10 〔性質ⅱ〕の証明 　頂点Bと点Hに対して，(ⅰ)より「 fAC(B)= fAC(H) 」と「∠CBD＝∠CHD」は同値である。 なぜならば，頂点Bと点Hに対して， α－β= 2δ－ε ・・(ⅰ)　は， 　　fAC(B)=2δ－∠CBD 　　fAC(H)=2δ－∠CHD となるが，2δは点A，Cが変わらなければ一定であるから， 「 fAC(B)= fAC(H) 」⇔「∠CBD＝∠CHD」 　いま，頂点Bに対して，△BCDの外接円を描くと，双曲線との交点は点B，C，D以外に1個存在する。 この点をHとすると，円周角の定理より， 　　∠CBD＝∠CHD よって， 　　fAC(B)= fAC(H) すなわち， 　　∠BAC－∠BCA＝∠HAC－∠HCA ゆえに， 　　∠BAH＝∠BCH・・・(ⅱ)　 　　　　　　　〔性質の証明終〕

11 直角双曲線上にある△ABCの垂心が同じ双曲線上にあることの証明
　直角双曲線上に頂点がある△ABCにおいて，頂点Aの原点に関して対称な点をD(＝－A)とする。 　このとき，△BCDの外接円と双曲線の４つの交点のうち点B，C，D以外の点をHとすると， 〔性質ⅱ〕より， 　　∠BAH=∠BCH・・・① 頂点BとCを入れ替えても成り立つので， 　 　∠CAH=∠CBH ・・・② 直線AHとBC，直線BHとAC，直線CH とABの交点を，それぞれL，M，Nと する。 ②と円周角の定理の逆から，4点A，M， L，Bは同一円周上にある。 よって，円周角の定理および①から， 　∠BAL=∠BML=∠HML=∠HCL ゆえに，4点L，C，M，Hは，同一円周 上にあり，円に内接する四角形LCMHの対角の和から， 　　∠HLC+∠HMC=180°・・・③

12 また， 　△ABL∽△CBN （①より２角相等） 　△AHM∽△BHL（②より２角相等） より， 　∠ALB=∠CNB=∠BMA・・・④ ④より， 　∠HLC=∠HMC・・・⑤ ③，⑤より，∠HLC=∠HMC=90° 　よって，AL⊥BC，BM⊥AC，④か らCN⊥ABであるから，点Hは△ABC の垂心である。 　以上から，直角双曲線上にある△ABCに対して，①，②を満たす点Hが 同じ双曲線上にただ１つ存在して，点Hは△ABCの垂心であるから，直角 双曲線上にある△ABCの垂心は，同じ直角双曲線上にある。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〔証明終〕

13 授業後の生徒の感想 興味を持った性質をかいてください。 ・モアレの図（2名） ・いろいろな図形の垂心，外心，内心，重心の軌跡。
・直角双曲線上の三角形の垂心は，その曲線上にあること。 感じたこと思ったことなどの感想を自由に書いてください。 ・いかにも入試問題のようなものにも，美しい図形的性質がかくされて 　いてとてもおもしろいと思いました。 ・とてもおもしろかった。図形の性質につながるところが，やはり数学 　の知識の奥深く，おもしろいところだと思った。単に「こういう性質 　です。」ということじゃなくて，応用・発展していくところが，数学 　はすごい！それに改めて気づいて，より数学に興味が湧いた。 ・図形的な性質がいろいろあることが分かった。 ・頂点が対辺に平行に動くときの垂心が，一定の動きをするのが不思議 　でした。

14 研究のまとめ 直角双曲線と三角形の垂心の幾何的な関係を考えたことで，直角双曲線上の点の興味深い角度に関する性質を知ることができた。
　直角双曲線と三角形の垂心の幾何的な関係を考えたことで，直角双曲線上の点の興味深い角度に関する性質を知ることができた。 　生徒が曲線のさまざまな性質に出会って心を動かされる経験は，数学への興味・関心を高めることにつながるのではないかと思う。今後も，このようなきれいな性質の探求を続け，授業に取り入れて行きたい。 〔謝辞〕　大阪教育大学附属高等学校池田校舎　友田勝久先生には，直角双曲線の幾何的性質に関すること，および証明を見通しのよいものにするために数々の貴重なご助言をいただきました。心から感謝を申し上げます。