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4.3 連立1次方程式   Ax = b   (23) と書くことができる。

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1 4.3 連立1次方程式   Ax = b   (23) と書くことができる。

2 行列 A とベクトル b が既知で、x の n 個 の要素が未知であるとする。次のような 係数の行列に右辺項を加えて拡張された 行列   B= を考えると、連立1次方程式が解をもつ    ための必要十分条件は rank A = rank B (24) が成り立つことである。

3 |A|≠0 の場合は,逆行列 A-1 が存在するので
      (25) がただ1つの解である。ここに、行列式 |A| における要素 ai j の余因子 Ai j による行列をつくり、それを転置させて得られる行列を余因子行列といい、 次のように書く。   の定義と行列の積の定義から            (26) が得られる。→ Cramer(クラーメル)の公式

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5 -14 2 4 5 -1 -1 2 11 -1 -3 例題2 解 問題の連立方程式は次のように書ける。
解 問題の連立方程式は次のように書ける。 -14 2 4 5 -1 -1 2 11 -1 -3 1×(-1)×2 +1×3×3+1×2×4  - 1×(-1)×3-1×2×2-1×3×4=2

6 P.112~ 3.4.4 ガウスの消去法 連立1次方程式を解く解法としては,ガウスの消去法(Gaussian elimination),ガウスジョルダン法(Gauss-Jordann elimination),LU分解法,ガウス・ザイデル法などが知られている. ここでは,これらのうちで比較的分かり易く,かつ,実用的でもあるガウスの消去法を使うこととする.

7 3-3  3    9    ×(3/2) 1-1  1    3    ×(1/2)  まず,x1 の係数に着目し,  式(b)-式(a)× rb, rb = (式(b)のx1項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 3/2 式(c)-式(a)× rc, rc = (式(c)の x1 項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 1/2 により,次のように変形する.

8 次に,x2 の係数に着目し, 式(c′)-式(b′)×r c‘ , rc’ = (式(c′)の x2 項の係数) / (式(b′)のx2項の係数) = 1/2により,次のように変形する.
ここまでの操作を前進消去と呼ぶ. -1   -2   -3 -1-(-1) 3-(-3) 1-(-2)

9 前進消去により得られた連立1次方程式で, まず式(c″)より   x3 =6/3=2 が求められる. 次に,この結果を式(b′)に代入すると  x2 =[-6-{(―4)×2}]/(-2)=-1 が求められる.さらに,これらの結果を 式(a)に代入すると  x1=[8-(4×2)-{6×(-1)}]/2=3 が求められる.このようにして解を求める操作を,後退代入と呼ぶ.


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