スペクトル法による数値計算の原理 -一次元線形・非線形移流問題の場合-

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1 スペクトル法による数値計算の原理 -一次元線形・非線形移流問題の場合-
地球流体力学研究室 荻原弘尭 所属に地球流体研究室を入れる　日付も発表日の日

2 0：目次 1: 目的 2: 離散化と差分近似 3: 1次元線形移流方程式の場合 4: スペクトル法の特徴 5: 1次元非線形移流方程式の場合 6:スペクトル法による数値計算の流れ 7: 今後の目標と参考文献

3 1：目的 ・大気大循環モデルなどで用いられるスペクト ル法の基礎を理解し, 実際にスペクトル法を 用い線形問題と非線形問題を解けるようにな る ・今回の発表の目的 -1次元移流問題を例にとり, スペクトル法の 特徴と原理を見る 修正必 ・スペクトル法は全球の大気大循環モデルのよ うに境界条件が比較的簡単で高精度が求め られる分野で用いられている. 大気大循環モデルについて自分で説明できるようにして口頭説明になるので補助資料を用意しておく これはレベル1の目的なので最終的に何が知りたいかを考えておく

4 2：離散化と差分近似 ・離散化 -連続した値を有限個の点での値で表現すること ・その分けた点を分点という.
・離散化 -連続した値を有限個の点での値で表現すること ・その分けた点を分点という. 区間 　　 を等間隔に分点　　　　　　　　　　　で分けたとき ・差分近似 -微分を分点での値で表現する近似 例：中心差分の場合

5 3-1：1次元線形移流方程式の場合 1次元線形移流方程式 初期条件： 境界条件： を考えてみる.
1次元線形移流方程式 　初期条件： 　境界条件： 　を考えてみる. 　 厳密解がわかっているので数値解とひかくすることができるのでこれを用いるということを書いとくか口頭説明 簡単に理解するためにフーリエ級数を用いたスペクトル法をやる

6 3-1-1： 1次元線形移流方程式の場合 ～差分法～
3-1-1： 1次元線形移流方程式の場合 　　～差分法～ を差分法で解く. １：差分近似を行い に代入 2： を解く

7 3-1-2： 1次元線形移流方程式の場合 ～スペクトル法～
3-1-2： 1次元線形移流方程式の場合 　　　　　　　　～スペクトル法～ 1:境界条件を満たす滑らかな直交関数系を用 　　いて展開 　　-今回は展開関数は三角関数 2:偏微分方程式の残差　 を算出 フーリエ級数で展開するとｋが-∞から+の∞まであるはずなのでN次の項で切って考える 説明を手順のコピペに

8 3-2-1：スペクトル法による線形問題 ～重みつき残差法～
3-2-1：スペクトル法による線形問題 　　　　～重みつき残差法～ 3:重みつき残差法　　 　　-残差 に重み関数 をかけて領域積分したもの が となるとみなして展開係数に関する常微分方 程式を得る方法. 今回は領域は 　で は 三角関数の直交性から

9 3-2-2：スペクトル法による線形問題 ～性質～
後はこの結果から が求められる. これは各モードが位相速度1で の正の方向に動いていて厳密解 と同じ性質である. 修正必 位相速度も説明必要（口頭で説明できるならよし） 厳密解u(x,t)=f(x-ｔ)を書く

10 4：スペクトル法の特徴 長所 例：1次元線形移流問題 -偏微分を差分近似することに伴う誤差がない
長所 例：1次元線形移流問題 　-偏微分を差分近似することに伴う誤差がない 　-展開の収束が非常に速い場合がある 　-常微分方程式が非常に簡単になる場合がある 短所 例：1次元非線形移流問題 -展開関数系が簡単に構成できない場合がある -展開係数と分点上の物理量との変換コストがかか る -非線形問題を扱うとき別に工夫が必要 非常に速い→Jの数がより少なくても収束するということ（解析解と同じになる） 長所や短所の説明の補足資料を作っとく例えば（非常に速いのところのどういう場合かとか） 短所の部分の例や説明は口で説明するか書いとく

11 5-1：1次元非線形移流方程式の場合 1次元非線形移流方程式 境界条件と初期条件は線形の問題と同じとする ・非線形の場合は線形問題と異なり変換法が 必要になる 厳密解はf（ｘ－ut)

12 5-2：1次元非線形移流方程式の場合 ～差分法とスペクトル法～
5-2：1次元非線形移流方程式の場合 　　　　～差分法とスペクトル法～ 線形問題と同様に行うと 差分法 スペクトル法 Rをつくるところを手順の１，２ということにして１，２を書いておくとウソにはならない

13 5-3： スペクトル法による非線形問題 ～計算量～
5-3： スペクトル法による非線形問題 　　　　～計算量～ これを解けば良いがこのまま計算したら の項は が各 について 個の総和があるので計算量が合計で となってしまう. 変換法を用いると計算量を まで下げることができる なんでO（N^2）になるかを書く 変換法を用いると計算量O(Nlog_2N)まで下げることができる

14 5-3： スペクトル法による非線形問題 ～変換法～
5-3： スペクトル法による非線形問題 　　　　～変換法～ ・非線形項をそれぞれかけるのではなくまるごと変換して計算する方法 ①展開係数から分点上での値への変換 ②分点上での非線形項の評価 ③数値積分による非線形項の展開係数の計算

15 6：スペクトル法による数値計算の流れ 線形問題 非線形問題 フーリエ逆変換 フーリエ逆変換 変換法 時間積分 時間積分 フーリエ変換
　　　線形問題　　　　　　　　非線形問題 フーリエ逆変換 フーリエ逆変換 変換法 時間積分 時間積分 タイトル　にまとめ：1次元移流方程式 離散→高速 フーリエ変換 フーリエ変換

16 7:今後の目標と参考文献 今後の目標 -スペクトル法を用いて計算コードを作ってみる 具体例として線形移流問題と非線形移流問
今後の目標 -スペクトル法を用いて計算コードを作ってみる 　　具体例として線形移流問題と非線形移流問 　　題を数値的に解いてみる -大気大循環モデルにおいてスペクトル法はどう使わ れているかを調べる 参考文献 ‣石岡圭一,2004:スペクトル法による数値計算入門,　 東京大学出版会　232pp. スペクトル法を用いて線形移流問題と非線形移流問題を数値的に解いてみる SPMODELは削除