よくわかる領域分割法 1TE08713M　　B4　　北川　幸弥.

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1 よくわかる領域分割法 1TE08713M　　B4　　北川　幸弥

2 目的 有限要素法に用いられる「領域分割法」とは何かを参考資料をもとに理解する。 具体的な問題を解いてみて領域分割法への理解を深める。

3 参考資料 領域分割型有限要素法による超並列計算

4 − 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 − 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =1 （Ω内） 𝑢=0 （𝑥=1,𝑦=0） 法線方向成分 =0 （領域境界上）
問題 − 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 − 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =1 （Ω内） 𝑢=0 （𝑥=1,𝑦=0） 法線方向成分 =0 （領域境界上）

5 有限要素 要素係数マトリックス 𝐴 𝑒1 , 𝐴 𝑒2 𝐴 𝑒1 = −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 , 𝐴 𝑒2 = −1 0 1 −1 −1 −1 2 要素自由項ベクトル 𝑓 𝑒1 , 𝑓 𝑒2 𝑓 𝑒1 = , 𝑓 𝑒2 =

6 𝐾 𝑢 = 𝑓 𝐾 = 2 −1 0 − −1 4 −1 0 − − − − −2 0 − −2 0 −2 8 −2 0 − −1 0 − − − − −2 0 −1 4 − −1 0 −1 2 𝑢 = 𝑢 1 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 7 𝑢 8 𝑢 9 𝑓 =

7 𝐾𝑢=𝑓 𝐾= −1 0 − −1 4 −1 0 − − −1 0 0 − − −2 0 −2 8 −2 − −1 0 −2 4 0 − −2 0 4 − −1 −1 2 𝑢= 𝑢 1 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8 𝑢 9 𝑓=

8 結果（前進消去・後退代入） プログラム 手計算 𝑢 1 = 29 24 =1.20833⋯ 𝑢 2 = 31 24 =1.29166⋯
𝑢 3 = 4 3 = ⋯ 𝑢 4 = = ⋯ 𝑢 5 = =1.1875 𝑢 6 = = ⋯ 𝑢 8 = = ⋯ 𝑢 9 = = ⋯ プログラム Total Matrix is Total vector is 0.125 0.250 u[0]= e+00 u[1]= e+00 u[2]= e+00 u[3]= e-01 u[4]= e+00 u[5]= e+00 u[6]= e-01 u[7]= e+00

9 領域分割法

10 領域Ω→領域 Ω (𝑖) 𝑢= 𝑢 1 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8 𝑢 　→　 𝑢 (1) = 𝑢 1 𝑢 𝑢 4 𝑢 5 , 𝑢 (2) = 𝑢 2 𝑢 𝑢 5 𝑢 6 , 𝑢 (3) = 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 8 , 𝑢 (4) = 𝑢 5 𝑢 𝑢 8 𝑢 9 𝑅 (1) 𝑇 = , 𝑅 (2) 𝑇 = 𝑅 (3) 𝑇 = , 𝑅 (4) 𝑇 =

11 𝐾→　 𝐾 (𝑖) ① ② ④ ⑤ K (1) = −1 − − −1 − − −1 −1 1+1 ① ② ④ ⑤ タイプ１ タイプ２ 𝐾 (1) = −1 −1 0 −1 2 0 −1 −1 0 2 −1 0 −1 −1 2 , 𝐾 (2) = −1 −1 0 −1 2 0 −1 −1 0 2 −1 0 −1 −1 2 𝐾 (3) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 , 𝐾 (4) = −1 −1 0 −1 2 0 −1 −1 0 2 −1 0 −1 −1 2

12 𝑓→　 𝑓 (𝑖) 𝐾 (1) = ① ② ④ ⑤ 𝑓 (1) = , 𝑓 (2) = , 𝑓 (3) = , 𝑓 (4) =

13 𝑢 (𝑖) → 領域内部 𝑢 𝐼 (𝑖) ＋領域間境界上 𝑢 𝐵 (𝑖)
𝑢 (𝑖) 　→　領域内部 𝑢 𝐼 (𝑖) ＋領域間境界上 𝑢 𝐵 (𝑖) 𝑢 (1) = 𝑢 1 𝑢 2 𝑢 4 𝑢 5 , 𝑢 (2) = 𝑢 3 𝑢 2 𝑢 5 𝑢 6 , 𝑢 (3) = 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 8 , 𝑢 (4) = 𝑢 9 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8 𝑢 𝐼 (1) = 𝑢 1 , 𝑢 𝐵 (1) = 𝑢 2 𝑢 4 𝑢 5 , 𝑢 𝐼 (2) = 𝑢 3 , 𝑢 𝐵 (2) = 𝑢 2 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 𝐼 (3) = 𝑢 7 =0, 𝑢 𝐵 (3) = 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 8 , 𝑢 𝐼 (4) = 𝑢 9 , 𝑢 𝐵 (4) = 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8

14 同様に、 𝐾 (1) = −1 −1 0 −1 2 0 −1 −1 0 2 −1 0 −1 −1 2 , 𝐾 (2) = −1 0 −1 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 −1 0 −1 2 𝐾 (3) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 , 𝐾 (4) = −1 −1 0 2 −1 −1 −1 −1 2 0 −1 −1 0 2 𝑓 (1) = , 𝑓 (2) = , 𝑓 (3) = , 𝑓 (4) = 𝑅 (1) = , 𝑅 (2) = , 𝑅 (3) = , 𝑅 (4) =

15 𝐾 𝐼𝐼 (1) =1, 𝐾 𝐼𝐵 1 = 1 2 −1 −1 0 , 𝐾 𝐵𝐵 (1) = −1 0 2 −1 −1 −1 2 𝐾 𝐼𝐼 (2) =1, 𝐾 𝐼𝐵 2 = 1 2 −1 0 −1 , 𝐾 𝐵𝐵 (2) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 𝐾 𝐼𝐼 (3) =0, 𝐾 𝐼𝐵 3 = , 𝐾 𝐵𝐵 (3) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 𝐾 𝐼𝐼 (4) =1, 𝐾 𝐼𝐵 4 = 1 2 −1 −1 0 , 𝐾 𝐵𝐵 (4) = −1 −1 −1 2 0 −1 0 2 𝑓 𝐼 (1) = 1 12 , 𝑓 𝐵 (1) = , 𝑓 𝐼 (2) = 1 24 , 𝑓 𝐵 (2) = 𝑓 𝐼 (3) =0, 𝑓 𝐵 (3) = , 𝑓 𝐼 (4) = 1 12 , 𝑓 𝐵 (4) = 𝑅 𝐼 (1) =1, 𝑅 𝐵 (1) = , 𝑅 𝐼 (2) =1, 𝑅 𝐵 (2) = 𝑅 𝐼 (3) =0, 𝑅 𝐵 (3) = , 𝑅 𝐼 (4) =1, 𝑅 𝐵 (4) =

16 全体の領域間境界 𝑢 𝐵 → 部分領域間境界 𝑢 𝐵 (𝑖)
全体の領域間境界 𝑢 𝐵 　→　部分領域間境界 𝑢 𝐵 (𝑖) 𝑢 𝐵 = 𝑢 2 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8 → 𝑢 𝐵 (1) = 𝑢 2 𝑢 4 𝑢 5 , 𝑢 𝐵 (2) = 𝑢 2 𝑢 5 𝑢 6 , 𝑢 𝐵 (3) = 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 8 , 𝑢 𝐵 (4) = 𝑢 5 𝑢 6 𝑢 8 𝑅 𝐵 (1) 𝑇 = ,𝑅 𝐵 (2) 𝑇 = 𝑅 𝐵 (3) 𝑇 = ,𝑅 𝐵 (4) 𝑇 =

17 𝐾𝑢=𝑓の分割

18 領域内部 領域間境界上

19 インタフェース問題 𝐾 𝐵𝐵 (1) − 𝐾 𝐼𝐵 (1) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (1) −1 𝐾 𝐼𝐵 (1) = −1 0 2 −1 −1 −1 2 − 1 2 −1 −1 0 ∙ 1 2 −1 −1 0 = −1 −2 −1 3 −2 −2 −2 4 𝐾 𝐵𝐵 (2) − 𝐾 𝐼𝐵 (2) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (2) −1 𝐾 𝐼𝐵 (2) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 − 1 2 −1 0 −1 ∙ 1 2 −1 0 −1 = −2 −1 −2 4 −2 −1 −2 3 𝐾 𝐵𝐵 (3) − 𝐾 𝐼𝐵 (3) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (3) −1 𝐾 𝐼𝐵 (3) = −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 −0= −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 𝐾 𝐵𝐵 (4) − 𝐾 𝐼𝐵 (4) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (4) −1 𝐾 𝐼𝐵 (4) = −1 −1 −1 2 0 −1 0 2 − −1 −1 ∙ −1 −1 = −2 −2 −2 3 −1 −2 −1 3

20 𝑓 𝐵 (1) − 𝐾 𝐼𝐵 (1) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (1) −1 𝑓 𝐼 (1) = − 1 2 −1 −1 0 ∙2∙ 1 24 = 𝑓 𝐵 (2) − 𝐾 𝐼𝐵 (2) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (2) −1 𝑓 𝐼 (2) = − 1 2 −1 0 −1 ∙ 1 24 = 𝑓 𝐵 (3) − 𝐾 𝐼𝐵 (3) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (3) −1 𝑓 𝐼 (1) = −0= 𝑓 𝐵 (4) − 𝐾 𝐼𝐵 (4) 𝑇 𝐾 𝐼𝐼 (4) −1 𝑓 𝐼 (4) = − −1 −1 ∙2∙ 1 24 = 𝑅 𝐵 (1) 𝑇 = ,𝑅 𝐵 (2) 𝑇 = 𝑅 𝐵 (3) 𝑇 = ,𝑅 𝐵 (4) 𝑇 =

21 1 4 6 −1 −4 −1 0 −1 7 −4 0 0 −4 −4 16 −4 −4 −1 0 −4 6 −1 0 0 −4 −1 7 = ↑ シュアコンプリメント行列

22 結果（領域間境界） プログラム 手計算 𝑢 2 = 31 24 =1.29166⋯ 𝑢 4 = 23 24 =0.95833⋯
𝑢 5 = =1.1875 𝑢 6 = = ⋯ 𝑢 8 = = ⋯ プログラム Total Matrix is Total vector is 0.1875 0.2500 u[0]= e+00 u[1]= e-01 u[2]= e+00 u[3]= e+00 u[4]= e-01

23 結果（領域内部） 𝑢 𝐼 (1) = 𝐾 𝐼𝐼 (1) −1 𝑓 𝐼 (1) − 𝐾 𝐼𝐵 (1) 𝑢 𝐵 (1) =1∙ 1 12 − 1 2 −1 −1 0 ∙ = 𝑢 𝐼 (2) = 𝐾 𝐼𝐼 (2) −1 𝑓 𝐼 (2) − 𝐾 𝐼𝐵 (2) 𝑢 𝐵 (2) =1∙ 1 24 − 1 2 −1 0 −1 ∙ = 4 3 𝑢 𝐼 (3) = 𝑢 7 =0 𝑢 𝐼 (4) = 𝐾 𝐼𝐼 (4) −1 𝑓 𝐼 (4) − 𝐾 𝐼𝐵 (4) 𝑢 𝐵 (4) =1∙ 1 12 − −1 −1 ∙ = 29 24

24 結果（領域分割法） 直接法（基礎式） 領域分割法 𝑢 1 = 29 24 =1.20833⋯ 𝑢 1 = 29 24 =1.20833⋯
𝑢 2 = = ⋯ 𝑢 3 = 4 3 = ⋯ 𝑢 4 = = ⋯ 𝑢 5 = =1.1875 𝑢 6 = = ⋯ 𝑢 8 = = ⋯ 𝑢 9 = = ⋯ 領域分割法 𝑢 1 = = ⋯ 𝑢 2 = = ⋯ 𝑢 3 = 4 3 = ⋯ 𝑢 4 = = ⋯ 𝑢 5 = =1.1875 𝑢 6 = = ⋯ 𝑢 8 = = ⋯ 𝑢 9 = = ⋯

25 今後に向けて インターフェース問題に対するCG法のアルゴリズムを理解する。