多変数関数の積分（6/3~24） 重積分（２重積分） 第６章（§５は除く） 重積分の定義 「連続関数は積分可能」

Presentation on theme: "多変数関数の積分（6/3~24） 重積分（２重積分） 第６章（§５は除く） 重積分の定義 「連続関数は積分可能」"— Presentation transcript:

1 多変数関数の積分（6/3~24） 重積分（２重積分） 第６章（§５は除く） 重積分の定義 「連続関数は積分可能」
重積分（２重積分） 　第６章（§５は除く） 重積分の定義 積分領域が長方形の場合（§１） 一般の積分領域の場合（§２） 「連続関数は積分可能」 累次積分（重積分の具体的な計算方法） 積分の変数変換（§４）

2 重積分（導入：１変数関数の積分） １変数の場合：定積分＝面積 体積の計算（高校数学） x 方向に垂直な断面の断面積 S(x) の積分
特に：回転体の体積： 半径が f (x) の円を断面とする立体：

3 重積分（導入）：　リーマン積分 １変数の場合、x 方向を分割し、各小区間では面積を長方形近似してその極限を考えた。（長方形の面積＝縦×横は所与） ２変数（重積分）の場合、直方体で体積を近似してその極限を考える。 何が難しいか 底面（＝領域 A）の形がすでに多様。（§２） 極限の取り方の自由度が大きい。

4 話の道筋 （§１、２） 重積分： 積分領域が長方形の場合 重積分： 積分領域が一般の場合
話の道筋　（§１、２） 重積分：　積分領域が長方形の場合 定義： (6.1.3), (6.1.4)　... ダルブー和による定義 「連続関数は重積分可能」（定理 6.1.5） リーマン和への一般化 (6.1.6), (6.1.7) 累次積分 (6.1.8) 重積分：　積分領域が一般の場合 準備： (6.2.1)～(6.2.4) 定義： (6.2.5) 「連続関数は重積分可能」（定理 6.2.6） 累次積分 (6.2.7) 重積分の性質 (6.2.8)

5 重積分の定義 (6.1.4) 長方形領域 分割：　 （下ダルブー和） （上ダルブー和） 「積分可能」 分割 P を細かくしたとき 　　　　　

6 重積分の定義 (6.1.7) リーマン和： 一般に次の関係が成り立つ
したがってリーマン和が定数に収束するなら積分可能　（命題 6.1.7） （このほうが普通の積分の定義）

7 長方形領域での重積分 例として、f (x,y) = xy の領域 [0,1]×[0,1] での積分を考える。（板書）
これが累次積分： によって計算できることは先週見た。

8 重積分の記法 重積分 累次積分

9 定理 (6.1.5), (6.2.6) 定理： 「連続関数は積分可能」 連続関数に関する次の２つの定理が基礎
定理 (6.1.5), (6.2.6) 定理：　「連続関数は積分可能」 連続関数に関する次の２つの定理が基礎 定理 (5.7.9) （最大最小定理） 連続関数は有界閉集合上で最大値・最小値をとる。 定理 (6.1.2) （一様連続定理） 連続関数は有界閉集合上で一様連続である。

10 一般の積分領域（概要） 上下が連続関数で区切られたものを考える。
A を覆う長方形を考え、その中で とする。f* は境界上では不連続だが、極限ではその影響は 0 に収束する。

11 面積 (6.2.1) 点集合 A に対し、 右の DA をその 定義関数（ないし特性関数）という
面積　　(6.2.1) 点集合 A に対し、 右の DA をその 定義関数（ないし特性関数）という DAが積分可能なとき A は「面積を持つ （面積確定）」という 要するに、高さ１の立体により面積を定義したことにあたる。 DAは連続関数ではないから、積分可能とは限らない。積分不能なら面積が存在しない。

12 面積 ⇒ 積分 領域： は面積確定 (6.2.3) A での積分は： を長方形領域で積分したものとして考える
領域： は面積確定　(6.2.3) A での積分は： を長方形領域で積分したものとして考える f *(x,y) は A の境界上では不連続：極限をとればその影響は無視できる。(6.2.6) 累次積分による計算 (6.2.7)

13 積分問題の解法 積分領域 A, 被積分関数 f (x,y) を決める A を の形で表す。 応用問題ではここが一番重要、かつ中心的
ここも実際には結構問題 x, y のどちらを主変数にとるかを考える １つの領域で表せない場合は適宜分割する 対称性なども考慮して計算を簡単にする

14 積分領域の表し方 実際には与えられた積分領域 A を、累次積分できる形にどう表すかは問題 最後の場合、 の等高線を求める必要がある。
例： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等々 最後の場合、 の等高線を求める必要がある。

15 累次積分の計算 内側の積分は、x を定数として y による積分を行う。一般には上下端にも x が出てくることに注意。
その結果は x の関数 S(x) なので、それを x について積分する。 S(x) は「断面積関数」にあたる。

16 累次積分の計算（２） 計算の場でも、対称性などをうまく利用する、領域を分割するなどで計算が楽になる。
x→y の順で積分するか、 y→x の順で積分するかにより、計算量がかなり違う場合がある。 それどころか、順序を変えると（初等関数の範囲で）計算できない場合もある。 （教科書 p.224 の例 4) 参照）

17 Matlab による積分の計算 定積分・重積分（累次積分） >> syms x y; >> f = x*y; % 被積分関数 >> int(f, x) % 不定積分 >> int(f, y, 0,1) %　定積分 >> int(ans, x,0,1); % 重積分 >> int(int(f,y,0,1),x,0,1); % 一度にやる場合 ただし、関数によっては必ずしも計算できるとは限らない。

18 積分の変数変換　 (6.4.1), (6.4.2) 一般には、x=x(u,v), y=y(u,v) で変換の ヤコビアン（ヤコビ行列式）を とすると、 (6.4.3) は極座標の場合：

19 積分の変数変換（２） 「面積要素」： なぜ絶対値がつくか？
xy 座標系で縦横 dx, dy の長方形の面積 ⇒ uv 座標系では（１次近似で）平行四辺形 　　その面積比が |J(u,v)| なぜ絶対値がつくか？ 「面積」だから（非負値をとる） なんだけど... J の符号は座標系の「向き (orientation)」に対応 　⇒　鏡像かそうでないか 　（行列式 det の符号は、変換の向きを表す）

20 積分の変数変換（３） なぜ絶対値がつくか？（続き） 向きを考えれば、 とすべき
向きを考えれば、　　　　　　　　　　とすべき ただしこれは普通の積ではなく、 「外積」と して扱う必要がある １変数の積分の　　　　　　　　　　　　　　　　も、 　　　　　　という座標系の反転として考えることができる

21 変数変換を行う場合 積分領域 D が簡単な形になる。 被積分関数 f (x, y) が簡単な形になる。 その両方。
具体例は以下に記すほか、板書で示す。 また補足資料も参照。

22 変数変換の例（１）：　線形変換 例えば積分領域 A が |x|+|y|≦1 の場合 領域の境界は　　　　　　　　　　　　　　の４直線 したがって　　　　　　　　　　　　　といった変換が有効

23 変数変換の例（２）： 極座標 底面の半径が a、高さが b の直円錐の体積を求める（回転体の体積でもできるが）
変数変換の例（２）：　極座標 底面の半径が a、高さが b の直円錐の体積を求める（回転体の体積でもできるが） 　 側面は　　　　　　　　　　　　　　　　　を z 軸を中心に回転したもの

24 広義積分 積分領域が無限に広がる (6.3.1) 被積分関数 f (x,y) が∞に発散する (6.3.3)
いずれの場合も、有限の範囲での積分の極限が収束すれば広義積分が存在 重積分・広義積分の有効な例 (6.4.4)