統計解析 第10回 １２章 標本抽出、１３章 標本分布.

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1 統計解析 第10回 １２章 標本抽出、１３章 標本分布

2 今日学ぶこと 標本抽出 標本分布 不偏推定量 中心極限定理

3 標本抽出の必要性 標本が壊れやすい 標本が無限個ある 測定できない とにかく数が多い →無作為抽出

4 練習問題

5 母数と推定量 例：日本人の平均年齢 母集団：対象となるもの全体 母集団：日本人 標本：対象からデータを取るために 標本：日本各地でランダムに
選ばれた１００人 母数：日本人の平均年齢 推定量：選ばれた１００人をもとに 推定された平均年齢 母集団：対象となるもの全体 標本：対象からデータを取るために 抜き出したもの 母数：母集団の平均、分散など 推定量：標本のデータをもとに推定した 平均、分散など 不偏推定量 推定量の平均が母数に等しい 標本平均は母集団平均の不偏推定値

6 ? 標本分布の例 変なルーレット 1が出る確率1/2 2が出る確率1/3 3が出る確率1/6 出る値の期待値と分散を求めてみよう
期待値 = 1×1/2 + 2×1/3 + 3×1/6 = 5/3 ? 分散 = 12×1/2 + 22×1/3 + 32×1/6 – (5/3)2 = 5/9

7 ? ? ? ? ？ 標本分布の例(2) 平均 分散 確率 1 1/4 3/2 1/3 2 1/6 1/9 5/2 3 1/36 １回 目
ルーレットを2回だけ回せるお客は 出る値の平均と分散を推定できるだろうか？ 平均 分散 確率 1 1/4 3/2 1/3 2 1/6 1/9 5/2 3 1/36 １回 目 ２回 2回の 平均 2回の分散 確率 1 1/4 2 3/2 1/6 3 1/12 1/9 5/2 1/18 1/36 ? ? ? ? 平均の期待値は？ 分散の期待値は？ 1/4+1/2+1/3+2/9+5/18+1/12=5/3 ？

8 平均と分散の不偏推定量 母数の平均の不偏推定量 = 標本の平均 分散の不偏推定量は標本の分散ではない 標本の分散は過少推定値になっている

9 ? ? ？ 標本分布の例(2) 平均 分散の 不偏推定量 確率 1 1/4 3/2 5/12 1/3 2 4/3 1/6 1/9 5/2 3
ルーレットを2回だけ回せるお客は 出る値の平均と分散を推定できるだろうか？ 平均 分散の 不偏推定量 確率 1 1/4 3/2 5/12 1/3 2 4/3 1/6 1/9 5/2 3 1/36 ? ? ？ 5/36+2/9+1/36=7/18 分散の不偏推定量の期待値は？

10 中心極限定理 変量Xが平均μ、分散σ2の確率分布に従うならば xのn個の平均はだいたい平均μ、分散σ2/nの正規分布に従う 例えば
y=x1+x2+x3 は平均μ、分散σ2/3の正規分布に従う

11 ? ? 実際にやってみよう 合計点 確率 点×確率 点2×確率 3 1/8 3/8 9/8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
変なルーレット 合計点 確率 点×確率 点2×確率 3 1/8 3/8 9/8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1が出る確率1/2 2が出る確率1/3 3が出る確率1/6 ? を3回まわすときの 合計の確率分布表を作ろう 3回の合計の 期待値 と 分散 を求めよう ?