横力Ｆ Ｎ＝W（自重） Ｔ Ｔf＝μＮ ●滑りのメカニズム Ｔ：滑動力（すべり面に平行な力／せん断力）

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1 横力Ｆ Ｎ＝W（自重） Ｔ Ｔf＝μＮ ●滑りのメカニズム Ｔ：滑動力（すべり面に平行な力／せん断力）
－摩擦－　箱の横滑り ●滑りのメカニズム ・下図で Ｔ：滑動力（すべり面に平行な力／せん断力） ・・＞ Ｔ＝横力Ｆ Ｎ：拘束力（すべり面に垂直な力／垂直力） ・・・＞ Ｎ＝自重Ｗ Ｔf：摩擦抵抗力（箱に床から作用する滑り抑止力） ・・・　拘束力Ｎに比例する　・・・＞　Ｔf＝μＮ μ：摩擦係数（μ＝tanφ，φ：摩擦角） ※φ：｢すべり角｣に対応 横力Ｆ Ｎ＝W（自重） 次図でブロックがすべり出す時の傾斜角 Ｔ Ｔf＝μＮ θ＝φ （Ｆs＝1） ※摩擦抵抗力Ｔf は、滑り面に働く垂直力N（拘束力）に比例する

2 θ θ ●ブロック滑りのメカニズム ・滑動力成分：Ｔ＝Ｗsinθ ・拘束力成分：Ｎ＝Ｗcosθ Ｔ＝Ｗsinθ Ｔf＝μＮ ・摩擦抵抗力：
－摩擦－　ブロック滑り ●ブロック滑りのメカニズム ・滑動力成分：Ｔ＝Ｗsinθ ・拘束力成分：Ｎ＝Ｗcosθ Ｔ＝Ｗsinθ Ｔf＝μＮ θ ・摩擦抵抗力： θ Ｔf＝μＮ＝μＷcosθ Ｎ＝Ｗcosθ Ｗ ●すべり安全率： ※Ｆs＝1 （θ＝φ） 　 で滑る ・・・＞ 摩擦抵抗はブロック重量Ｗ，接触面積Ａに無関係 ※斜面上のブロックは（外力の作用がなくても）自重だけで滑る

3 －摩擦－　例題-(1)- ●問題 重りＱが角α傾斜する床上で重りＰと滑車を介して連結されている。床の摩擦角をφとして、滑り出す限界の力比Ｐ/Ｑを求めよ。α＞φ とする。 ＊Ｐ/Ｑ大の時 ＊Ｐ/Ｑ小の時 Ｑ Ｐ α ※重りＱは、Ｐ/Ｑ大のとき滑り上がり、Ｐ/Ｑ小のとき滑り落ちる

4 ↓ 両条件とも、Ｔ＝Ｑsinα，Ｎ＝Ｑcosα ↓
－摩擦－　例題-(1)解答- ①Ｐ/Ｑ小 ～ Ｑが滑り落ちる ②Ｐ/Ｑ大 ～ Ｑが滑り上がる T－Ｐ－μＮ＝0 Ｐ－Ｔ－μＮ＝0 　↓　両条件とも、Ｔ＝Ｑsinα，Ｎ＝Ｑcosα　↓ (Ｐ/Ｑ)min＝sinα－μcosα (Ｐ/Ｑ)max＝sinα＋μcosα Ｐ/Ｑ小 Ｐ/Ｑ大 Ｑ Ｑ Ｐ Ｎ Ｐ Ｎ 上がる 落ちる α α Ｔ Ｔ Ｔf＝μＮ Ｔf＝μＮ α α R R （反力：R＝N） ※Ｐ/Ｑ値により２つの滑り出し条件（摩擦抵抗力の方向が異なる）

5 重さＷ1及びＷ2の２つのブロックを糸でつなぎ、上のブロックを図のように引張るとき、滑りを発生させる引張力Ｐの最小値とその方向αを求めよ。
－摩擦－　例題-(2)- ●問題 重さＷ1及びＷ2の２つのブロックを糸でつなぎ、上のブロックを図のように引張るとき、滑りを発生させる引張力Ｐの最小値とその方向αを求めよ。 Ｐ min α Ｗ1 Ｗ2 ※各ブロックに作用する力を矢印で描くことが解答の第一歩

6 ①： Ｐcosα－Ｆcosβ＝Ｓ1＝μ(Ｗ1－Ｐsinα＋Ｆsinβ) ②： Ｆｃosβ＝Ｓ2＝μ(Ｗ2－Ｆsinβ)
－摩擦－　例題-(2)解答- ＊各ブロックが滑り出す条件式 ①： Ｐcosα－Ｆcosβ＝Ｓ1＝μ(Ｗ1－Ｐsinα＋Ｆsinβ) ②： Ｆｃosβ＝Ｓ2＝μ(Ｗ2－Ｆsinβ) 両式からＦ，βを消去し、Ｐの最小条件を調べる （①＋②） Ｐ＝(Ｗ1＋Ｗ2)・sinφ/cos(α－φ)　 →　Ｐmin＝(Ｗ1＋Ｗ2)sinφ　（α＝φのとき） Ｗ1 ① Ｐmin α Ｗ2 Ｆ ② Ｆ β Ｓ1 ・糸の張力Ｆ ・傾角β Ｓ2 ※①，②を結ぶ糸の張力Ｆと傾斜角βは、Ｐminを代入して逆算する

7 ●問題 ② Ｗ2 ① μ2 Ｗ1 μ1 α ※ブロック①，②が滑り出す２つの条件式を立て、連立して解く
－摩擦－　例題-(3)- ●問題 ２つのブロックが糸に結ばれて角度αの斜面上にある。各ブロックの摩擦係数が異なるとき、Ｗ1＝Ｗ2＝Ｗとして、ブロックが滑り始める角度αを求めよ。 ② Ｗ2 ① μ2 Ｗ1 μ1 α ※ブロック①，②が滑り出す２つの条件式を立て、連立して解く

8 ＊糸の張力をＦと置くと、各ブロックのすべり条件は ①： Ｔ－F＝μ1Ｎ ← Ｔ＝Ｗsinα，Ｎ＝Ｗcosα ②： Ｔ＋Ｆ＝μ2Ｎ
－摩擦－　例題-(3)解答- ＊糸の張力をＦと置くと、各ブロックのすべり条件は ①： Ｔ－F＝μ1Ｎ ← Ｔ＝Ｗsinα，Ｎ＝Ｗcosα ②： Ｔ＋Ｆ＝μ2Ｎ ①＋②でＦを消去して整理すると　 2tanα＝μ1＋μ2　→　tanα＝(μ1＋μ2)/2 Ｗ Ｎ ② Ｔ Ｆ Ｗ Ｆ Ｎ ① μ2Ｎ Ｔ μ1Ｎ α ※式①，②とも、すべり面に平行な方向の力のつり合い条件式

9 ＊長方形 ＊三角形 ＊楕円形（円形） ＊直方体 ＊２つの対称軸 ＊点対称 ｂ/2 ｈ ｂ/2 ｈ/3 ｂ/2 ｂ/2 ａ/2 ａ/2
－図心・荷重中心－　単純図形の図心 ＊長方形 ＊三角形 ＊楕円形（円形） ｂ/2 C ｈ C C ｂ/2 ｈ/3 ｂ/2 ｂ/2 ａ/2 ａ/2 ＊直方体 ＊２つの対称軸 ＊点対称 C C ※図心＝幾何学的な中心、重心＝重力の中心（自重の合力が通る点）

10 ●断面一次モーメントと図心位置 dＡ y ｃ（ｘｃ，ｙｃ） x ・同様に ・全面積：
－図心・荷重中心－　任意形状の図形 ●断面一次モーメントと図心位置 ・個々の要素のモーメントの和 ・全面積×図心位置 ・同様に dＡ y ｃ（ｘｃ，ｙｃ） ・全面積： x ※個々の要素のモーメントの和は、図形全体のモーメントに等しい

11 ●三角形の図心位置を求める ａｙ ｙ 図心：ｙc ｈ ｄｙ Ａｙ ａ ＊三角形頂点からの図心位置 ・三角形の全面積：
－図心・荷重中心－　三角形の図心-(1)- ●三角形の図心位置を求める ＊三角形頂点からの図心位置 ａｙ ｙ 図心：ｙc ｈ ｄｙ ・三角形の全面積： Ａｙ ・頂点から ｙ位置の微小面積Ａｙ ａ ・三角形の頂点回りの断面一次モーメント ※全面積Ａ×図心ｙc＝全図形の断面一次モーメントＭ（微小Mの和）

12 ●下辺からの図心位置 ～ 二等分線との関係 二等分線 ｈ Ａｙ ｄｙ 図心：ｙc ｙ ａ ＊下辺からの図心位置
－図心・荷重中心－　三角形の図心-(2)- ●下辺からの図心位置 ～ 二等分線との関係 二等分線 ＊下辺からの図心位置 ｈ Ａｙ ｄｙ 図心：ｙc ｙ ・下辺から ｙ位置の微小面積Ａｙ ａ ・下辺回りの断面一次モーメント ※三角形の図心高さｙcは、辺に垂直な線上で（h/3 or 2h/3）

13 ●２つの三角形に分割 ａ ・三角形(１) 面積：Ａ1＝ａｈ/2 図心：ｙ1＝(2/3)ｈ Ａ Ａ1 ・三角形(２) 面積：Ａ2＝ｂｈ/2 1
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(1)- ●２つの三角形に分割 ａ ・三角形(１)　面積：Ａ1＝ａｈ/2 図心：ｙ1＝(2/3)ｈ Ａ Ａ1 ・三角形(２)　面積：Ａ2＝ｂｈ/2 1 ｈ ｈ 図心：ｙ2＝(1/3)ｈ Ａ2 Ａ ｙc ｙ 2 ＊全面積：Ａ＝Ａ1＋Ａ2 ｂ ｂ ＝(ａ＋ｂ)ｈ/2 ＊図心計算：Ａ×ｙc＝Ａ1×ｙ1＋Ａ2×ｙ2 → （断面１次モーメントのつり合い） ※複雑な図形の図心は、図心が容易に知れる図形に分割して求める

14 Ａ2 ｈ Ａ Ａ1 Ａ Ａ3 Ａ ｂ1 ｂ2 ｂ3 ●２つの三角形と四角形に分割 ・三角形(１) 面積：Ａ1＝ｂ1ｈ/2
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(2)- ●２つの三角形と四角形に分割 ・三角形(１)　面積：Ａ1＝ｂ1ｈ/2 図心：ｙ1＝(1/3)ｈ Ａ2 ・四角形　　　面積：Ａ2＝ｂ2ｈ ｈ Ａ 図心：ｙ2＝(1/2)ｈ 2 Ａ1 Ａ Ａ3 Ａ 1 ｙc 3 ・三角形(２)　面積：Ａ3＝ｂ3ｈ/2 図心：ｙ3＝(1/3)ｈ ｂ1 ｂ2 ｂ3 ＊ｂ2＝ａ， ｂ1＋ｂ3＝ｂ－ａ として　→ ※ｙcを求める場合、分割した各図形の図心（ｙi）も下辺から測る

15 10 10 22 ① ③ ｘc 30 ｙc 8 8 ② 26 26 ●図形の”和” として求める場合 （①＝②＋③）
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(3-1)- ●図形の”和” として求める場合 （①＝②＋③） 10 10 ③Ａ3＝220 　 ｘ3＝21，ｙ3＝19 22 ① ③ ｘc 30 ｙc ②Ａ2＝208 　 ｘ2＝13，ｙ2＝4 8 8 ② 26 26 428×ｘc＝208×13＋220×21　→　ｘc＝17.1 428×ｙc＝208×4＋220×19　 →　ｙc＝11.7 ※ｘc，ｙcは左下隅点から測っている

16 10 ① ③ 22 ｘc 30 ② ｙc 26 16 8 26 ●図形の”差” として求める場合 （①＝②－③）
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(3-2)- ●図形の”差” として求める場合 （①＝②－③） 10 ③Ａ3＝352，ｘ3＝8，ｙ3＝19 ① ③ 22 ｘc 30 ② ｙc 26 16 8 ②Ａ2＝780， ｘ2＝13，ｙ2＝15 26 428×ｘc＝780×13－352×8　 →　ｘc＝17.1 428×ｙc＝780×15－352×19　→　ｙc＝11.7 ※面積も断面１次モーメントも差で計算する

17 ・図心： Ａ1×ｘc＝Ａ2×ｘ2＋Ａ3×ｘ3－Ａ4×ｘ4 → ｘc
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(4-1)- ●図形の和・差として求める ・面積： Ａ1＝Ａ2＋Ａ3－Ａ4 ・図心： Ａ1×ｘc＝Ａ2×ｘ2＋Ａ3×ｘ3－Ａ4×ｘ4 → ｘc ① ＝ － ② ③ ④ ｘc ｘ2 ｘ4 ｘ3 ※面積・図心とも、図形①＝三角形②＋四角形③－三角形④ で求める

18 （問）擁壁の図心位置（ｘｃ，ｙc）を例示した方法で求めよ。 （Ｈ＝5.4m，Ｂ＝3.0m，ｂ＝0.6m）
－図心・荷重中心－　図心の求め方-(4-2)-計算例 （問）擁壁の図心位置（ｘｃ，ｙc）を例示した方法で求めよ。 （Ｈ＝5.4m，Ｂ＝3.0m，ｂ＝0.6m） ＊数値表 O ｘc ｙc Ｈ Ｂ ｂ 0.3 1 Ａi　(m2) ｘi(m) ｙi (m) Ａi・ｘi Ａi・ｙi 図形② 図形③ 図形④ 合計 Ａ Ａ・ｘc Ａ・ｙc ＊答え ｘc＝2.60m，ｙc＝2.10m ※数値表を作成して、穴埋め整理しながら計算する

19 ｘc ｘ Ｑ dｘ ●合力Ｑ → 分布の面積 ●合力Ｑの作用位置 ｘc → 分布の図心 ｑ（ｘ） dＱ ｑ（ｘ） B A ｂ ａ A B
－図心・荷重中心－　合力と荷重中心-(1)- ●合力Ｑ → 分布の面積 荷重強度 ｑ B A ｘ ｑ（ｘ） ●合力Ｑの作用位置 ｘc → 分布の図心 ｘc ｑ（ｘ） ｘ ｂ Ｑ ａ dＱ ｑ（ｘ） A B dｘ ※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる

20 ●不連続荷重 ●正・負の荷重 Ｑ1：正荷重 ｘ1 Ｑ Ｑ2：負荷重 ｘc ｘ2 ・合力もモーメントも符号を考慮 して加算する
－図心・荷重中心－　合力と荷重中心-(2)- ●不連続荷重 ●正・負の荷重 Ｑ1：正荷重 ｘ1 Ｑ Ｑ2：負荷重 ｘc ・合力もモーメントも符号を考慮 　して加算する ｘ2 ※不連続や正負の分布荷重は、分割して個々の合力の加減算で求める

21 ｘ ●線荷重の中心：ｘc ＊左分布の計算： Ｑ＝11.5kN Ｑ1＝7.68kN Ｑ2＝3.84kN 3.2m 5.6m 4.01m
－図心・荷重中心－　例題-(1)線荷重- Ｑi　(kN) ｘi(m) Qi・ｘi 左分布 7.68 3.2 24.6 右分布 3.84 5.6 21.5 合計 11.5 46.1 ●線荷重の中心：ｘc 3.2kN/m ＊左分布の計算： 7.68kN 4.8m 2.4m ｘ Ｑ＝11.5kN Ｑ1＝7.68kN Ｑ2＝3.84kN 3.2m 5.6m 4.01m 24.6kN-m ※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる

22 図の水門に作用する水圧の合力と作用位置を求めよ。 ｈ1＝10ｍ，ｈ2＝20ｍ とする。
－図心・荷重中心－　例題-(2)水圧合力・作用位置- ●問題 図の水門に作用する水圧の合力と作用位置を求めよ。 ｈ1＝10ｍ，ｈ2＝20ｍ とする。 ●水圧分布 ・深さｚの水圧ｐw（ｚ） ｈ1 ｚ ｐw（ｚ）＝γw×ｚ ｐw1 ｈ2 （γw＝9.80kN/m3） H ・ｐw1＝98.0kPa 水門 ・ｐw2＝196.0kPa ｐw2 ※水門に働く水圧は、上下辺が（ｐw1，ｐw2）、高さＨの台形分布

23 Pw1 Pw2 Pw1 Pw2 ●（分割1）三角形と四角形 ｐw1 Ｐw1＝ｐw1×Ｈ＝980kN/m ｚ1＝Ｈ/2＝5ｍ ｚ1 ｚ2
－図心・荷重中心－　例題-(2)水圧合力・作用位置- ●（分割1）三角形と四角形 ｐw1 Ｐw1＝ｐw1×Ｈ＝980kN/m 　ｚ1＝Ｈ/2＝5ｍ ｚ1 ｚ2 Pw1 Ｐw2＝(ｐw2－ｐw1)×Ｈ/2＝490kN/m 　ｚ2＝(2/3)Ｈ＝6.67m Pw2 ｐw2 ●（分割2）２つの三角形 ｐw1 Ｐw1＝ｐw1×Ｈ/2＝490kN/m 　ｚ1＝Ｈ/3＝3.33ｍ Pw1 ｚ1 ｚ2 Ｐw2＝ｐw2×Ｈ/2＝196kN/m 　ｚ2＝(2/3)Ｈ＝6.67m Pw2 →　Ｐw＝Ｐw1＋Ｐw2＝1470kN/m 　　 ｚc＝(Ｐw1×ｚ1＋Ｐw2×ｚ2)/Ｐw＝5.56m ｐw2 ※上記の深さ（ｚ1，ｚ2，ｚc）は、分布の上面から測った値とする

24 ●滑動（摩擦抵抗と粘着抵抗） ※Ｎ＝Ｗ（自重） ・すべり抵抗力Ｔf （滑動阻止力） Ｔ＝Ｆ（横力） Ｎ：垂直力（拘束力） Ａ：構造物の底面積
－滑動・転倒－　滑動-せん断すべり- ●滑動（摩擦抵抗と粘着抵抗） ※Ｎ＝Ｗ（自重） ・すべり抵抗力Ｔf （滑動阻止力） Ｔ＝Ｆ（横力）　 Ｎ：垂直力（拘束力） Ａ：構造物の底面積 Ｆ Ｎ ｃ，μ（φ） ｃ：粘着力・付着力（kPa） μ：摩擦係数（＝tanφ） Ｔ （φ：摩擦角） すべり抵抗力：Ｔf ＊滑動安全率： ←　滑動力Ｔ （水圧・土圧など） ※土質力学の安定問題は、構造体の｢滑動（横滑り)｣と｢転倒（倒壊)｣

25 ●転倒 （構造物の倒壊） ・転倒（左回り）モーメント 転倒：ＭD 抵抗：ＭR ＭD＝Ｆ×ｈ ａ ・抵抗（右回り）モーメント ＭR＝Ｗ×ａ Ｗ
－滑動・転倒－　転倒-回転倒壊- ●転倒 （構造物の倒壊） ・転倒（左回り）モーメント 転倒：ＭD 抵抗：ＭR ＭD＝Ｆ×ｈ ａ ・抵抗（右回り）モーメント ＭR＝Ｗ×ａ Ｗ Ｗ Ｆ ※ａ，ｈ：モーメントの足の長さ ｈ A ＊転倒安全率： 回転軸 ※図の転倒は、点Ａ回りのモーメントを比較して安全性を評価する

26 コンクリート壁の水槽に満水状態で貯水があるとき、壁の滑動と転倒に関する安全率を求めよ。
－滑動・転倒－　例題-(1)水圧による滑動・転倒- ●問題 コンクリート壁の水槽に満水状態で貯水があるとき、壁の滑動と転倒に関する安全率を求めよ。 60cm γc＝24kN/m3 3m 壁重量：W H 水圧合力：F 底面接触抵抗 xc 3m ｃ＝48.0kPa zc μ＝0.450 A 3.2m ※壁に働く力は水圧Fと壁の自重Wで、Fが滑動・転倒の作用を及ぼす

27 ＊壁に作用する水圧 ・ｐ＝γwＨ＝58.8kPa の三角形分布 ・合力：Ｆ＝γwＨ2/2＝176ｋＮ 6ｍ F＝176kN
－滑動・転倒－　例題-(1)水圧による滑動・転倒- ＊壁に作用する水圧 ・ｐ＝γwＨ＝58.8kPa の三角形分布 ・合力：Ｆ＝γwＨ2/2＝176ｋＮ 6ｍ F＝176kN ・作用位置：ｚc＝Ｈ/3＝2ｍ ｚc＝2ｍ ＊壁の重量と作用位置（点Ａから） 58.5kPa ・四角形：Ｗ1＝86.4kN/m，ｘ1＝2.9m ・三角形：Ｗ2＝93.6kN/m，ｘ2＝1.73m Ｗ1 ｘ1 　　　　↓ 壁の全重量：Ｗ＝180kN/m ｘ2 図心：ｘc＝2.29m Ｗ2 A ※壁は図心が明確な三角形と四角形に分割してWとｘを計算する

28 ①滑動安全率 ②転倒安全率 ※壁の効果は（W1，ｘ1）と（W2，ｘ2 ）に分割したまま計算する
－滑動・転倒－　例題-(1)水圧による滑動・転倒- ①滑動安全率 ②転倒安全率 ※壁の効果は（W1，ｘ1）と（W2，ｘ2 ）に分割したまま計算する

29 Ｌ型壁の土圧に対する滑動・転倒安全率を求めよ。
－滑動・転倒－　例題-(2)土圧による滑動・転倒- ●問題 Ｌ型壁の土圧に対する滑動・転倒安全率を求めよ。 50cm h/4 γc＝24kN/m3 ｈ＝5ｍ 3h/4 底面接触抵抗 ｃ＝27.0kPa 50cm μ＝0.340 A 3.0m ｐa＝20kPa ※壁は直立部と前底部の２つの四角形に分割して計算

30 ｘ1 ＊壁の重量と作用位置 Ｗ1 Ｗ2 ・Ｗ1＝ｂｈγ＝60ｋＮ，ｘ1＝2.75ｍ ｘ2 ・Ｗ2＝ｂ(Ｂ－ｂ)γ＝30ｋＮ，ｘ2＝1.25ｍ
－滑動・転倒－　例題-(2)土圧による滑動・転倒- ｘ1 ＊壁の重量と作用位置 Ｗ1 Ｗ2 ・Ｗ1＝ｂｈγ＝60ｋＮ，ｘ1＝2.75ｍ ｘ2 ・Ｗ2＝ｂ(Ｂ－ｂ)γ＝30ｋＮ，ｘ2＝1.25ｍ A ＊壁に作用する土圧 Ｐ1 ・Ｐ1＝ｐa・(ｈ/4)/2＝12.5ｋＮ，ｙ1＝4.17m ・Ｐ2＝ｐa・(3ｈ/4)＝75.0ｋＮ，ｙ2＝1.88m Ｐ2 ｙ1 ｙ2 ※Ｗ，Ｐは単位奥 　 行当りで計算 ※土圧分布も三角形と四角形に分割して計算