伝達事項 質問: W = −U にしなくて良いのか？どういう時に “−” (マイナス符号) がつくのか？ 解答:

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1 伝達事項 質問: W = −U にしなくて良いのか？どういう時に “−” (マイナス符号) がつくのか？ 解答:
質問: テスト勉強は計算を中心にやるべきですか？ どうやって勉強すれば物理が出来るようになりま すか？ 解答:

2 3章 仕事とエネルギー

3 仕事（定義） 摩擦力に逆らって床の上の物体を力 F N で d m 移動するのに 必要な仕事量 W は、以下のように定義される。 d(m)
W = F(N)•d(m) = Fd(N•m) F(N) 仕事 W = Fd(J) ゆっくりと床の上の2 kg の物体を 3 m 持ち 上げるのに必要な仕事量 W を求める。重力 加速度は g のままとする。 3 m W = 2g(N)•3(m) = 6g(N•m) = 6g (J) W = m(kg)g(m•s-2)h(m) = mgh (J) F = 2g N

4 位置エネルギー 床の上の h m の位置にある m kg の物体が持 つ位置エネルギー U J を求める。重力加速度 は g のままとする。
F = mg(N) U = m(kg)g(m•s-2)h(m) = mgh (kg•m2•s-2) = mgh (J) 位置エネルギー U J は、床の上の m kg の物 体を h m 持ち上げるのに必要な仕事量 W と 等しい。 h(m) W = m(kg)g(m•s-2)h(m) = mgh (J) U(J) = W(J) 即ち、物体は仕事量 W を受け取って、位置 エネルギー U J を得たと考えられる。 F = mg(N)

5 位置エネルギー ⇔ 運動エネルギー 宇宙空間を、速度 v (m/s) で転がる質量 m kg の球がある。
この球がもつ運動エネルギー K J を求める。重力加速度は g とする。 K = (1/2)m(kg)v2 (m•s-1)2 = (1/2)mv2 (kg•m2•s-2) = (1/2)mv2 (J) v(m•s-1) K(J) = (1/2)mv2 (J) 床面から h(m) の高さにある物体の位置エ ネルギー U J は U = mgh(J)。 この物体を自由落下させると速度を増しな がら落下する (等加速度運動)。 h(m) 位置エネルギーが運動エネルギーに変換さ れた。 v(m•s-1)

6 力学的エネルギー保存則 UH = mgh(J) 床面から h(m) の高さにある物体の位置エ ネルギー U J は U = mgh(J)。
KH = 0 (J) この物体を自由落下させると速度を増しな がら落下する (等加速度運動)。 h(m) 位置エネルギー U が運動エネルギー K に 変換された。U と K は互いに交換可能 即ち、 UH = −KL v(m•s-1) mgh(J) = −(1/2)mv2(J) UL = 0 (J) KL = (1/2)mv2(J) 全エネルギー E は E = UH + KH = UL + KL = 一定 (力学的エネルギー保存則)

7 運動エネルギー ⇔ 仕事 K1 − K0 = W 外力を加えて初速度 v0 (m/s) を速度 v1 (m/s) に変化させた時
W(J) K1 − K0 = W K0 = (1/2)mv02 K1 = (1/2)mv12 速度変化 v0 → v1 (m/s) による運動エネルギー変化 K1 − K0 は 外力による仕事 W に等しい。 K1 > K0 の時 W > 0 (仕事Wにより運動エネルギー K ↑) K1 < K0 の時 W < 0 (始状態→終状態で K ↓) (運動エネルギーから仕事Wを取り出した)

8 エネルギー：安定性についての考察 床面から h(m) の高さにある物体と床面 にある物体ではどちらが安定か？ UH = mgh(J)
答: 床面にある物体のほうが安定。 理由: 床面にある物体のほうが壊れない。 h(m) 位置エネルギーを有している分だけ高エ ネルギー状態 (=仕事をするポテンシャル を有している)。 v(m•s-1) UL = 0 (J) 位置エネルギー: 　　　　ポテンシャルエネルギーの一種 化合物でも、高エネルギー状態の化合物は不安定 (反応活性が高いため、化学反応を起こして別化合物になる = 元の化合物は徐々に消失する)

9 化学におけるエネルギー 化合物A 高エネルギー (反応活性が高い) 仕事ができる (= 化学反応を起こせる) 。
化学反応を起こして別化合物になる。 ΔE(J) = 元の化合物は徐々に消失する。 = 化合物として不安定 = 反応剤として適している。 化合物B 低エネルギー (反応活性が低い) 仕事ができない (= 化学反応を起こせない) 。 = 元の化合物のまま存在し続ける。 = 化合物として安定 = 薬剤化合物 (最終産物) として適している。

10 化学におけるエネルギー 化合物A → 化合物B + W(J) 化合物B 外からエネルギー (仕事W) を加えて、 高エネルギー化合物へと変換
高エネルギー化合物から低エネルギー 化合物への変換でエネルギー (仕事W) が生成 W (J) > 0 エネルギー (仕事W):熱 (発熱)、光、高エ ネルギー化合物の生成 化合物B 化学反応で生じたエネルギー (仕事W) の多くは熱エネルギーへ。

11 エネルギーの可換性 エネルギー: (エネルギー保存則) 運動エネルギー モーター 発電機 ポンプ 電気エネルギー 位置エネルギー 水力発電
太陽 電池 電灯 スピーカー マイク 光エネルギー 音のエネルギー 熱エネルギー (エネルギーの最終出口)

12 演習 ◯ 2 m/s の速度で移動する質量 5 kg の物体に関する以下の 問いに答なさい。 (1) 物体の運動エネルギ—を求めなさい。
　 問いに答なさい。 (1) 物体の運動エネルギ—を求めなさい。 (2) この物体を静止させるために必要な仕事を求めなさい。 ◯質量 3 kg の物体を床面から 2 m 持ち上げた。この時、以下 　 の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、重 　 力加速度は g のままで良い。 (1) 物体の床面に対する位置エネルギーを求めなさい。 (2) 物体に対してなされた仕事を求めなさい。

13 演習 ◯ 2 m/s の速度で移動する質量 5 kg の物体に関する以下の 問いに答なさい。 (1)
物体の運動エネルギ— K(J) を求めなさい。 K(J) = (1/2)mv2 = (1/2)×5(kg)×{2(m/s)}2 = 10 J (2) この物体を静止させるために必要な仕事を求めなさい。 静止時の運動エネルギ— KS(J) とすると、速度 v = 0 なので KS(J) = (1/2)mv2 = (1/2)×5(kg)×{0(m/s)}2 = 0 J なされた仕事Wは(終状態の運動エネルギ—)から(始状態 のエネルギ—)を引いたもの W = KS − K = 0(J) − 10(J) = -10 J 答 運動方向と逆方向に10 J

14 演習 ◯質量 3 kg の物体を床面から 2 m 持ち上げた。この時、以下 の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、重
　 の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、重 　 力加速度は g のままで良い。 (1) 物体の床面に対する位置エネルギー U(J) を求めなさい。 U(J) = m(kg)g(m•s-2)h(m) = 3(kg)×g(m•s-2)×(-2)(m) = −6g J 註：鉛直下向きを正にとるという変な定義になっていてごめんなさい。 (2) 物体に対してなされた仕事を求めなさい。 物体に対してなされた仕事 W = 得た位置エネルギー U 答 −6g J の仕事がなされた。

15 演習 ◯質量 2000 g の物体を 200 cm の高さの棚に上げた。この時、 以下の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、
重力加速度 g = 9.8 m•s-2 とする。 (1) 物体に対してなされた仕事を求めなさい。 (2) この物体が棚から自由落下したとき床面に落ちるときの運動 エネルギーを求めなさ。 (3) 物体が床に落ちる直前の物体の速度を求めなさい。 (4) 物体の床面に対する位置エネルギーを求めなさい。 ◯Aさんが、質量 20 kg の荷物を部屋の真ん中の机から部屋の すみの机に移動した。Aさんが荷物に対してした力学的仕事を 求めなさい。２つの机の高さは同じものとする。

16 演習 ◯質量 2000 g の物体を 200 cm の高さの棚に上げた。この時、 以下の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、
重力加速度 g = 9.8 m•s-2 とする。 (1) 物体に対してなされた仕事 W(J) を求めなさい。 (得た)位置エネルギーU(J) = mgh = 2(kg)×g(m•s-2)×(-2)(m) = −４g J 註：質量、高さの単位が kg, m である点に注意。 W(J) = U(J) = −４g J (2) この物体が棚から自由落下したとき床面に落ちるときの運動 エネルギーを求めなさ。 (落下後の)位置エネルギーUU(J) = 2(kg)×g(m•s-2)×(0)(m) = 0 J 位置エネルギーの差が、なされた仕事W2 W2(J) = UU − U = 0 − (−4g) = 4g (J)

17 演習 ◯質量 2000 g の物体を 200 cm の高さの棚に上げた。この時、 以下の問いに答えなさい。鉛直下向きの変位を正の変位とし、
重力加速度 g = 9.8 m•s-2 とする。 (3) 物体が床に落ちる直前の物体の速度vを求めなさい。 物体が床に落ちる直前の物体の運動エネルギ— = 物体の落下前の位置エネルギーU(J) = (1/2)mv2 4g(J) = (1/2)×2(kg)×v2 v2 = 4g v = 2√g (m/s) (4) 物体の床面に対する位置エネルギーを求めなさい。 (1)で求めた通り、U(J) = mgh = −４g J 註：鉛直下向きを正にとるという変な定義になっていてごめんなさい。

18 演習 ◯Aさんが、質量 20 kg の荷物を部屋の真ん中の机から部屋の すみの机に移動した。Aさんが荷物に対してした力学的仕事を
求めなさい。２つの机の高さは同じものとする。 高さ変化なしΔh =0: 位置エネルギー変化 = 0 (=mg×0(m)) 初速度 v0 = 0 と最後の速度 v2 = 0: 運動エネルギー変化 = (1/2)m(v2)2 − (1/2)m(v0)2 = 0 =0 =0 速度 = 0 速度 = 0 高さの差 Δh = 0 答 Aさんは何も力学的仕事をしていない

19 演習 ◯Aさんが、質量 20 kg の荷物を部屋の真ん中の机から部屋の すみの机に移動した。Aさんが荷物に対してした力学的仕事を
求めなさい。２つの机の高さは同じものとする。 荷物に働いている力は重力のみ Aさんが行う仕事は荷物に働いている力は重力に逆らう仕事のみ 高さの差 = 0 W(J) = U(J) = mgh = 20(kg)×g×0(m)= 0 J 答 Aさんは何も力学的仕事をしていない

20 ポテンシャルエネルギー 位置エネルギーは数あるポテンシャルエネルギーの一つ 位置エネルギー：重力場中のポテンシャルエネルギー m1•m2
重力(重力場に発生する力) F = G r2 m1: 物体1の質量, m2: 物体2の質量, r: 物体間距離, G: 重力定数 電場エネルギー(電位)：電場中のポテンシャルエネルギー q1•q2 静電相互作用(クーロン力) F = k r2 q1: 物体1の電荷, q2: 物体2の電荷, r: 物体間距離, k: 比例定数

21 重力と重力加速度 位置エネルギーは数あるポテンシャルエネルギーの一つ 位置エネルギー：重力場中のポテンシャルエネルギー m1•m2
重力(重力場に発生する力) F = G r2 m1: 物体1の質量, m2: 物体2の質量, r: 物体間距離, G: 重力定数 ここでm1に地球の質量M1、r に地球の半径Rを代入すると M1•m2 M1 F = G = (G ) m2 = gm2 = m2g (= mg) R2 R2 即ち、重力加速度は M1 g = (G ) R2

22 演習 ◯ 質量 5 kg の小球が 30° の斜面を 2 m の高さから転がった。 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視
　 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視 できるものとする。 (1) 物体のもつ位置エネルギー U (J) を求めなさい。 ２m (2) 物体に働く垂直抗力を求めよ。 30° (3) 斜面に水平方向に物体が受ける力を求めよ。 (4) 物体が斜面の下まで下りた時の位置エネルギーはいくらか。 (5) 物体が斜面の下まで下りた時の運動エネルギーはいくらか。 (6) 物体が斜面の下まで下りた時の速度はいくらか。斜面と床面 は滑らかにつながっているものとする。

23 演習 ◯ 質量 5 kg の小球が 30° の斜面を 2 m の高さから転がった。 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視
　 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視 できるものとする。 mg•cos(30°) (1) 物体のもつ位置エネルギー U (J) を求めなさい。 30° 鉛直上向きを正にとると 30° −mg U = mgh = 5(kg)×g(m/s2)×2(m) = 10g J または 98 J 30° ２m −mg•cos(30°) (2) 物体に働く垂直抗力を求めよ。 （鉛直上向きを正にとると） 物体に働く重力 F1 = −mg = −5(kg)×g (m/s2) = −5g (N) 球が斜面を垂直に押す力 F2 = −垂直抗力 F2’ = mg•cos(30°) = 5g(√3/2) = (5√3/2)g (N)

24 演習 ◯ 質量 5 kg の小球が 30° の斜面を 2 m の高さから転がった。 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視
　 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視 できるものとする。 −mg•sin(30°) 30° (3) 斜面に水平方向に物体が受ける力F3を求めよ。 30° 鉛直上向きを正にとっているので ２m −mg 30° F3 = −mg•sin(30°) = −5g(1/2) = −5g/2 (N) (4) 物体が斜面の下まで下りた時の位置エネルギー UU はいくらか。 UU = mgh = 5(kg)×g(m/s2)×0(m) = 0 J (5) 物体が斜面の下まで下りた時の運動エネルギー KU はいくらか。 KU = UU − U = 0 − 10g = −10g J 答 斜面に平行下向きに10g J

25 演習 ◯ 質量 5 kg の小球が 30° の斜面を 2 m の高さから転がった。 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視
　 以下の問いに答なさい。斜面の摩擦力と小球の半径は無視 できるものとする。 (6) 物体が斜面の下まで下りた時の速度はいくらか。斜面と床面 は滑らかにつながっているものとする。 ２m 30° 鉛直上向きを正にとっているので KU = −10(J) = −(1/2)mv2 = −(1/2)×5(kg)×v2(m/s)2 = −5v2/2 −5v2/2 = −10g(J) v2 = (2/5)×10g = 4 |v| = √4g = 2√g m/s 答 斜面に平行下向きに2√g m/s

26 公式 g: 重力加速度; t: 時刻; 加速度: a; (自由落下)速度 v = gt (v = at) 1 1 (自由落下)距離 D =
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