<S6> 理論分析 ラグランジュ乗数法 と 準線形効用関数

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1 <S6> 理論分析 ラグランジュ乗数法 と 準線形効用関数
■ K(14) 補論B + <S2>M想定　 最適解を楽に出す苦労？ １　 便利なラグランジュ乗数法  p.47-8 & 補論B ２　準線形効用関数が重要な理由  p ３　参考： 講義における２階の条件 興味のある方は…

2 前回の復習例 消費者の需要曲線 実質所得とは? 名目所得(予算 I )自体より重要な理由は?
前回の復習例　消費者の需要曲線 実質所得とは? 名目所得(予算 I )自体より重要な理由は? I / P = 価格で割るので，その財の購入可能数量　 = 予讃線の切片： 一定なら変化なし！ すべての価格と所得が倍になると？ 消費者行動の比較静学，何が変わった時の何の変化? 外生変数： p, I  内生変数: x*  効用最大水準U(x*) 消費者の最需要曲線が通常右下がりになる理由は?　 スルツキー分解： 自己代替効果 ＋ 所得効果（上級財なら負 if P ↑） 需要曲線の勾配と需要の価格弾力性との異同は？ 水平  弾力的，垂直  非弾力的 but 同一直線上でも異なる

3 本日の読解力Check: ラグランジアン 消費の条件付き最大化問題，言葉で具体的に説明できる? p.485,487
 p.485 不等号の場合 g ≧ 0 M想定(内点解x*，1線形等式制約g，凹関数f)の具体例は? <S2> このラグランジアンLは? 　λって ? p.48,487  外生・内生変数は? さぁ，後はどうすれば，最適解(x*,y*)を得られる? 内生変数x,y,λの1階（次）の条件だけ！　  <S3>Q1&4

4 １ 便利なラグランジュ乗数法 1の制約条件付き最大化問題を2の制約なしの最大化問題に変換 何が便利か?
１　便利なラグランジュ乗数法 1の制約条件付き最大化問題を2の制約なしの最大化問題に変換　 + <S2> M想定： コブダグラス型の狭義凹関数の例 何が便利か? M想定により，2階の条件は満たされているので，  単調減少する凸な無差別曲線： 限界効用や限界代替率が逓減 １ 階の条件だけで，機械的に最適解を求められる  最適条件「限界代替率＝相対価格」等は自動的に導出

5 １ 階の条件： 非常に便利なコブダグラス Lに関する x, y, λ の勾配（偏微分）が0 ∴ 最適解は， および 1&2 
1&2 　 　 ∴　　　　　　　 3に代入 3式から３未知数x, y, λを，外生変数A, a, b, px, py, I で表す ∴ 最適解は，　　　　　および　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 p.47: 右上のλ＝ 所得の限界効用 ＝ １ 円当たりの限界効用  <S5> 限界代替率（限界効用の比率）＝ 相対価格

6 Q1 理解度Check: 最適解の導出 効用関数が u = 4 𝑥 𝑦 のとき，Lを作って最適解x*, y*を求めると?
px = py = 100, I =  <S4> Q4 & <S5>Q1 py = 200 に上昇した場合は?  <S4> Q5 所得が，I = 1000 に増加した場合は? 　  <S5> Q1 価格体系が， px = py = 80 に低下した場合は?  <S5> Q1 以上の計算結果を前頁の結果 x*= I / 2 px, y*= I / 2 py と比べると? x* = 4, y* = 4 x* = 4, y* = 2 x* = 5, y* = 5

7 ラグランジュやコブダグラスは難しいか？ ラグランジュ乗数法がよく使われる理由 コブダグラス型フォームがよく使われる理由
制約なし最適化への変換により，一定の条件下では機械的に解ける コブダグラス型フォームがよく使われる理由 効用関数や生産関数でも多用される 凹関数となり，必ず内点解と教科書的な無差別曲線を持つ　0<a,b<1 a+b≦ 1 理論： 計算・微分がラグランジュ法では簡単　　 基本公式だけで（<S3>Q1 & Q4 ）十分なレベル 実証: 経験的なテストが容易 対数をとれば，線形になる（対数線形モデル）

8 ２ 準線形効用関数が重要な理由 コブダグラス型効用関数は，消費者の主体均衡分析に便利 準線形効用関数は，所得効果がゼロ p.170-2
２　準線形効用関数が重要な理由 コブダグラス型効用関数は，消費者の主体均衡分析に便利 計算が簡単なうえ，標準的な無差別曲線  代替効果 + 所得効果 But 市場の部分均衡分析での消費者余剰分析では所得効果が邪魔 準線形効用関数は，所得効果がゼロ p.170-2 u(x, y) = v(x) + y  y については線形という意味で準線形 「消費者(純)余剰 = 消費者の純便益」の条件 p.173, V(15, p.233) =消費者が市場から得る純便益 if 十分に所得が大きく，所得効果がゼロ But 通常は消費者余剰＝消費者が市場から得る金銭的純便益 として説明  逆に言えば，通常は「所得効果が小さい」と暗黙に仮定

9 準線形無差別曲線と所得-消費曲線 所得-消費曲線 u(x, y) = v(x) + y = x0.5 + y V(15, p.66, 98)
右図 所得が増えても，xは変化しない  所得効果がゼロ コブダグラス型の所得-消費曲線は?  ホモセティック x y B A 所得-消費曲線

10 理論分析の最初の一歩 当該分野の標準モデルを理解し，具体的な道具を習得 問題に適した道具を選ぶ
消費： ラグランジュ乗数法 + 効用関数形（コブダグラス，準線形） 問題に適した道具を選ぶ 消費： コブダグラスのラグランジアン，余剰： 準線形 予測（結果・含意）の有用性（意義と経験妥当性） ただし，仮定に反するような矛盾・正確な推論のチェック 所得効果の大きな財（ブランド品やスポーツカー）の消費者余剰分析

11 ３ 参考： 講義における2階の条件 本講義の計算問題では，2階の十分条件は常に満足  <S2> M想定
３　参考： 講義における2階の条件 本講義の計算問題では，2階の十分条件は常に満足　 <S2> M想定 制約なしの最大化問題 目的関数は狭義凹関（M2)　⇔　へシアンは負値定符号 例： 狭義凹型のコブダグラス型の目的関数　 へシアンは負値定符号 １階の条件は，大域的に唯一の最大値 制約条件付き最大化 目的関数は凹関数で，１つの線形等号制約式　 内点解は存在 例： 狭義凹型のコブダグラス型の目的関数　 縁付きへシアンは負値定符号 ∴ 本講義では，1 階の条件の計算だけで十分 ただし図解では，完全代替・補完や準線形の効用関数も扱う 今回使った凹型のコブダグラス効用関数の例　 次頁・生産関数

12 へシアンの具体例 コブダグラス型のへシアン（２変数） コブダグラス型の縁付きへシアン（２変数・１制約）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 0 < a, b < 1 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a + b < 1　　　　　　　　 コブダグラス型の縁付きへシアン（２変数・１制約）  a + b < 1 は必ずしも必要ではない 　 狭義凹である必要はない　 <S7-8>コブダグラス生産関数 限界生産性逓減: 0<a.b<1 規模に関する収穫不変: a+b=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13 本日の要点 & 次回への準備 消費の理論分析の道具： ラグランジアンと代表的な効用関数
ラグランジュ乗数法は，1階の条件だけで十分であれば，たんに勾配0 特にコブダグラス型なら，基本公式だけで十分 ただし反復練習 しかし消費者余剰分析の背景としては，準線形の方がふさわしい 理論分析： 都合の良いモデル but その仮定は妥当か？ 次回準備  <S1-6>の学習力Check 　  80点を目標 わかっている点と分からない点を識別できている？ 予想理解度は?  　学生証 + 黒ボールペン + 黒のHB鉛筆と消しゴム

14 QL 予算制約下の効用最大化モデルの最終Check
問題　 ラグランジアン L は? その １ 階の条件は？ 最適解は? px = 20 に上昇した場合は? px = 20, py = 40, I = 2000 に上昇した場合は? 4-5への変化を図示できる？

15 AL 繰り返せば誰でも解ける パラメーター： px = 10, py = 20, I = 1000 x, y, λで偏微分 = 0
y / x = 20 / 20 = 1  x* = 25  y* =25 y / x = 20 / 40 = 1/2  x* = 50  y* =25