H： 化学平衡 ２００６年１１月２７日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一

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1 H： 化学平衡 ２００６年１１月２７日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一
教官名　　　　　中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 休講：１２月４日、１月１５日、１月２９日 D:　化学平衡

2 Ｈ．１．化学平衡 ａ1A1＋ａ2A2＋ ａ3A3＋ ….＝ ΣａjＡj＝０ 例 Ｈ２－２Ｈ＝０ 水素の解離 ＨーＨ＋－ｅ＝０ 水素の電離
例　　　Ｈ２－２Ｈ＝０　　　　　　　　　　　　　水素の解離 　　　　　ＨーＨ＋－ｅ＝０　　　　　　　　　　　水素の電離 　　　　　ＣＯ－Ｃ－Ｏ＝０　　　　　　　　　　一酸化炭素の形成 最初の例では、a1=1, A1=H2, a2=-2, A2=H である。 ｎｊ＝ｎ（Aj)=Ajの数密度　を求める問題を考えよう。 孤立系（エネルギーＵ、体積Ｖ、粒子数Ｎが一定）では、エントロピー極大が平衡に対応するが、温度Ｔ，圧力Ｐが一定の環境では、ギブスの自由エネルギー 　G=U-TS+PV =ΣμjNj が 極値をとる。（μｊは　ｊ-種粒子の化学ポテンシャル） 上の反応では、１回の反応でΔＮｊ＝ａｊの変化が起きるから、ｄＲ回では、 ｄＮj＝ａjｄＲ。そこで、Ｔ，Ｐ一定下での化学反応（Ｎｉが変化）を考えると、 　　　　　ｄＧ＝－ＳｄＴ＋ＶｄＰ＋ΣμｊｄＮｊ＝ ΣμｊｄＮｊ＝ （Σμｊａｊ）ｄＲ＝０　 したがって化学平衡の条件は、 Σａｊμｊ＝０　 D:　化学平衡

3 ｎｊ＝Ｎｊ／Ｖ＝ Ajの数密度（個/ｃｍ３）、 ｎＱ、ｊ＝（2πmｊkT/ｈ２）３/２＝Ajの量子密度（個/ｃｍ３）、
　　一般に、気体の化学ポテンシャルμｊは、 　　　　　ｎｊ＝Ｎｊ／Ｖ＝　Ajの数密度（個/ｃｍ３）、 　　　　　ｎＱ、ｊ＝（2πmｊkT/ｈ２）３/２＝Ajの量子密度（個/ｃｍ３）、 　　　　　Ｚin,j＝Σexp (－Ein,j/kT)=Ajの内部状態分配関数　 　である。　 前節の平衡条件、 に上のμｊの式を代入すると、 　（質量作用の法則） 　　粒子の内部自由エネルギー　Ｆin　は、内部分配関数　Ｚｉｎ　　と 　　Ｆin＝－kT ｌｎ Ｚin ＝－kT ｌｎ[Σexp (－Ein/kT)]　で結ばれているから、 　　Πｎjａj＝Π[ｎＱjνj　exp(-ａj Ｆinj/kT)] 　と書く場合もある。 D:　化学平衡

4 例１： 励起準位 Ａｉ－Ａｊ＝０ 下図のような、ｊ 準位と ｉ 準位の間の遷移を反応の一つと見なす。
例１：　励起準位　　Ａｉ－Ａｊ＝０ 下図のような、ｊ 準位と ｉ 準位の間の遷移を反応の一つと見なす。 　ａ ｉ =1, Zi＝ｇi exp(－Ei/kT),　　ａｊ =-1, 　Zj＝ｇj exp(－Ej/kT) この場合、 Zi ,、 Zj　の表式に∑記号がないことに注意。 さらに、　ｎＱ＝（2πmkT/ｈ２）３/２＝共通なので、質量作用の法則を書き下すと、 　Πｎjａj＝ ｎi1ｎj－1 Π[ｎＱjａj Ｚinjａj ]= [ｎＱi1 Ｚini1 ] [ｎＱj－１ Ｚinj－１ ] ＝ Ｚini1 Ｚinj－１ 統計重み　数密度 ｇｉ　　　　　　ｎi Ｅ ｉ ｇｊ ｎj 特にｊ＝０（基底状態）の時、 Ｅ ｊ ｇｏ ｎ0 　　　 =励起原子の数密度 D:　化学平衡

5 例２： 水素の（第１励起／基底）比 n１ n0 ｇ１＝８ ｇ０＝２ log(n1/no)
例２：　水素の（第１励起／基底）比 n１ ｇ１＝８ E１＝１０．１５ｅＶ n0 ｇ０＝２ －２ －４ －６ ０ １ ２ ３ ４ (５１１５６/T) 5 log(n1/no) T=３００００ Ｂ０型 T=１００００ Ａ０型 T=４２０００ Ｏ５型 Ｔ＜１００００Ｋ（Ａ０より晩期型星）では、log（ｎ１/ｎｏ）＜－５で大変小さいことが分かる。 Ｔ＝８５０００Ｋで ｎ１＝ｎｏ となり、 Ｔ∞では　ｎ１/ｎｏ＝４　に接近する。 D:　化学平衡

6 例３：ボルツマンの式 (Boltzmann’s formula)
ある原子の総数密度を　ｎ　とし、うち基底状態にｎｏ、第１励起状態にｎ１、第２励起状態にｎ２，．．．あるとする。　ｎ＝ｎｏ＋ｎ１ ＋ｎ２ ＋．．．である。 前節の例１で示したように なので とすると、 したがって、 ｇ２ E２ ｇ１ E１ ｇo E=0 D:　化学平衡

7 例４： 水素原子の電離 Ｈ＋＋ｅ－Ｈ＝０ (I=inization energy)
内部エネルギーの相対的な値の決め方には注意がいる。 　　 自由電子と陽子の内部エネルギーをそれぞれ０とする。　すると、中性水素 　　原子の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離 　　エネルギーで水素では１３．６ｅＶである。 　　電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、（原子核の方は無視） 　　電子とＨ原子のＺｉｎには２が入ってくる。　　 　　　　　H ＋ 　　　 e ー 　　　Ｈ　　＝　０　　 E　： I g ： １　　　　　　　　　 ２　 ２ Zin ：　 １ ２　　　　　　　　　２ ｅｘｐ（Ｉ/ｋＴ） ｎＱ　： （2πｍＨkT/ｈ２）３/２　　（2πｍekT/ｈ２）３/２　　　（2πｍＨkT/ｈ２）３/２　　 D:　化学平衡

8 （質量作用の法則）を前頁の電離に適用する。
　（質量作用の法則）を前頁の電離に適用する。 H（中性水素原子）を I 、　H＋（水素イオン）を II と表すと、　　 １・ＨＩＩ＋１・Ｅｅ－１・ＨＩ＝０ ａII=1, ａ（ｅ）＝1, ａI＝‐１　だから、質量作用の法則は、 　：　サハの電離式　 （Ｓａｈａ　ｅｑｕａｔｉｏｎ） D:　化学平衡

9 ｎＱ ： （2πｍＨkT/ｈ２）３/２ （2π2ｍＨkT/ｈ２）３/２
例５：　水素分子の解離　２Ｈ－Ｈ２＝０ 電離の時とは違って、今度は水素原子の内部エネルギーを０とする。すると、水素分子基底状態の内部エネルギーは－Ｄである。Ｄは解離エネルギー　　　　（Ｄｉｓｏｃｉａｔｉｏｎ　Ｅｎｅｒｇｙ）で、水素ではＤ＝４．４７ｅＶである。 　　　　 　２ H 　　　 ー 　　　Ｈ２　　＝　０　　 E　： D（-4.476eV) g ： 　　　　　 ２　 ４（Ｓ＝０　ortho，１ para） Zin ：　 ２　　　　　　　　　 ｅｘｐ（D/ｋＴ） ｎＱ　： （2πｍＨkT/ｈ２）３/２　　　　　 （2π2ｍＨkT/ｈ２）３/２　　 ａ（Ｈ）＝２、　　ａ（Ｈ２）＝－１ であるから、質量作用の法則は、 D:　化学平衡

10 Ｈ．２．サハの式 （Ｓａｈａ ｅｑｕａｔｉｏｎ）
Ｈ．２．サハの式　　（Ｓａｈａ　ｅｑｕａｔｉｏｎ） 原子の電離度はサハの式によって決まる。 　ｎｉ，０＝ ｉ 回電離イオン基底状態の数密度 　ｎｉ＋１，０＝ （ｉ＋１） 回電離イオン基底状態の数密度 　ｎｅ＝ 電子の数密度　　 　Ｉｉ，０ 　＝　ｉ 回電離イオン基底状態からの電離エネルギー　とすると、 　ｎｉ＝ ｉ 回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態） 　ｎｉ＋１＝ （ｉ＋１） 回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態） 　に対しては、上式を少し変えた以下の式が成立する。 Ｚｉ＝Σｇｉ・ｅｘｐ（－Ｅ/ｋＴ）（＝ｉ回電離イオンの分配関数）　は前出のＺｉｎと同じ D:　化学平衡

11 ｎ（ｅ）が全てＨから供給されている必要はない。 実際、低温環境では電子はアルカリ金属（Ｎａ，Ｋ）の電離が主な 供給源である。
水素原子の電離に関しては、 　ｎ（ｅ）が全てＨから供給されている必要はない。 　実際、低温環境では電子はアルカリ金属（Ｎａ，Ｋ）の電離が主な 　供給源である。 　しかし、高温になると水素の電離で作られる電子が圧倒的となる。 すべての電子が水素から供給されている場合、ｎ（ H＋）＝ｎ（ｅ）なので、 　exp(‐I/２kT)の因子がボルツマン型のexp(‐I/kT)と異なることに注意。 D:　化学平衡

12 例１： 水素のみから成る星の大気 早期型星大気でのガス圧として、 log Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定する。 サハの式をガス圧
P=nkT で表して、 (励起状態を無視) Pe=PII、Pg=PI+PII+Pe　を代入すると、　 　log10(PII2 / PI) = －13.6(5040/T) logT－0.48 D:　化学平衡

13 B 　　　　　 B A F G K0 T 　 PII2 / (Pg – ２×PII) 3.0E8 　 　 　1.07E-4 PII (erg/cm3) PI NII/NI × ×10－4 NII/(NI+NII) 　　 ３ ×10－4 log T 4.0 4.5 3.5 -1 -2 -3 -4 B0 A0 K0 D:　化学平衡

14 例２ バルマー線 (Balmer lines) 強度と星のスペクトル型
バルマー線は水素原子主量子数 ｎ＝２ ｉ (=3, 4, ...)への吸収線である。 Ｈα線 Ｈβ線 n0 n1 n2 n3 n=1 n=2 n=3 したがって、星のバルマー線強度はｎ１が大きくなるほど強くなる。混乱しやすい慣用法なので注意しておくが、ｎ１の１は第１励起状態の１で、主量子数はｎ＝２である。 Ｈ．１．例２の計算から　n1/n0 を見てみると、 下のように温度が高くなると急に大きくなる。 スペクトル型 Ｂ０ Ａ０ Ｆ０ Ｇ０ Ｋ０ 表面温度(K)　 30, , , , ,350 　　ｎ１/ ｎ０ 　 E E E E-9 ｎ１/ｎ０はＢ０型ではＡ０型の５０００倍になる。 では、バルマー線は高温度星ほど強いであろうか？ D:　化学平衡

15 主系列星大気の総ガス圧を、log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、
NH＝ NI ＋ NII NII NI１ NI NI０ 電離平衡 ボルツマン分布 　（励起） 主系列星大気の総ガス圧を、log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、 星の有効温度を log10T（K)　=３．５、３．６、．．．、４．５とする。 この時に、log10（NI１/NI ）、 　log10（NI/NH）、 log10（ NI１/NH）　 がどう変わるだろうか。 ＰＩ＝水素原子の分圧、ＰＩＩ＝水素イオン（陽子）の分圧とおくと、 Ｐｅ＝ＰＩＩであり、サハの式は以下のようになる。 D:　化学平衡

16 まず、 Ｐｇ＝１０３．５ に対し、 上の式を解いてＰIIを求め、 次に、 ＰI ＝ＰII ２・１０－Ａ から ＰI を決める。 次に、
　　　　　NI１/NI ＝g1exp(-E1/kT) / [g0+ g1exp(-E1/kT) +…] 　　　　　　　　　≒ ４・exp(-E1/kT) / [１+ ４・exp(-E1/kT)] 　　　　 NI/NH＝ ＰI/ＰH ＝ＰI/（Ｐｇ－ PII ） 　　　　 NI１/NＨ ＝（ NI１/NI ）・（ NI/NH ） を計算して次ページの表を得る。 D:　化学平衡

17 ｌｏｇＴ　３．５　　３．６　　３．７　　３．８　　３．９　　４．０　　４．１　　４．２　　４．３　　４．４　　４．５ 　Ａ PII 1.11E E ＰI 　 　 E-3 Log(NI１/NI ) 　 　 　– –9.779 – Log(NI/NH) Log(NI１/NH) 　　　　　　 　　 D:　化学平衡

18 水素（原子＋イオン）中の第１励起原子の割合
０ Log(NI/NH) Log(NI１/NI ) －５ Log(NI１/NH) －１０ 　　　　　　　　　スペクトル型 Ｍ　　Ｋ　　Ｇ　　Ｆ　　　Ａ　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　　　 －１５ 　３．５　　３．６　　３．７　　３．８　　３．９　　４．０　　４．１　　４．２　　４．３　　４．４　　４．５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌｏｇＴ　 　 D:　化学平衡

19 Ｈβ Ｈα Ｈβ Ｈα D:　化学平衡

20 D:　化学平衡

21 Ｈ．３．電子の供給源 恒星大気の温度が高い時には、大量に存在する水素の電離が自由電子の供給源となる。しかし、低温になると水素の電離度が下がり、電子を供給できなくなる。そうすると、存在比は水素より小さいが電離エネルギーが小さくて電離しやすいアルカリ金属が電子供給の役割を担うようになる。 種族ＩＩの星のように低金属量の星では低温でも依然として水素の役割が大きい。 高温大気 水素 アルカリ金属 水素原子 水素イオン 電子 アルカリ金属イオン 低温大気 D:　化学平衡

22 アルカリ金属、Li, Na, K, Sc,..、電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、Te < ５000 K (Ｋ型より晩期 ) ではＫとNa が電子の主な供給源である。 He Ne Ar H B Li Al Na K D:　化学平衡

23 そこで、簡単なモデルで大気中の電子がどのくらい存在するかを調べてみよう。下図の実線は主系列星大気の典型的な（τ≒０．６）ガス圧である。
電子供給源として、水素ＨとナトリウムＮａのみを考え、それぞれが独立に電子を出した時どこで役割が入れ替わるかを計算してみる。元素組成は、ＮＨ：ＮＨｅ：ＮＮａ＝１：０.１：２×１０－６　とする。 ５ 主系列星大気のガス圧 Pg の表面温度 Te による変化 ｌｏｇ１０Ｐｇ （erg/cm3） ４ ３ ３．６ ３．８ ４．０ ４．２ ４．４ ｌｏｇ１０Ｔｅ(K) D:　化学平衡

24 ＰＨ＝ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ とおくと、 ＰＨｅ＝０．１ＰＨ Ｐｅ＝ＰＨＩＩ なので、 Ｐｇ＝Ｐｅ＋１．１ＰＨ
水素が電子供給源の場合 　　ＰＨ＝ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ　とおくと、　　ＰＨｅ＝０．１ＰＨ 　　Ｐｅ＝ＰＨＩＩ　　　　　なので、　　Ｐｇ＝Ｐｅ＋１．１ＰＨ 　　したがって、　ＰＨＩ＝ＰＨ－Ｐｅ＝（Ｐｇ－Ｐｅ）/１．１－Ｐｅ＝（Ｐｇ－２．１Ｐｅ）/１．１ 　　圧力で書いたサハの式は、Ｐｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅ　を用いると、 前ページのグラフとＰｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅ　から上の式を解くと、 　温度　　　　Ｐｇ(erg/cm3)　　A Ｐｅ　(erg/cm3) 　　ＮＨＩ　 　４０００　　　　 ×１０－ ５０００　　　　　 ×１０－５　 　６０００ 　　　　 3.478×１０－３　 　７５００ １００００ ２５０００ × D:　化学平衡

25 ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１ ＰＮａＩＩ＝Ｐｅ ＰＮａＩ＝ＰＮａ－Ｐｅ に注意して、サハの電離平衡の式をＮａに対して書くと、
電子がＮａから供給されるとき Ｎａの電離エネルギーは５.１４ ｅＶ と低い。Ｎａ存在比が低いので、ＰｇへのＰｅの影響は考えなくてよい。したがって、ＰＮａ＝ＰＮａＩ＋ＰＮａＩＩとし、 ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１　　　　ＰＮａＩＩ＝Ｐｅ　　　　　　　ＰＮａＩ＝ＰＮａ－Ｐｅ に注意して、サハの電離平衡の式をＮａに対して書くと、 T　　　 Pg(erg/cm3)　　Ｂ ＰＮａ (erg/cm3) Pe (erg/cm3) 　４０００　　　　 ５０００　　　　　 　 　６０００ 　　　 　７５００ １００００ ×１０６ ２５０００ ×10９ 　　どの場合もＮａが完全電離としての解、Ｐｅ＝ＰＮａ＝Ｐｇ×２×１０－６/１.１ 　　 D:　化学平衡

26 Ｔ＞４５００ＫではＨ が電子の供給源となっていることが分かった。
結局、Ｔ＜４５００ＫではＮａ Ｔ＞４５００ＫではＨ　が電子の供給源となっていることが分かった。 ２ １ ｌｏｇ１０Ｐｅ （erg/cm3） ０ －１ Ｈ起源の電子圧 －２ Ｎａ起源の電子圧 －３ ３．６ ３．８ ４．０ ４．２ ４．４ ｌｏｇ１０Ｔｅ(K) D:　化学平衡

27 ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）／ｎ（Ａ）＝[ｎＱ（Ａ＋）ｎＱ（ｅ）／ｎＱ（Ａ）][Ｚ（Ａ＋）Ｚ（ｅ）／Ｚ（Ａ）]
Ｈ．４．一般の原子の電離 Ａ＋＋ｅ－Ａ＝０　 (I=inization energy) 質量作用の法則まで戻ると、 ａ１＝１　　　ａ２＝１　　　ａ３＝－１ ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）／ｎ（Ａ）＝[ｎＱ（Ａ＋）ｎＱ（ｅ）／ｎＱ（Ａ）][Ｚ（Ａ＋）Ｚ（ｅ）／Ｚ（Ａ）] 　　イオンと原子の質量はほぼ等しいので、ｎＱ（Ａ＋）＝ｎＱ（Ａ） 　電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、Ｚ（ｅ）＝２。 　　自由電子とイオンの内部エネルギーをそれぞれ０とする。　すると、中性原子 　　の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離 　　エネルギー。　Ｚ（Ａ＋）＝ｕ（Ａ＋）、Ｚ（Ａ）＝ｕ（Ａ）exp(I/kT)　 　　　　ｕ（Ａ＋）＝ｇ０＋ｇ１ ｅｘｐ（－Ｅ１／ｋＴ）＋ｇ２ ｅｘｐ（－Ｅ２／ｋＴ）+….　 D:　化学平衡

28 ｎ（ Ａ＋）ｎ（ｅ）/ｎ(Ａ) ＝[u（Ａ＋）２／u（Ａ）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT)
結局、 ｎ（ Ａ＋）ｎ（ｅ）/ｎ(Ａ) ＝[u（Ａ＋）２／u（Ａ）]（2πｍekT/ｈ２）３/２ exp(‐I/kT)　 天文ではＰｅ（電子圧）を与えて計算する例が多い。 Ｐｅ＝ｎ（ｅ）ｋＴを使い、数値を入れて ｌｏｇ[ｎ（ Ａ＋）/ｎ(Ａ) ] ＝ｌｏｇ［ u（Ａ＋）／u（Ａ） ］+log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇ Ｐｅ－Ⅰ(eV)(5040/T)－0.48 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐｅの単位は　erg/cm3） D:　化学平衡

29 Negative Hydrogen H‐（水素負イオン）
　　Ｈ＋ｅ － H－＝０　　Wildt ApJ, 89, 295.”Electron affinity in Astrophysics” 　　水素負イオンはⅠ＝０．７５４ｅＶという非常に浅い準位を持つ。したがって、 　　高温の星の大気には存在しない。Ｇ型より晩期の星では非常に重要な 　　光の吸収源である。 　　水素負イオンの束縛状態は、二つの電子がスピン上向き、下向きの両方を 　　占めるので、総スピン＝０であり、統計重みｇ＝１である。 　　自由電子と中性水素の内部エネルギーをそれぞれ０とする。　すると、Negative 　　Hydrogen H－ （陰性水素とは言わない）イオンの内部エネルギーは ‐Ⅰ となる 　　（基底状態のみ考えている）。 D:　化学平衡

30 Ｈ．５．解離平衡 分子雲や晩期型星大気では分子の形成を考慮する必要がある。
Ａ　＋　Ｂ　⇔　Ｃ という分子形成を考えよう。 注意すべきは、この反応式は実際には起きていなくても構わないことである。 水素分子形成を例にとると、H+H＝H2　という反応は直接には起こらず、水素分子は実際には星間ダストの上で形成されると考えられている。それでも、平衡を考える際には A, B, C の持つエネルギーの高さだけが問題となる。 化学平衡での A, B, C の数密度 ｎA, ｎB,　ｎC は質量作用の法則で決まる。 数密度 ｎ から圧力 P ＝ｎｋTの表示に変えると、 D:　化学平衡

31 宇宙標準組成比では原子数の比は、Ｈ：Ｃ：Ｏ＝１：０.３６ ×１０－３ ：０.８５×１０－３
したがって通常のＭ型星の大気中には、OがCの約２倍存在する。M型星大気の 温度は４０００K以下であり、このように低い温度ではCOが安定な分子種である。 COの乖離エネルギーはDCO=11.1eVと大きいことが原因である。 このため、ＣはＣＯとして消費されつくす。後に残るＯがＯＨやＨ２ＯのOが入った分 子を作る。 炭素星ではＣ：Ｏ比が逆転している。炭素星ではCOとして消費されつくすのはOで 残ったＣがＣ２やＣＨを作る。 このように、M型星とC型星では大気中に形成される分子の種類が異なり、それは スペクトルの形に大きく影響している。 D:　化学平衡

32 例：Ｇ－Ｋ－Ｍ型星の大気組成 Ｈ，Ｃ，Ｏが全て原子であったと仮定した時の仮想圧力をＰHO、ＰCＯ、ＰOＯ、
とする。ＰCＯ、ＰOＯ　＜＜　ＰHＯである。 与えられた、ＰHＯ、ＰCＯ、ＰOＯ　と　Ｔ　に対し、 ＰＨ、ＰＣ、ＰＯ、ＰＨ２、……ＰＨ２Ｏ を 決める問題を考えてみよう。 ＰＨ０＝１０００，ＰＣ０＝０．５，　ＰＯ０＝１　ｅｒｇ/ｃｍ３ ＰＨ２＝ＰＨ２/ＫＨ２ ＰＯ２＝ＰＯ２/ＫＯ２ ＰＣ２＝ＰＣ２/ＫＣ２ ＰＯＨ＝ＰＯＰＨ/ＫＯＨ ＰＣＨ＝ＰＣＰＨ/ＫＣＨ ＰＣＯ＝ＰＣＰＯ/ＫＣＯ ＰＨ２Ｏ＝ＰＯＨＰＨ/ＫＨ２Ｏ ＰＯＨ＝ＰＨ ＋２ＰＨ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＨ＋ ２ＰＨ２Ｏ ＰＯＣ＝ＰＣ＋２ＰＣ２ ＋ＰＣＨ＋ＰＣＯ ＰＯＯ＝ＰＯ＋２ＰＯ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ 求める未知数はＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２ 、ＰＯ２ 、ＰＣ２ 、ＰＯＨ、ＰＣＯ、ＰＣＨ、ＰＨ２Ｏの１０個 である。高温では原子優勢、低温ではＨ２とＣＯ、Ｈ２Ｏが大量にできる。 D:　化学平衡

33 ｌｏｇ１０Ｋｐ（Ｔ） を下の表に示す。Ｋｐ（Ｔ）の単位はdyn/cm2である。 COに対するＫｐ（Ｔ）が小さいことに注意せよ。
　　　　Ｔ Ｃ 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 4,000 5,000 6,000 Ｈ２ -11.09 -3.56 0.42 2.82 4.40 6.36 7.70 8.48 Ｏ２ -13.32 -4.79 -0.13 2.35 4.11 6.27 7.71 8.59 Ｃ２ -18.54 -8.48 -2.87 -0.04 2.04 4.61 6.31 7.29 ＯＨ -11.05 -3.65 0.21 2.61 3.95 5.94 6.44 8.16 ＣＨ -6.53 -0.67 2.26 4.31 5.55 7.06 8.14 8.76 ＣＯ -42.98 -24.74 -14.33 -9.43 -5.67 -0.89 2.12 3.92 Ｈ２Ｏ -13.61 -5.05 -0.53 2.17 6.13 7.62 8.46 D:　化学平衡

34 Ｆ１＝ＰＨ２ーＰＨ２/ＫＨ２、F2＝ＰＯ２ーＰＯ２/ＫＯ２、…、 F10=ＰＯＯー（ＰＯ＋２ＰＯ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ）とするとき、
ある温度Tで与えられたＫＨ２、ＫＯ２、…、ＰＯOに対して、 F1=0, F2=0, …　F9=0, F10=0となるＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、．．．ＰＣＨ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ を求める問題である。 １０変数の連立式なので、一般には、 　　（１）適当な初期値からスタートして、 　　（２）ヤコビ行列の逆行列を作り、 　　（３）F1=0, F2=0, …　F9=0, F10=0が満たされるまで、ＰＨ、ＰＯ、．．．ＰＨ２Ｏを 変えていくのだが、逆行列がうまく求まらない場合があるので注意が必要。 例えば、ＰＨ、ＰＯ、ＰＣ　のみを独立変数と考え、残りの分圧は平衡式から厳密 に求め、F8＝０,　F9＝０,　F10=0　を満たすＰＨ、ＰＯ、ＰＣ　を探す方法などもある。 D:　化学平衡

35

36 Ｈ．６．散光星雲の輻射過程 １ 電離水素 ｈν＞ｈνＯ＝１３.６ｅＶの フォトンを電離フォトンと呼ぶ。 ｈν 基底状態の水素 高温度星
Ｈ．６．散光星雲の輻射過程　１ 電離水素 高温度星 　ｈν＞ｈνＯ＝１３.６ｅＶの フォトンを電離フォトンと呼ぶ。 ｈν 基底状態の水素 D:　化学平衡

37 散光星雲の輻射過程　２ 光電離 ｅ ｐ ｈν Ｈ 再結合 ｈν D:　化学平衡

38 散光星雲の輻射過程 ３ 光電離 再結合 特にσ１（ｎ＝１から自由状態への光吸収）が重要。
散光星雲の輻射過程　３ 光電離 　　特にσ１（ｎ＝１から自由状態への光吸収）が重要。 　　ＮＨ　：　ｎ＝１状態のＨ数密度　　Ｎｅ　：　電子数密度　　Ｎｐ　：　プロトン数密度 　　Ｉν（ｒ）＝ＩνＳ（ｒ）＋ＩνＤ（ｒ）　　ＩνＳ（ｒ）：星からの輻射　　ＩνＤ（ｒ）：星雲内の発光輻射 　　Ｊν（ｒ）＝ＪνＳ（ｒ）＋ＪνＤ（ｒ）　ＪνＳ（ｒ）：星からの平均輻射強度　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＪνＤ（ｒ）：星雲内の発光平均輻射強度 　　Ａ　：　光電離レート（回/ｃｍ３/ｓｅｃ）　　　Ｐｈｏｔｏｉｏｎｉｚａｔｉｏｎ 　　　　Ａ＝ＮＨ∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν） σ１νｄν 　　　　 σ１ν ＝６×１０－１８（νｏ / ν）３　ｃｍ２ 再結合 　　Ｒ　：　再結合レート（回/ｃｍ３/ｓｅｃ）　　　Ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ 　　　　Ｒ＝ＮｐＮｅα（Ｔ）　　　　　　 α＝再結合係数（ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ） D:　化学平衡

39 散光星雲の輻射過程 ４ 再結合 α＝ α１ ＋ αＢ free free Ｈν＜ｈνｏ ｈν＞ｈνｏ＝１３.６ｅＶ
散光星雲の輻射過程　４ 再結合 　　α＝　　　　　　　α１　　　　　　　　　　　　　＋　　　　　　　αＢ free free ｎ＝ ３ ２ Ｈν＜ｈνｏ ｈν＞ｈνｏ＝１３.６ｅＶ １ 　Ｔ（Ｋ）　　　α(cm3sec-1)　　　　　α１　　　　　　　　　　　　　　　　　αＢ 　５,０００　　6.82 ×10-13　　　　　　　2.28 ×10-13　　　　　　　　　　　　4.54 ×10-13 １０,０００　　4.18 ×10-13　　　　　　　1.58 ×10-13　　　　　　　　　　　　2.60 ×10-13 ２０,０００　　2.51 ×10-13　　　　　　　1.08 ×10-13　　　　　　　　　　　　1.43 ×10-13 D:　化学平衡

40 散光星雲の輻射過程 ５ ｈν＝１３．６ｅＶのフォトンが星間雲中をどのくらい動けるか考えよう。
散光星雲の輻射過程　５ ｈν＝１３．６ｅＶのフォトンが星間雲中をどのくらい動けるか考えよう。 平均自由行程＝Ｌ、水素原子密度＝Ｎとすると、Ｌｙｍａｎ連続吸収端で σ＝６×１０－１８ｃｍ２だから、τ＝ＮσＬ＝１より、 Ｌ＝１/Ｎσ＝１．６×１０１９ｃｍ－２ /Ｎ＝５．４×１０－３（１０３ｃｍ－３/Ｎ）ｐｃ 高温天体（Ｏ型星や惑星状星雲）の周りの星雲（半径Ｒ）の密度が高いと、 Ｌ＜＜Ｒとなる。このような星雲での電離、再結合を考える。 　　　　平均輻射強度　Ｊν ＝（Ｆν /４π）＋Ｓν　 　　　　　　　　　　　　　　Ｆν /４π＝中心星からの電離フォトン 　　　　　　　　　　　　　　Ｓν ＝　星雲内再結合で生み出された電離フォトン　 （１）　光電離率＝再結合率　（Ａ＝Ｒ） 　　　　ＮＨ∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν） σ１νｄν＝ＮｐＮｅα（Ｔ）　 （２）　星の電離フォトンの吸収率＝再結合線の脱出率 D:　化学平衡

41 散光星雲の輻射過程 ６ （２）続き 光電離 自由電子 αＢ 星の電離フォトン 再結合 非電離フォトン 星雲から脱出 α１
散光星雲の輻射過程　６ （２）続き 光電離 自由電子 αＢ 星の電離フォトン 再結合 非電離フォトン 星雲から脱出 α１ α＝ α１ ＋ αＢ 電離フォトンその場で吸収 ｎ＝１ ガス密度の高い星雲では、電離フォトンのＬ＜＜Ｒであり、α１（自由電子→ｎ＝１への再結合）で放出された電離フォトンは直ちに吸収されて光電離を起こす。 αＢ（自由電子→ｎ＝2，３,　．．への再結合）で放出された非電離フォトンは吸収されず星雲から逃げ出す。 上の図から判るように、星からの電離フォトンの吸収＝αＢ再結合の必要がある。 D:　化学平衡

42 散光星雲の輻射過程 ７ （２）続き（星の光） 中心星からのフラックス＝Ｌν、電離フォトンフラックス= Ｐ（個/ｓｅｃ）とする。
散光星雲の輻射過程　７ （２）続き（星の光） 中心星からのフラックス＝Ｌν、電離フォトンフラックス=　Ｐ（個/ｓｅｃ）とする。 τν （Ｒ） ＝τｏ（ν/νｏ）－３　＝中心からの光学深さ 　　　　　　　　τｏ（Ｒ）＝∫０ＲＮＨ（ｒ） σ０ｄｒ Ｆν（Ｒ）＝Ｌνｅ－τν /（４πＲ２） 前ページの、 　　　星からの電離フォトンの吸収＝αＢ再結合、 を式にすると、 　　　ＮＨ∫σν（Ｌν /ｈν）ｅ－τν /（４πＲ２）ｄν＝ＮｐＮｅαＢ D:　化学平衡

43 例：Ｏ型星周囲の電離 Ｏ型星（電離フォトン放出率 P＝１０４９/ｓｅｃ）の周囲Ｈ密度N=Np+ＮH ＝１０４/ｃｍ３、ガス温度 T ＝１０，０００Ｋをとる。 NH=ξN, Np=Ne=(1-ξ)Nとする。 星からＲ＝１ｐｃ（ ３．０８×１０１６ｃｍ）離れた点での電離フォトンの個数フラックスは、 ∫νＯ∞ （４πＪν/ｈν）ｄν＝１０４９ /ｓｅｃ/４π（３．０８×１０１８ｃｍ）２＝８．４ ×１０１０/ｃｍ２ /ｓｅｃ 光電離レート　Ａ＝１０４ξ ８．４ ×１０１０６×１０－１８ ＝５ ×１０－３ξ （回/ｃｍ３/ｓｅｃ） 再結合レート　Ｒ＝ＮｐＮｅα＝ (1-ξ) ２ １０８　4.18 ×10-13 （回/ｃｍ３/ｓｅｃ） Ａ＝Ｒから、 ξ＝ ８×10-３＜＜１ その時、ｈν＝１３．６ｅＶのフォトンの平均自由行程Ｌは、 τ＝ＮH σ１νＬ＝１より、Ｌ＝１/（ １０４×６×１０－１８ ）＝ １．６×１０１３ｃｍ＜＜Ｒ D:　化学平衡

44 レポート問題Ｈ 出題１１月２７日 提出１２月１１日 レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 Ｈ．１．
レポート問題Ｈ　　　　　出題１１月２７日　　　　提出１２月１１日 　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 Ｈ．１． 宇宙の物質を水素のみと仮定する。 水素原子の数密度＝NI 　水素イオン数密度＝NII＝ Ｎｅ＝電子の数密度 　　NH＝ NI ＋ NII 　　　 　　　　電離度＝Ｘ＝ NII / NＨ　　　 熱平衡を仮定し、サハの式を用いて 縦軸： 0 < log T(K) < 横軸： -10 < log NH （ｃｍ－３）< 30 の面内に、Ｘ＝０．９９９９, ０．５,　０．０００１ のラインを引け。 Ｈ．２． 現在の宇宙輻射の温度To＝2.7K、水素原子数密度 No=５×１０－７ｃｍ－３とする。ビッグバン宇宙の進化経路は、スケールパラメター＝a　として、T=To/a、 NH ＝ No /a3　で表される。　Ｈ．１のグラフ上に進化経路を引き、Ｘ＝0.5　となるときの温度Ｔ１をグラフから求めよ。 Ｘ＜０．５の中性原子領域では電子による光散乱が効かなくなり、ガスは輻射と切り離される（decoupling）。この領域ではガス温度ＴｇはＴｇ∝ａ－２で変化する。Ｈ．１の図にdecoupling後のガス温度の変化を書き込め。 Ｈ．３． D:　化学平衡