環境計画数理 佐野可寸志 http://infra.nagaokaut.ac.jp/members/sano/www/Class3.html sano@nagaokaut.ac.jp オフィスアワー　木曜昼休み.

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1 環境計画数理 佐野可寸志 http://infra.nagaokaut.ac.jp/members/sano/www/Class3.html
オフィスアワー　木曜昼休み

2 講義内容 ◎最適化問題（Mathematical Programming） ・線形計画法（Linear Programming）
◎多変量解析 　　・重回帰分析 　　・判別分析 　　・主成分分析 　　・数量化Ｉ類 　　・数量化ＩＩ類 　　・数量化ＩＩＩ類 　　・クラスター分析 ◎ 実験計画法 　　・分散分析

3 最適化問題 最適化問題 ◎目的関数 ○制約条件 線形計画法 目的関数と全ての制約条件：線形（変数の１次式の和） 非線形計画法
　◎目的関数 　○制約条件 線形計画法 　　目的関数と全ての制約条件：線形（変数の１次式の和） 非線形計画法 　　目的関数or制約条件：一つでも非線形なものがある場合

4 線形計画法 Max. Z(x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) = Σ ai・ xj
s.t. Σb1i ・ xj 　≦ b01 …… Σbmi ・ xj 　≦ b0m x1 x2 Z=2 x1+x2

5 線形計画法の例 （１） 機械A 60 [kg/h] 40 [$/h] 機械 B 80 [kg/h] 60 [$/h]
線形計画法の例　（１） 機械A 60 [kg/h] 40 [$/h] 機械 B 80 [kg/h] 60 [$/h] 機械の操作時間の和は10時間以下 費用は480＄以下 Q. 生産量を最大にする機械Aと機械Bの操作時間の 　　組み合わせは，いかほどか？ I will show you a simple example of linear programming. The number of independent variables is two and the number of constraint functions is also two. A company has two machines but it has only one operator.Machine A has ability to make products of 60kg and it takes 40 $ per hour. Another machine B has ability to make products of 80 kg and it takes 60 $ per hour. There are two constraints that Total operation time must not be above 10 hours, and Total cost must not be above 480$. The problem to be solved is to find the best combination of operation time of machine A and machine B that maximize amount of products in this situation,

6 線形計画法の例 （２） Z: 生産量 x1: 機械Aの作業時間 x2: 機械Bの作業時間 目的関数: 制約条件: Z=60x1+80x2
線形計画法の例　（２） Z: 生産量 x1: 機械Aの作業時間 x2: 機械Bの作業時間 目的関数: 制約条件: 　　 Z=60x1+80x2 x1 + x2≦10 4x1 + 6x2≦48 Object function is formulated that z is equal to 60x1+80x2, when variable Z is amount of production, variable x1is operation time of machine A, and variable x2 is operation time of machine B. 0≦x1, 0≦x2

7 非線形計画法 Max. Z(x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn)
s.t. g1 (x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) 　≦ b01 …… gm (x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) 　≦ b0m x1 x2 Z=2 x12+x2

8 非線形計画法の例 変数の数 １ 複数 x2 あり なし 制約条件 x1 x1 x2 x1 x1 b1≦ x1 ≦ b2
　　　　変数の数 １ 　　　　　　 　複数 x2 あり 　　 なし 　　　　　　制約条件 x1 x1 We divide non linear programming into four group by two criterions: one criterion is the number of variables is one or not, and another criterions is the number of constraint function is 0 or not. In this class I will explain the four methods corresponding to these four groups. At firs I CR will explain the easiest case that Number of Variables is one and Number of Constraints is zero. x2 x1 x1 b1≦ x1 ≦ b2

9 多変量解析・実験計画法 教科書 多変量解析法入門 永田 靖 ・ 棟近 雅彦 サイエンス社 参考書 Excelで学ぶ理論と技術 実験計画法
　多変量解析法入門 　永田　靖　・　棟近　雅彦　　　　サイエンス社 参考書 　Excelで学ぶ理論と技術　実験計画法 　星野　直人・関　庸一　　　　　　ソフトバンククリエイティブ社 We divide non linear programming into four group by two criterions: one criterion is the number of variables is one or not, and another criterions is the number of constraint function is 0 or not. In this class I will explain the four methods corresponding to these four groups. At firs I CR will explain the easiest case that Number of Variables is one and Number of Constraints is zero.

10 1.1 多変量データ 第１章 多変量解析法とは Multivariate Analysis 変量＝変数
第１章　多変量解析法とは 1.1　多変量データ Multivariate Analysis 　　変量＝変数 名義尺度：カテゴリーの違いを表す（性別、職業） 順序尺度：順序に意味がある（優良可） 間隔尺度：順序と間隔に意味がある（温度） 比率尺度：順序と間隔に意味があり、原点が定まっている（重さ）

11 1.1 多変量データ 質的変数（qualitative variable） 名義尺度、順序尺度
1.1　多変量データ 質的変数（qualitative variable） 　名義尺度、順序尺度 量的変数（quantitative variable） 　間隔尺度、比率尺度 質的変数 量的変数 間隔尺度 名義尺度 順序尺度 比率尺度

12 外的基準 y y=f(x1,x2,‥，xi ，‥ ，xp) y ：被説明変数 or 従属変数
x1,x2,‥，xi ，‥ ，xp ： 説明変数　or　独立変数

13 1.2　重回帰分析とは

14 1.3　数量化I類とは 1.4

15 1.4　判別分析とは

16 1.5　数量化II類とは

17 1.6　主成分分析とは

18 1.7　数量化III類とは

19 1.9　クラスター分析とは

20 各分析間の関係 1. 量的変数vs.質的変数 2. 外的基準の有無 外的基準 無 主成分分析，数量化III類，クラスター 量的 質的
重回帰分析 数量化I類 数量化II類 説明変数　ｘ 被説明変数　ｙ 判別分析 2.　外的基準の有無 外的基準　無　主成分分析，数量化III類，クラスター

21 実験計画法 実験計画法とは 　1920年代に，イギリスの農事試験場の技師であったR.A.フィッシャーによって考案された，データ収集およびデータ解析に対する統計的方法を提供してくれる方法論。 ①どのように実験を計画すれば，最小限の実験費用でデータを　 　収集することができるか？　 →　データの収集方法(実験計画) 　②計画に従って実施した実験によって得られたデータをどのよ 　うに解析すれば、必要な情報を取り出すことができるか？　 →　データの解析方法(分散分析)

22 紙ヘリコプターの滞空時間 滞空時間？？ 要因 設定範囲 紙の厚さ 薄い・普通・厚い クリップの大きさ 小・中・大 羽の長さ
設定範囲　 紙の厚さ 薄い・普通・厚い クリップの大きさ 小・中・大 羽の長さ 70・80・90mm 羽の幅 20・25・30mm 胴体の長さ 50・60・70mm 胴体の幅 20・30・40mm 羽の間隔 0・10・20mm 要因：実験結果に影響を与えるもの 37=2,187通り

23 実験計画法の基本用語 用語 説明 特性値 実験において測定の対象となる量のこと。特性値を最大化したいのか、最小化したいのか、あるいは規格などによって設定される目標値に近づけたいのか、目的が何かを明確にしておく必要がある。 因子 特性値に影響すると考えられる要因の中で､実験に取り上げたもの。実験計画法では、因子をアルファベット大文字のA、B、C、･･･で表すのが憤例。 水準 実験では、因子の条件を意図的に変えて特性値の測定を行う。この条件のことを水準といい、条件の個数のことを水準数という。水準は、因子の記号に添え字を付けてA1 、 A2 、 A3 、 ･･･ ･などと表す。 繰り返し いくつかの因子の1つの水準組み合わせについて、実験を複数回行うことを繰り返しといい、その回数のことを繰り返し数という。 主効果 因子をある水準に設定したがゆえの効果。 交互作用 複徽の因子の特定の水準組み合わせに対して生じる効果。ある因子Aと因子Bの交互作用は、記号A×Bと表す。 要因効果 主効果と交互作用を合わせてたもの。 特性値：実験において測定の対象となる量のこと。特性値を最大化したいのか、最小化したいのか、あるいは規格などによって設定される目標値に近づけたいのか、目的が何かを明確にしておく必要がある。 因子：特性値に影響すると考えられる要因の中で､実験に取り上げたもの。実験計画法では、因子をアルファベット大文字のA、B、C、･･･で表すのが憤例となっている。 水準：実験では、因子の条件を意図的に変えて特性値の測定を行う。この条件のことを水準といい、条件の個数のことを水準数という。水準は、因子の記号に添え字を付けてA1 、 A2 、 A3 、 ･･･ ･などと表す。 繰り返し：いくつかの因子の1つの水準組み合わせについて、実験を複数回行うことを繰り返しといい、その回数のことを繰り返し数という。 主効果：因子をある水準に設定したがゆえの効果。 交互作用：複徽の因子の特定の水準組み合わせに対して生じる効果。ある因子Aと因子Bの交互作用は、記号A×Bと表す。 要因効果：主効果と交互作用を合わせてたもの。

24 分散分析 紙の厚さ（3種類） A１： 薄い (0.1mm) A2： 普通 (0.3mm) A3： 厚い (0.5mm) 実験：誤差を伴う
変数 　No. 紙の厚さｘ 滞空時間ｙ 1 A2 ｙ1 2 A1 ｙ2 3 ｙ3 4 A3 ｙ4 5 ｙ5 ・ ｎ ｙn 紙の厚さ（3種類） 　A１： 薄い (0.1mm) 　A2： 普通 (0.3mm) 　A3： 厚い (0.5mm) 処理方法 データ　ｙ 計 平均 標準偏差 A1 ｙ11，ｙ12，‥，ｙ1n2 T1・ ｙ1 sy1 A2 ｙ21，ｙ22，‥，ｙ2n2 T2・ ｙ2 sy2 A3 ｙ31，ｙ32，‥，ｙ3n2 T3・ ｙ3 sy3 実験：誤差を伴う 　→　複数回実施 分散分析：水準の差が，特性値に有意な違いを与えているか否かを 　　　　　　　分析する手法．