非一様空間格子幅・時間ステップ幅 および衝突効果 寺田 直樹 名古屋大学太陽地球環境研究所.

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1 非一様空間格子幅・時間ステップ幅 および衝突効果 寺田 直樹 名古屋大学太陽地球環境研究所

2 １．Introduction 非一様な格子分布の利用は、数値流体力学の分野では ２０年以上にわたり盛んに研究が行われている。
複雑な形状の物体周りの場を解く （適切な境界条件） 解像が必要な領域に計算格子を集中 例１．飛翔体周りの電磁環境の解析 例２．衝撃波の反射解析 非一様な格子分布の利用は、数値流体力学の分野では ２０年以上にわたり盛んに研究が行われている。 ⇒　しかし、粒子・ハイブリッドモデルでは 　　 直交格子を用いるのが一般的

3 講義の流れ ・ 非一様な格子分布 （テキスト p.233～） ・ 粒子数の動的変更 （テキスト p.237）
を粒子・ハイブリッドモデルで利用する為の 手法を中心に説明。 　・ 粒子数の動的変更　（テキスト p.237） 　・ 非一様な Δｔ　（テキスト p.238～） 　・ 衝突効果　（テキスト p.240～） 非一様な格子分布と併用されることがしばしばある

4 ２．非一様な格子分布 （流体計算） 格子の種類 ・ 構造格子 (b) ・ 非構造格子 (a) ・ 構造格子と非構造格子の組み合わせ ・ 解適合格子

5 非構造格子 ・ 格子点の並びに規則性をもたない ・ 格子の自由度が高い ・ 有限要素法や有限体積法で使用される
・ 三角形（三次元では四面体）が最も多く用い られるが、四角形（三次元では六面体）や その他のセル形状やその混在もしばしば 用いられる 例．非構造格子を用いた デルタ翼周りの流れ場の計算

6 構造格子 ・ 格子点の並びに規則性をもつ ・ 差分法や有限体積法で使用される 境界適合格子 などがある マルチブロック 重なり格子
格子自由度の 低さを補う 例．境界適合格子を用いた 電極間プラズマの計算

7 非構造格子と構造格子の組み合わせ 解適合格子 三角形（三次元では四面体）セルを用いると 流速計算が多くなる
⇒　高レイノルズ数流れの計算では、高い 　　 空間分解能が必要となる物体近傍に 　　 のみ構造格子（またはプリズム形状の 　　 非構造格子）を用いる　→ 例 解適合格子 流れの計算結果をもとに格子点を移動、 または格子点を追加・削除

8 非構造格子 [Togashi et al., 2001]

9 [Togashi et al., 2001]

10 CFD (Computational Fluid Dynamics)
　　　　航空宇宙分野などが牽引役 　　　　・ 1970年代後半～80年代 　　　　　　　効率の良い計算が最重要課題 　　　　　　　⇒　境界適合格子 　　　　・ 1990年代～ 　　　　　　　実形状周り流れの計算を目指す 　　　　　　　⇒　非構造格子

11 CFD　　　　　　　　　　　　　実形状　　　　　　　　　　　非構造格子 　　　　　　　　　　　　　（形状の微妙な差で 　　　　　　　　　　　　　　空力性能が決まる） Space　plasma　　　　　　　　実形状　　　　　　　　　　構造（or 非構造） の大部分　　　　　　　　プラズマの粒子性　　　　　　　　 格子 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　粒子コード

12 ２.２ 粒子コードへの適用 ・ 非構造格子 ・ 構造格子（境界適合格子） ・ 解適合格子 ⇒ e.g., Lipatov [2002]
２.２　粒子コードへの適用 ・ 非構造格子 　　　　格子形状が三角形（四面体）　⇒　e.g., Kazeminezhad et al. [1995] 　　　　　　プログラミングがやや複雑 　　　　　　物体形状が複雑な場合に使用 （飛翔体環境など） 　　　　格子形状が四角形（六面体）　⇒　e.g., Kallio and Janjunen [2001] 　　　　　　三次元で六面体を用いた場合は、+n レベルの格子では格子体積が 1/8n に。 　　　　　　　　　　　→　隣接するグリッド間内の粒子数の変化が激しい。 　　　　　　　　　　　　　 粒子分割・合体（後述）が必要となる場合が多い。 ・ 構造格子（境界適合格子） 　　　　　　プログラミングが比較的容易で汎用性に富む 　　　　　　物体形状が相当複雑でない限り十分 ・ 解適合格子 　⇒　e.g., Lipatov [2002] 粒子分割・合体

13 ２.３　境界適合格子 ＋ 粒子コード ・ 境界適合格子における変換式 ・ 粒子コードへの適用 　　- 補間法 　　- 粒子局在化法 ・ 適用例

14 適用例 （１） デバイス内での電子軌道計算 [Westermann, 1994]

15 適用例 （２） 金星電離圏 金星電磁圏のグローバルハイブリッド シミュレーション [Terada et al., 2002]

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17 球面上への準一様な格子分布 [Tsugawa et al., 2000]

18 ・ 局所的なグリッド集中による計算の効率化 が行われる。
非一様な格子分布の導入により、 　・ 複雑な形状場での適切な境界条件 　・ 局所的なグリッド集中による計算の効率化 が行われる。 さらに計算の効率化を行う、 　・ 粒子数の動的変更　（section 3) 　・ 非一様時間ステップ幅　(section 4) を説明していく。 非一様な格子分布と併用されることがしばしばある

19 ３．粒子数の動的変更 非一様格子を用いる際には、粒子数の動的変更が 必要となる場合がある 　　　　　　　　 ・ 粒子分割 　　　　　　　　 ・ 粒子合体

20 粒子分割・合体の例 [Lapenta and Brackbill, 1994]
・ 粒子分割 　　　同一速度の２粒子に分割。 　　　ソース項が変化しないように粒子を分割する。 ・ 粒子合体 　　　運動量保存とエネルギー保存を共に満たすことはほぼ不可能。 　　　　　　　　　　　　　のものを合体。 合体により粒子数を１/２にした分布のテスト

21 Lapenta and Brackbill [1994] では計算効率が２倍ほど改善
しかし、 　　・ 合体は近似でしかない。 　　・ 分割において、細かいグリッドでの速度分布に偏りが 　　 出ないようにする為には、上流の粗いグリッド内にも 　　 十分な数の粒子が必要。 　　・ 分割・合体によって系の発展が変わる。 などの問題点がある。

22 グリッド幅 　→　 粒子数 グリッド幅 　←　 粒子数 イオン慣性長 　　グリッド幅 　　　　　　　　　　　　　　　　→　粒子が多い所では 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 グリッドを細かくする

23 ４．非一様時間ステップ幅 時間ステップ幅 Δｔ は、対象とするプラズマ現象を解くのに 十分小さくなければならない。 例えば一般的な陽解法ハイブリッドコードにおいては、 を共に満たす必要がある。

24 このことから、 などの場合は、小さな Δｔ が必要な領域でのみ小さな Δｔ を用いることによって、計算効率を大幅に改善する ことが期待できる。

25 非一様時間ステップ幅 １．背景場が空間変化する場合 例． Wu [1985] 地球磁気圏グローバルシミュレーションでは内部磁気圏領域で
Δｔ を小さくしなければならない 　　・ 強い固有磁場のために　　　　　　　が小さくなる 　　・ 地球中心から 1RE 地点でのアルベン速度は ニ領域で異なる Δｔ を用いたスキーム

26 非一様時間ステップ幅 １．背景場が空間変化する場合 小さな時間ステップの間に速いグリッド側から 遅いグリッド側に伝搬していく短周期擾乱
⇒　有限の伝搬速度の双曲型システムの場合、 　　 緩衝層（通常２～３グリッド）で対処

27 非一様時間ステップ幅 ２．グリッド幅が空間変化する場合 例． Lipatov [2002] ・ 格子幅は （n は格子分割のレベル）
　・ 時間ステップ幅は 　・ 先程と同様に緩衝層を用いて遅いグリッド側の場を補正 　・ 緩衝層では（計算の安定性のために）一時的に粒子分割を行うことも 非一様 Δｘ と非一様 Δｔ の併用

28 ５．衝突効果 ・ 特定のエネルギー帯で衝突頻度が高い衝突過程 ・ 衝突以外の物理過程の介在 （例．惑星電離圏） など･･･ ⇒　プラズマ速度分布が非マクスウェル分布に 流体モデル　＋　衝突効果 粒子モデル　＋　衝突効果

29 [cf. Vahedi and Surendra, 1995]
ＰＩＣコード　＋　モンテカルロ衝突 [cf. Vahedi and Surendra, 1995] １タイムステップ（Δｔ）ごとに衝突粒子を決定する方式を採用 （Δｔ 間の複数回衝突についてはテキスト 参照）

30 Δｔ 間の衝突確率 Ar+-Ar 衝突断面積

31 モンテカルロ衝突のアルゴリズム

32 モンテカルロ衝突のアルゴリズム （「空衝突」導入） ・ 全ての粒子についての計算は 3. のみに
下　図 ・ 全ての粒子についての計算は　 3. のみに ・ 4., 5. は N×Pnull 個の粒子に 　 ついて計算

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34 境界適合格子 ・ 写像の概念を用いて、等間隔直交格子上（計算空間）で計算 を行う （詳細は後述）
・ 格子にそこそこの柔軟性はあるが、特定の領域に格子点を 極端に集中させるのは困難な場合が多い

35 複雑な形状の場合には、複数の格子を組み合わせて 流れ場を覆う方法が一般的に用いられる
マルチブロック、重なり格子 マルチブロック法 重なり格子法 複雑な形状の場合には、複数の格子を組み合わせて 流れ場を覆う方法が一般的に用いられる

36 境界適合格子における変換式 (Appendix 1) という形の方程式は、計算空間 (x, h) では、 となる。 ここで である。
ここで 　　　　　　　　　　　　　　　である。 例えば、点 (i, j) での の差分式は などで数値的に評価しておく。

37 粒子コードへの適用 粒子コードに境界適合格子を適用するためには、 　　多数個の粒子量（ラグランジュ量）　と 　　非一様な格子点上の場の量（オイラー量） を効率的に結びつける方法が必要である。 例えば、粒子量（ 　　　　）からソース項（　　　）を 格子点上でいったん求めれば、場の量に関する 方程式については Appendix 1 の変換式がその まま使用できる。

38 粒子コードへの適用（２） 境界適合格子 ＋ 粒子コード の具体的な計算手順は、 １．粒子量（ ）を格子点上に集めてソース項（ ）を計算する
境界適合格子　＋　粒子コード　の具体的な計算手順は、 １．粒子量（　　　 ）を格子点上に集めてソース項（　　 ）を計算する ２．格子点上で場の量（　　　 ）を進める　（計算空間、 Appendix 1） ３．格子点上の場の量（　　　 ）から、粒子に働く力　　　を計算する ４．粒子量（　　　 ）を進める　（物理空間） 下線部分の粒子量と格子点上の　　　　　　　　 「補間法」 場の量とのやりとりを行う方法　　　　　　　　　　「粒子局在化法」

39 補間法（１）： 補間係数の求め方 通常の等間隔直交格子上での area-weighting method では、 粒子に働く場は格子点上の場
補間法（１）：　補間係数の求め方 通常の等間隔直交格子上での area-weighting method では、 粒子に働く場は格子点上の場 より、 で与えられる。

40 補間法（２）：　補間係数の求め方

41 粒子局在化法 「粒子追跡アルゴリズム」

42 金星電磁圏シミュレーション 金星電離圏 金星電磁圏のグローバルハイブリッド シミュレーション [Terada et al., 2002]