東京理科大学 理学部二部数学科４年 小川 勝 （ ） （ ） 吉岡秀雄 （ ）

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1 東京理科大学 理学部二部数学科４年 小川 勝 （2198044） （2198351） 吉岡秀雄 （2198415）
３．確率過程 ３．１　１次元ランダム・ウォーク 東京理科大学 理学部二部数学科４年 小川　勝 （ ） 　 （ ） 吉岡秀雄 （ ）

2 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka
コイントスの実験 表 実験の設定と問題意識 最初の所持金はゼロ。 コイントスを行う。 表が出たら１円加算。 裏が出たら１円減算。 コインにインチキはない。 ⇒表・裏が出る確率は0.5。 ⇒出現順序にも法則はない。 例えば、表裏が交互に出るコインはおかしい！ この試行を　回繰り返す。この時の所持金は、どのような動き（増減）を示すか？ ＋１円 裏 －１円 ０回：　　　　　 0円 １回：　　　-1円　+1円 ２回：　　-2円　 0円　+2円 ３回：　-3円　+1円　-1円　-3円 裏 表 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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所持金の動き 　　　　　　　　　　+5 　　　　　　　　+4 　　　　　　+3　　　+3 　　　　+2　　　+2 　　+1　　　+1　　　+1 0　　　 0　　　 0 　　-1　　　-1　　　-1 　　　　-2　　　-2 　　　　　　-3　　　-3 　　　　　　　　-4 　　　　　　　　　　-5 ゼロが登場するのは、 偶数回目のみ。 偶数回目には偶数円、 奇数回目には奇数円。 　回目の所持金は、 最大　　円、最小　　円。 このような確率的な動きを 注意：確率は0.5づつでなくてもよい。 表 裏 ランダム・ウォーク 酔歩・乱歩 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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ルート数とパスカルの三角形 16 8 32 　　　　　　　　　　 1 　　　　　　　　 1 　　　　　　 1　　　 5 　　　　 1　　　 4 　　 1　　　 3　　　10 1　　 2　　　 6 4 パスカルの三角形となる。 ⇒所持金がゼロであるライン上が一番ルート数が多く上下で対称になる。 2 1 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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各地点へ至る確率分布 　　　　　　　　　　 1/32 　　　　　　　　 1/16 　　　　　　1/8　　　 5/32 　　　　1/4　　　4/16 　　1/2　　 3/8　　　10/32 1　　 2/4　　　6/16 コイントスの実験結果は、ツリー図を利用すれば、確率論的に理解が可能。 ⇒では、なぜ、わざわざ数値実験をするのか？ 実は、実験条件を複雑にすると、理論的に解けない場合がある。 ⇒吸収壁を設定する。 　生存（倒産）確率モデル ⇒確率が毎回異なるとき。 Dead Line Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Mathematicaの予備知識（１） 乱数の与え方 ［0,1］一様乱数 確率1/2づつの0or1乱数 ⇒Tableは、計算結果を{　}で囲み、リストを作成する。 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Mathematicaの予備知識（２） NestList 初期値 適用回数 この例では、256を初期値として、4回の平方根(Sqrt)計算を行っている。 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの数値実験（数値） Text Program p.160 純関数 難しい Revised Program 0or1の乱数 条件式 True False 条件分岐のIF 関数の定義 リスト の格納 関数f(x)をx=0に100回適用した結果のリスト {x0=0, x1=f(x0), x2=f(x1)=f{f(x0)}, ･･･} Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの数値実験（作図） リストを指定 線で結ぶ Y軸の範囲 グリッドは自動 枠も描画 Excelの折れ線グラフに対応 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの定義 　回目のコイントス結果⇒確率変数 　回目終了後の所持金⇒これも確率変数 表 裏 結果 確率過程 回目 所持金 １時刻前の所持金 当該時刻のコイントス結果 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkと条件付確率 表 裏 マルコフ性 １時刻前の所持金さえわかっていれば、現在の所持金は確率1/2で１円増えるか、減るかしかないのだ！ Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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長期間のシミュレーション（数値） 先ほどと一緒 Text Program p.162 Revised Program 関数の定義 リストの格納 関数f(x)をx=0に10000回適用した結果のリスト 10000回目 上記リストを10個作って、“リストのリスト”として格納 1回目 0回目 {{0, -1, ……,1, 2},{0, -1, ……,130, 131},………………,{0,1,……,-10,-11}} 1個目 2個目 10個目 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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長期間のシミュレーション（加工１） Text Program p.162 ① ② 2行目のStatement ① k個目、x回目のdata 　 xは0～10000まで動く {x,y}という２次元データに変換 {x,y}の組み合わせをリスト化 { {0, data[[k, 1]]} , {1,data[[k, 2]]} , ……, {10000,data[[k,10001]]} } Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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長期間のシミュレーション（加工２） Text Program p.162 ① ② 2行目のStatement { {0, data[[k, 1]]} , {1,data[[k, 2]]} , ……, {10000,data[[k,10001]]} } ② ① 線で{x,y}というデータをつなげ！　kは１から10まで動く { Line{ {0, data[[ 1, 1]]} , {1,data[[ 1, 2]]} , ……, {10000,data[[ 1,10001]]} }, Line{ {0, data[[ 2, 1]]} , {1,data[[ 2, 2]]} , ……, {10000,data[[ 2,10001]]} }, ・・・・・・・・・・ Line{ {0, data[[10, 1]]}, {1,data[[10, 2]]}, ……, {10000,data[[10,10001]]} } } Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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長期間のシミュレーション（作図） 描画せよ！ 図形要素の指定 Y軸の範囲 グリッドは自動 枠も描画 ② Excelの散布図グラフに対応 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

16 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka
Random Walkの平均と分散（１） コイントス１回（確率変数　）の平均と分散 表 裏 表 裏 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの平均と分散（２） ランダム・ウォーク（確率変数　）の平均と分散 　は互いに独立！ Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの挙動範囲（作図１） 標準偏差の１、２、３倍の範囲 関数の先評価 {-3Sqrt[x],・・・,3Sqrt[x]} Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの挙動範囲（作図２） 重ね描き再描画 nが大きいとこでは、二項分布の正規近似が成立。３σの外は、0.3%もない。 %2,%3は前作成図の出力番号 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Random Walkの再帰性 再帰的⇔推移的 iから出発して、いつかにはiに戻る確率Ｌii ＝１：iについて再帰的（recurrent） ≠１：iについて推移的（transient） １次元のランダム・ウォークは再帰的！ 原点から出発した１次元ランダム・ウォークについて、Ｐ（いつかは原点に戻ってくる）＝１。 i Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

21 Random Walkの原点に戻る回数（理論）
Ｐ（2m回までにk回戻る） Ｐ（2m回までにk=0回戻る） m→∞とすると、0に近づく。よって必ず戻る！ 階乗に関するスターリングの公式を使えばＯＫ。 本節における命題の証明は、省略するが、参考文献を参照していただきたい。Textにも表記がある。 数値と作図 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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Ｐ（2m回までにk=1回戻る） k：m+1回＝m+2回・・・＝m回＝ゼロ 自明。原点に戻るには2ステップ以上かけないと無理。 k：0回＝１回＞２回＞・・・＞m回 下線部の証明も自明。帰納法でも使えば証明できる。 m→∞（無限時間）では必ず戻る。しかし、m<∞（有限時間）では1回戻るか戻らないかという確率が高い！ ＝Ｐ（2m回までにk=0回戻る） Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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理論確率分布 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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原点に戻る回数の数値実験（数値） Text Program p.165 核心部分 Revised Program 関数の定義 リストの格納 n=30回目まで実行 原点をカウント 30回目 k=1000個作成 合計されるもの　インデックスの範囲 1回目 0回目 a={0, -1, 0,……,1, 2} 　0,1, ……,0, 0　　　　合計計算 x=1 x=2 x=31 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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原点に戻る回数の数値実験（作図１） 実験確率分布 data1の要素＝yであるものの数 yの動く範囲 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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原点に戻る回数の数値実験（作図２） 重ね描き再描画 　ところで、「試行回数を増やせば、分布が合ってくるのか？」という質問があると思うが、それは、χ2や対数尤度の適合度検定でもやってみればよい。検定はMathematicaでやると面倒なので省略。SASなら簡単にできる！ %5,%6は前作成図の出力番号 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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まとめ ランダム・ウォークとは、１時刻前の状態 x から、確率pで+1、確率1-pで-1進む確率過程である。 理論的には、二項分布の振るまいを示す。 ランダム・ウォークにはマルコフ性がある。即ち、１時刻前の状態 x と、現在時刻での進む方向がわかれば現在の状態が確定する。それ以前の情報は不要。 ランダム・ウォークは再帰的である。即ち、原点から出発すれば、必ずいつかは原点に戻る（原点に戻らないという確率はゼロ）。 実験時間nと戻る回数kに関する定理も紹介した。証明は、参考文献に譲る。 Mathematicaにおける各種命令に関しても理解し、紹介できた。 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9

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参考文献 Ｗ．フェラー 著、河田龍夫・国沢清典 監訳 「確率論とその応用Ⅰ(上巻)」(1960) 紀伊国屋書店 原点に戻る回数に関する証明が記述されている。 p118-p120あたり。 Copyright 2002 M.Ogawa, K.Kimura, and H.Yoshioka 2018/11/9