プログラミング論 II 2008年吉日 主成分分析 数値積分

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1 プログラミング論 II 2008年吉日 主成分分析 数値積分

2 概要 主成分分析 難しい．簡易に触れるのみ． 数値積分 易しい．詳しく説明．

3 主成分分析 主成分分析とは，複数(N個)の要素からなるデータを，重要なM個(M≦N)の要素に代表させて把握する手法． データの要素数を減らす
→ 情報量は失われる → 情報の把握が容易になる 重要度の低い情報を捨て， 重要度の高い情報のみにする．

4 例A(相関の強いデータ) 英語Listeningと 英語Readingの成績 二つのデータ (Listening成績
非常に強い相関が あった場合． 右上がりの軸(水色) でデータを把握すれば ほぼ正確に， データを把握する ことが可能．

5 例A(相関の強いデータ) 水色の横軸の値のみを考えれば，各人の能力はほぼ分かる． 2次元データが1次元データになった．
厳密さは失われたが，理解が容易に． 横軸は，大まかに英語力を示していると言える．

6 例A(相関の強いデータ) 下図の緑色の横の軸1本を 用いて，両データを 代表させた場合， 緑軸の値は英語力を 適切に表現していない．
次元を減らして， 全体を代表させる 場合は， 軸を適切に選択 せねばならない．

7 主成分分析 (2次元値の場合) 第一主成分 重心を通り分散が 最大の方向に 軸をとり，それを とする． それと垂直方向に
英語と数学の成績 重心を通り分散が 最大の方向に 軸をとり，それを 第一主成分 とする． それと垂直方向に 重心を通る軸をとり， これを 第二主成分とする．

8 主成分分析 (N次元値の場合) N次元空間上で，重心点を通り，最も分散の大きい方向に軸をとり，それを第一主成分とする．
第一主成分と垂直な軸の中で，重心点を通り，最も分散が大きい方向に軸をとり，それを第二主成分とする． 以下，同様に第1～第N主成分全てに垂直で，重心点を通り，分散が最大の方向に第N+1主成分をとる．

9 積分 区分求積法と台形公式のみ解説

10 積分 不定積分は，「微分」の逆操作．すなわち，f(x)を不定積分する/の不定積分を求めるとは，「微分したらf(x)になる関数を探す」こと．
定積分は，関数f(x)とx軸に挟まれる部分の面積を求めること． 本講義では，定積分のみを扱う．

11 定積分 とは？ y=f(x)と，x軸と x=aと，x=bで 囲まれた領域の面積を 求めること x=a x=b

12 この短冊の面積は，(xi+1－xi) f(xi)
区分求積法 細かい区間毎の長方形の面積の合計で近似． 全短冊の面積の合計と， はほぼ等しい f(xi+1) f(xi) y=f(x) この短冊の面積は，(xi+1－xi) f(xi) a xi xi+1 b

13 区分求積法 a=x0<x1<…<xn-1<xn=bとして， f (x0)，f (x1)，…，f (xn)が既知なら

14 区分求積法 当然， 長方形の高さは 左の値を使用しても， 右の値を使用しても良い． f(xi) f(xi+1) 左の値を使用 xi xi+1
右側の値を使用 xi xi+1

15 区分求積法の誤差 f(xi+1) f(xi) この部分が近似の誤差 xi xi+1

16 区分求積法 より細かい区間に分割するほど誤差は少なくなる． 長方形でなく台形で近似した方が，より正確な近似になると期待される．
台形公式 (これは1次近似である) 近傍3点を用い，2次式で近似した方がより正確な近似になると期待される． シンプソンの公式 3次式，4次式で近似した方が更に正確． ニュートン・コーツの積分公式

17 区分求積法台形公式 長方形ではなく，台形で近似する． より少ない誤差で計算が可能 f(xi) f(xi+1) xi xi+1

18 区分求積法台形公式 a=x0<x1<…<xn-1<xn=bとして，
f (x0)，f (x1)，…，f (xn)が既知なら 区間[a,b]をn当分した場合， として

19 C言語プログラミング を求めるには？ h = (b-a)/N; N当分すると仮定 f(x1) f(x2) h a x1 x2 x3 x4 b
xn

20 C言語プログラミング を求めるには？ x0～xnを表示してみる． for(i=0; i<=N; i++){
h = (b-a)/N; x0 = a; x1 = a + h*1; x2 = a + h*2; : xi = a + h*i; なので， for(i=0; i<=N; i++){ printf("%lf\n", a+h*i); } N当分すると仮定 x1 x2 f(x1) f(x2) a b h x0 x3 x4 xn

21 C言語プログラミング を求めるには？ 各短冊の面積を表示してみる． for(i=0; i<N; i++){ xi = a+h*i;
xi～xi+1の短冊の横の長さは h， 縦の長さは f (xi) なので， h = (b-a)/N; for(i=0; i<N; i++){ 　xi = a+h*i; area = f(xi)*h; printf("%lf\n",area); } N当分すると仮定 x1 x2 f(x1) f(x2) a b h x0 x3 x4 xn

22 C言語プログラミング を求めるには？ 全短冊の面積の合計を出す． すなわち，定積分． for(i=0; i<N; i++){
h = (b-a)/N; sum = 0.0; for(i=0; i<N; i++){ 　xi = a+h*i; area = f(xi)*h; sum += area; } printf("%lf\n", sum); N当分すると仮定 x1 x2 f(x1) f(x2) a b h x0 x3 x4 xn