数学Ⅲ 複素数平面③.

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1 数学Ⅲ 複素数平面③

2 ド・モアブルの定理 ド・モアブルの定理

3 ド・モアブル アブラーム・ド・モアブル （Abraham de Moivre, 1667年 5月26日 - 1754年11月27日）
フランスの数学者 １６８５年にイギリスに亡命し たため、業績の殆どはイギリ スで行われた。

4 ド・モアブルの定理 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 2 =( cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃) ( cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃) = cos (𝜃+𝜃)+𝑖 sin (𝜃+𝜃) =cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃 同様にして cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 3 =cos 3𝜃+𝑖 sin 3𝜃 よって、 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 𝑛 =cos 𝑛𝜃+𝑖 sin 𝑛𝜃 𝑛 は自然数 ※厳密には数学的帰納法による 自然数 𝑚 に対して、 𝑧 −𝑚 = 1 𝑧 𝑚 とすると、 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 −𝑚 =cos −𝑚 𝜃+𝑖 sin −𝑚 𝜃 したがって、整数 𝑛 に対し 𝐜𝐨𝐬 𝜽+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒏 =𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽

5 例題（ド・モアブルの定理） cos 𝜋 3 +𝑖 sin 𝜋 3 4 =cos 4 3 𝜋+𝑖 sin 4 3 𝜋=− 1 2 − 3 2 𝑖 cos 𝜋 6 +𝑖 sin 𝜋 6 −6 =cos(−𝜋)+𝑖 sin(−𝜋)=−1 1− 3 𝑖 3 = − 3 2 𝑖 3 = 2 3 cos 𝜋 3 −𝑖 sin 𝜋 3 3 = 2 3 cos 𝜋−𝑖 sin 𝜋 =8⋅ −1 =−8

6 練習問題１８ 1+ 3 𝑖 6 を計算せよ。 1+ 3 𝑖= 𝑖 =2 cos 𝜋 3 +𝑖 sin 𝜋 3 であるから 1+ 3 𝑖 6 = 2 6 cos 𝜋 3 −𝑖 sin 𝜋 3 6 = 2 6 cos 2𝜋+𝑖 sin 2𝜋 = 2 6 ⋅1=64

7 練習問題１９ 1− 3 𝑖 −3 を計算せよ。 1− 3 𝑖=2 1 2 − 3 2 𝑖 =2 cos 𝜋 3 −𝑖 sin 𝜋 3 であるから 1− 3 𝑖 −3 = 2 −3 cos 𝜋 3 −𝑖 sin 𝜋 3 −3 = 2 −3 {cos −𝜋 −𝑖 sin (−𝜋)} = 2 −3 ⋅ −1 =− 1 8

8 𝒏 乗根 𝑛 乗根の図形的意味

9 1 の 3 乗根 𝒚 1 の 3 乗根は 𝑧 0 =1, 𝑧 1 =− 𝑖 =cos 2 3 𝜋+𝑖 sin 2 3 𝜋, 𝑧 2 =− 1 2 − 3 2 𝑖 =cos 4 3 𝜋+𝑖 sin 4 3 𝜋 𝑧 1 𝑖 2 3 𝜋 −1 4 3 𝜋 𝑧 0 O 1 𝒙 𝑧 2 −𝑖

10 1 の 4 乗根 𝒚 𝑧 1 1 の 4 乗根は 𝑧 0 =1 =cos 0+𝑖 sin 0, 𝑧 1 =𝑖 =cos 𝜋 2 +𝑖 sin 𝜋 2 , 𝑧 2 =−1 =cos 𝜋+𝑖 sin 𝜋, 𝑧 3 =−𝑖 =cos 3 2 𝜋+𝑖 sin 3 2 𝜋 𝑖 −1 𝑧 0 𝑧 2 O 1 𝒙 𝑧 3 −𝑖

11 1 の 𝑛 乗根 自然数 𝑛 に対して、1 の 𝑛 乗根は、次の 𝑛 個の複素数である 𝒛 𝒌 =𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒌𝝅 𝒏 +𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒌𝝅 𝒏 (𝑘=0, 1, 2, ⋯, 𝑛−1)

12 1 の 6 乗根 1 の 6 乗根は、次の 6 個の複素数である 𝒛 𝒌 =𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒌𝝅 𝟔 +𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒌𝝅 𝟔 𝑘=0, 1, 2, ⋯, 5 よって 𝑧 0 =1, 𝑧 1 = 𝑖, 𝑧 2 =− 𝑖, 𝑧 3 =−1, 𝑧 4 =− 1 2 − 3 2 𝑖, 𝑧 5 = 1 2 − 3 2 𝑖,

13 1 の 6 乗根 𝒚 𝑖 𝑧 1 𝑧 2 𝜋 3 −1 𝑧 0 𝑧 3 O 1 𝒙 𝑧 4 𝑧 5 −𝑖

14 練習問題２０ 1 の 8 乗根を求め、 1 の 8 乗根を表す点を複素数平面上に図示せよ。

15 1 の 8 乗根 1 の 8 乗根は、次の 8 個の複素数である 𝒛 𝒌 =𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒌𝝅 𝟖 +𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒌𝝅 𝟖 𝑘=0, 1, 2, ⋯, 7 よって 𝑧 0 =1, 𝑧 1 = 𝑖, 𝑧 2 =𝑖, 𝑧 3 =− 𝑖, 𝑧 4 =−1, 𝑧 5 =− 2 2 − 2 2 𝑖, 𝑧 6 =−𝑖, 𝑧 7 = 2 2 − 2 2 𝑖,

16 1 の 8 乗根 𝒚 𝑧 2 𝑖 𝑧 3 𝑧 1 𝜋 4 −1 𝑧 0 𝑧 4 O 1 𝒙 𝑧 5 𝑧 7 𝑧 6 −𝑖

17 方程式 𝑧 2 =−1+ 3 𝑖 の解を求めよ 方程式の解 𝑧 の 極形式を 𝑧=𝑟 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 とすると 𝑧 2 = 𝑟 2 cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃 −1+ 3 𝑖=2 cos 2 3 𝜋+𝑖 sin 2 3 𝜋 より 𝑟 2 cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃 =2 cos 2 3 𝜋+𝑖 sin 2 3 𝜋 これより、𝑟= 2 , 𝜃= 𝜋 3 +𝑘𝜋 𝑟>0, 𝑘 は実数 よって、𝜃= 𝜋 3 , 4 3 𝜋 0≦𝜃<2𝜋 𝒛= 𝟏 𝟐 𝟏+ 𝟑 𝒊 , 𝟏 𝟐 (−𝟏− 𝟑 𝒊)

18 練習問題２1 次の方程式の解を求めよ。 1 𝑧 3 =−𝑖 2 𝑧 4 =1 3 𝑧 2 =1+ 3 𝑖

19 方程式 𝑧 3 =−𝑖 の解を求めよ 方程式の解 𝑧 の 極形式を 𝑧=𝑟 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 とすると 𝑧 3 = 𝑟 3 cos 3𝜃+𝑖 sin 3𝜃 −𝑖=cos 3 2 𝜋+𝑖 sin 3 2 𝜋より 𝑟 3 cos 3𝜃+𝑖 sin 3𝜃 =cos 3 2 𝜋+𝑖 sin 3 2 𝜋 これより、𝑟=1, 𝜃= 𝜋 𝑘𝜋 𝑟>0, 𝑘 は実数 よって、𝜃= 𝜋 2 , 7 6 𝜋, 11 6 𝜋 0≦𝜃<2𝜋 𝒛=𝒊, − 𝟏 𝟐 𝟑 +𝒊 , 𝟏 𝟐 ( 𝟑 −𝒊)

20 方程式 𝑧 4 =1 の解を求めよ 方程式の解 𝑧 の 極形式を 𝑧=𝑟 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 とすると 𝑧 4 = 𝑟 4 cos 4𝜃+𝑖 sin 4𝜃 1=cos 2𝜋+𝑖 sin 2𝜋より 𝑟 4 cos 4𝜃+𝑖 sin 4𝜃 =cos 0+𝑖 sin 0 これより、𝑟=1, 𝜃= 𝑘𝜋 2 𝑟>0, 𝑘 は実数 よって、𝜃=0, 𝜋 2 , 𝜋, 3 2 𝜋 0≦𝜃<2𝜋 𝒛=𝟏, 𝒊, −𝟏, −𝒊

21 方程式 𝑧 2 =1+ 3 𝑖 の解を求めよ 方程式の解 𝑧 の 極形式を 𝑧=𝑟 cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃 とすると 𝑧 2 = 𝑟 2 cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃 −1+ 3 𝑖=2 cos 𝜋 3 +𝑖 sin 𝜋 3 より 𝑟 2 cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃 =2 cos 𝜋 3 +𝑖 sin 𝜋 3 これより、𝑟= 2 , 𝜃= 𝜋 6 +𝑘𝜋 𝑟>0, 𝑘 は実数 𝜃= 𝜋 6 , 7 6 𝜋 0≦𝜃<2𝜋 𝒛= 𝟏 𝟐 𝟑 +𝒊 , 𝟏 𝟐 (− 𝟑 −𝒊)

22 定理（ 𝑛 乗根） 0 でない複素数 𝛼 の 𝑛 乗根の１つを 𝑧 0 とする。 1 の 𝑛 乗根を 𝜔 𝑘 𝑘=0, 1, 2, …,𝑛−1 とすると、 𝛼 の 𝑛 乗根は、𝑛 個の複素数 𝑧 0 𝜔 𝑘 𝑘=0, 1, 2, …,𝑛−1 であることを示せ。 証）𝛼 の 𝑛 乗根を 𝑧 とすると、 𝑧 0 𝑛 =𝛼 から 𝑧 𝑧 0 𝑛 =1 よって、 𝑧 𝑧 0 = 𝜔 𝑘 𝑘=0, 1, 2, …,𝑛−1 ∴𝑧= 𝑧 0 𝜔 𝑘 □