電気回路第1 第9回 ー第4章ベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-1 目次 ２位相のずれた電圧（イントロ）

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1 電気回路第1 第9回 ー第4章ベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-1 目次 ２位相のずれた電圧（イントロ）
電気回路第1　第9回 ー第4章ベクトル記号法ー 目次 ２位相のずれた電圧（イントロ） ３ベクトル記号法 ４オイラーの公式 ５複素電圧、複素電流 ６簡略化－交流100Vと呼んで－ ７指数関数を微積分して ８今日のまとめ

2 位相のずれた電圧（イントロ） 電気回路第1 第9回 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 電圧と電流の位相がず
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-1 位相のずれた電圧（イントロ） たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 電圧と電流の位相がず れたケースということで、 例をあげて考えましょう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

3 位相のずれた電圧（イントロ） 電気回路第1 第9回 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 図では、
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-2 位相のずれた電圧（イントロ） 図では、 ０ 時間 電圧 電流 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

4 位相のずれた電圧（イントロ） 電気回路第1 第9回 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 このとき、
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-3 位相のずれた電圧（イントロ） ０ 時間 電圧 電流 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 と 実際には効かない電圧 がかかる。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

5 位相のずれた電圧（イントロ） 電気回路第1 第9回 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 このとき、
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-4 位相のずれた電圧（イントロ） ０ 時間 電圧 電流 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 と 実際には効かない電圧 がかかる。 2つの要素からなる電圧 なので、 2つの要素 2つの要素 2つの素 複素 → 複素数で表現しよう。 複素 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

6 位相のずれた電圧（イントロ） ←1V ←j V 電気回路第1 第9回 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-5 位相のずれた電圧（イントロ） ０ 時間 電圧 電流 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 すなわち、 すなわち、 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 　　　　こちらを実数の　　　　 　　　　こちらを実数の　　　　 ←1V と 　　←j V 実際には効かない電圧 　　　こちらを虚数の　　　 　　　こちらを虚数の　　　 がかかる。 虚数単位を j とします。 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 なので、 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

7 位相のずれた電圧（イントロ） ←1V ←j V ←1+j V 電気回路第1 第9回
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 電気回路第1　第9回 ーベクトル記号法ー 電気回路第1スライド9-2-6 位相のずれた電圧（イントロ） ０ 時間 電圧 電流 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 ←1V 　　←j V 虚数単位を j とします。 と 実際には効かない電圧 がかかる。 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 なので、 たとえば、 ←1+j V ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

8 ？ ！ ベクトル記号法 もう1度グラフから 出しますね。 電圧 時間 ０ 電流 位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式
たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 ０ 時間 電圧 電流 実際には効かない電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ←１V ←j V ←1+j V 虚数単位を jとします。 オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-1 ベクトル記号法 ０ 時間 電圧 電流 もう1度グラフから 出しますね。 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ ？ なぜ、記号法で扱うか？ ！

9 ？ ！ ベクトル記号法 時間の関数 として表わすと、 として表わすと、 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ)
位相のずれた電圧（イントロ） たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 ０ 時間 電圧 電流 実際には効かない電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ←１V ←j V ←1+j V 虚数単位を jとします。 オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-2 ベクトル記号法 時間の関数 ０ 時間 電圧 電流 として表わすと、 として表わすと、 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) などとなり ます。 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ ！

10 ？ ！ これを、 これを、 ここでは、 ここでは、 ベクトル記号法 時間の関数
位相のずれた電圧（イントロ） たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 ０ 時間 電圧 電流 実際には効かない電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ←１V ←j V ←1+j V 虚数単位を jとします。 オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-3 ベクトル記号法 時間の関数 ０ 時間 電圧 電流 電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現することにしよう。 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) これを、 これを、 ここでは、 ここでは、 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ ？ なぜ、記号法で扱うか？ ！

11 ？ ！ ベクトル記号法 これを、 時間の関数 ベクトル記号法 と呼ぶ。 電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分
位相のずれた電圧（イントロ） たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 ０ 時間 電圧 電流 実際には効かない電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ←１V ←j V ←1+j V 虚数単位を jとします。 オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-4 ベクトル記号法 これを、 時間の関数 ベクトル記号法 と呼ぶ。 ０ 時間 電圧 電流 電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現することにしよう。 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) ⇒実数 ⇒虚数 。 とします。 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ ？ ！ なぜ、記号法で扱うか？

12 ？ ！ ベクトル記号法 ベクトル記号法 時間の関数 電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分
位相のずれた電圧（イントロ） たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 ０ 時間 電圧 電流 実際には効かない電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ←１V ←j V ←1+j V 虚数単位を jとします。 オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-5 ベクトル記号法 時間の関数 ベクトル記号法 ０ 時間 電圧 電流 電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) ⇒実数 ⇒虚数 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ ！ なぜ、記号法で扱うか？

13 ？ ？ εjθ＝cosθ＋jsinθ オイラーの公式 導出は省略して、 オイラーの公式 は覚えて下さい。 これです。 ベクトル記号法
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 電気回路第1スライド9-4-1 オイラーの公式 導出は省略して、 オイラーの公式 は覚えて下さい。 εjθ＝cosθ＋jsinθ これです。 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 なぜこうかるのかというと ？ ？ 複素数の演算は

14 ？ ？ sinθ εjθ εjθ＝cosθ＋jsinθ cosθ オイラーの公式 虚軸 １ ０ 実軸 オイラーの公式 複素数の極座標
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 電気回路第1スライド9-4-2 オイラーの公式 θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ 複素数の極座標 表示をご存知で したら、 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 なぜこうかるのかというと ？ 複素数の演算は ？

15 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 電気回路第1スライド9-4-3 オイラーの公式 θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ なお、 εは自然対数の底（ ）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 また、この変な関数の性質は、… ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ？

16 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 電気回路第1スライド9-4-4 オイラーの公式 θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ εは自然対数の底（ ）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 また、この変な関数の性質は、… 虚数の累乗はちゃんとは掛けていないので、 大きくはならないと思います。 　　　で、どんな意味があるかというと、　　 　　　　実は振動的になるんですね。 。そこで、 、絶対値ですが。 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 なぜこうかるのかというと ？ 複素数の演算は ？

17 ？ ？ sinθ εjθ εjθ＝cosθ＋jsinθ cosθ オイラーの公式 虚軸 １ ０ 実軸 オイラーの公式 θ
電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分 と90°ずれた部分 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ０ 時間 電圧 電流 i＝Im sin(ωt+θ) e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間の関数 ベクトル記号法 ⇒実数 ⇒虚数 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 電気回路第1スライド9-4-5 オイラーの公式 θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ εは自然対数の底（ ）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 また、この変な関数の性質は、… 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 　　　で、どんな意味があるかというと、　　 　　　　実は振動的になるんですね。 。そこで、 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ？

18 ？ 複素電圧、複素電流 とりあえず、天下りに電圧と電流を決めます。 簡略化ー交流100Vと呼んでー オイラーの公式 sinθ εjθ
εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 電気回路第1スライド9-5-1 複素電圧、複素電流 とりあえず、天下りに電圧と電流を決めます。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 複素電圧の意味について ？

19 ？ 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、
オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 電気回路第1スライド9-5-2 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 　これを、　 　これを、　 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 複素電圧の意味について ？

20 ？ 複素電圧、複素電流 指数関数 指数関数 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。
オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 電気回路第1スライド9-5-3 複素電圧、複素電流 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 　指数関数 　指数関数 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 複素電圧の意味について ？

21 ？ 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 複素電流、電圧
オイラーの公式 εは自然対数の底（ ）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 εjθ＝cosθ＋jsinθ θ 実軸 虚軸 ０ １ cosθ εjθ sinθ 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 電気回路第1スライド9-5-4 複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) もちろん、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) です。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 複素電圧の意味について ？

22 ！ 簡略化ー交流100Vと呼んでー ∫ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）
複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 電気回路第1スライド9-6-1 簡略化ー交流100Vと呼んでー E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） まず、先ほどの、複素電圧、 複素電流を持ってきましょう。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 ！

23 ！ 簡略化ー交流100Vと呼んでー これらを、 これらを、 ∫ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ
複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 電気回路第1スライド9-6-2 簡略化ー交流100Vと呼んでー E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 　I ＝ │I│εjθ εjωt これと、 これらを、 これらを、 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） εjωt これと、 εjωtだけ分けて書くことができますね。 もちろん、指数関数の性質を使います。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。

24 ！ 簡略化ー交流100Vと呼んでー ∫ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ）
複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 電気回路第1スライド9-6-3 簡略化ー交流100Vと呼んでー E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ εjωt εjωt εjωtだけ分けて書くことができますね。 もちろん、指数関数の性質を使います。 ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。）　　　 こうしてみるとεjωtはいつも (電流、電圧とも）くっついてきます。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。

25 ！ 簡略化ー交流100Vと呼んでー ∫ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ）
複素電圧、複素電流 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) 　i ＝ Im sin(ωt +θ) としていましたが、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 　I＝Imεj（ωt+θ） 　＝ Im cos(ωt+θ)　　　 + jIm sin(ωt+θ) です。 Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 電気回路第1スライド9-6-4 簡略化ー交流100Vと呼んでー E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 ！

26 ？ 指数関数を微積分して tで微分や積分をしたいと思います。 I＝Imεj（ωt+θ） そこで、εjωtもある式を持ってきます。
簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 今日のまとめ 微分 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 積分 ⇒　jω倍 複素電圧 、複素電流 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 　　　 1 　　　jω ⇒　　　　倍 電気回路第1スライド9-7-1 指数関数を微積分して E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） tで微分や積分をしたいと思います。 そこで、εjωtもある式を持ってきます。 とすると大変メリットがあります。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて

27 RL回路、RLC回路などで懸案だったのは、
ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 今日のまとめ 微分 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 積分 ⇒　jω倍 複素電圧 、複素電流 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 　　　 1 　　　jω ⇒　　　　倍 電気回路第1スライド9-7-2 指数関数を微積分して RL回路、RLC回路などで懸案だったのは、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） e = L di dt i = C de dt edt = Li ∫ idt = Ce ∫ といった微積分する関係でした。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 時刻 ｔ で微分することに ついて ？

28 ？ ∫ 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce E＝Emεj（ωt+θ+Φ）
ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 今日のまとめ 微分 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 積分 ⇒　jω倍 複素電圧 、複素電流 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 　　　 1 　　　jω ⇒　　　　倍 電気回路第1スライド9-7-3 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li ∫ idt = Ce E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） これらの式は、 これらの式は、 微積分に対して、 微積分に対して、 は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかでよい。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて

29 ？ ∫ ∫ 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce Idt = Im
ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 今日のまとめ 微分 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 積分 ⇒　jω倍 複素電圧 、複素電流 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 　　　 1 　　　jω ⇒　　　　倍 電気回路第1スライド9-7-4 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li ∫ idt = Ce E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかでよい。 すなわち、 Idt = Im ∫ εj(ωt+θ) jω I jω = = Im ×jωεj(ωt+θ) dI dt = jωI ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 時刻 ｔ で微分することに ついて ？

30 ？ ∫ ∫ ∫ ∫ 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce
ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 簡略化ー交流100Vと呼んでー 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 今日のまとめ 微分 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 積分 ⇒　jω倍 複素電圧 、複素電流 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 　　　 1 　　　jω ⇒　　　　倍 電気回路第1スライド9-7-5 指数関数を微積分して e = L di dt i = C de edt = Li ∫ idt = Ce E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで、 、電圧も同様に、 =Em×jωεj(ωt+θ+Φ) dE dt = jωE dI dt = jωI Idt = Im ∫ εj(ωt+θ) jω Edt = Em ∫ εj(ωt+θ+Φ) jω E = E jω = Idt = ∫ I jω I jω = = Im ×jωεj(ωt+θ) dI dt = jωE = jωI です。 、 および 、 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 時刻 ｔ で微分することに ついて ？

31 ？ ！ 今日のまとめ ∫ ベクトル記号法 では、 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 指数関数を微積分して
Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 スライドの終了 電気回路第1スライド9-8-1 今日のまとめ ベクトル記号法 では、 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ 最初のスライドに戻る。 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。） ！

32 ？ ！ 今日のまとめ ∫ ベクトル記号法 まず、 複素電圧 、複素電流 は、 のポイントは、 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） や
Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 スライドの終了 電気回路第1スライド9-8-2 今日のまとめ 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 まず、 複素電圧 、複素電流 は、 のポイントは、 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 実効値を用いる。 や 　I ＝ │I│εjθ などで、 εjωｔを省略する。 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ 最初のスライドに戻る。 ！ 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。）

33 ？ ！ 今日のまとめ ∫ ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 は、 微分 は、 ⇒ jω倍 すると、 すると、 1 ⇒ 倍 jω 積分 は
Edt = ∫ Idt = I jω です。 e = L di dt i = C de edt = Li idt = Ce および dE = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 　I＝Imεj（ωt+θ） 指数関数を微積分して は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 E dI = jωI 、 スライドの終了 電気回路第1スライド9-8-3 今日のまとめ 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ベクトル記号法 電流や電圧の微分積分 は、 微分　は、 ⇒　jω倍 すると、 すると、 　　　 1 ⇒　　　　倍 　　　jω 積分　は したり、 と簡単に表現されます。 します。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） 　I ＝ │I│εjθ 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 複素電圧 、複素電流 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ 最初のスライドに戻る。 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。） ！

34 !! 補足１：複素数を用いてベクトル記号法 電気回路第1スライド付録
ここでは、電圧、電流、（次回やります）インピーダンスを複素数で表現する手法を学習します。これをベクトル記号法と称しております。 記号法なのは、刻一刻と変化する電圧などを、位相の合っている実数、位相のずれている虚数としますと、時間 t の関数としてちゃんと扱わなくても、1、j といった記号で表現できるといったものです。 一方、ベクトルなのは、複素数の極座標表示を理解いただければ簡単です。複素数は、本来二つの要素（1 と j です。）を考え、これらがいくらあるかと記述するものです。それらを、ｘ軸方向、(1, 0)の単位ベクトルと、ｙ軸方向、(0, 1)の単位ベクトルと考えると複素数Zはx、ｙ座標でのベクトルになりますね。もともと、電圧は実数、ただし時間の関数というものだったのを、複素数時間によらないとしてしまったわけです。 さらに、初期位相のみが残って、εjθ となってしまうと、これは最初から、実部、虚部を持つ値となって、上の単純な説明とは少し異なります。よりわかりやすいのは複素電圧の大きさは、実効値、位相差はθと表現していると思っていただくと良いかと思います。これを、初期位相ゼロの正弦波と比較して位相が合っている部分が実数部分です。このあと電力を計算する際には、さらに注意を払って、電圧と電流の位相差がないときに実効値の積と計算できるようにします。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

35 !! 補足2：虚数の指数関数 電気回路第1スライド付録 わけわからん、虚数の指数関数は何者か考えます。εｊ0はもちろん何もかけませんから、
εｊ0 = ε0 =1 ① です。また、指数関数の本性としてかける関数ですから ε(ｘ+ｙ) = εｘ ×εｙ ② です。これらを虚数にして、 εｊ(ｘ+ｙ) = εｊｘ ×εｊｙ ③ ですね。また、（少しごまかして）虚数回かけるっていうのは、ちゃんとは掛けていませんので、どんどん掛けていっても大きく（小さく）なっては困りますから、絶対値は1ということで、 │εｊｘ │= ④ また、常にただの±１ではつまらないし、結果に虚数が入って複素数になるのはいいんじゃないかと考えますと、あるθがあって、 εｊｘ = cosθ+ jsinθ ⑤ と書けるはずです。あとは、このθが x でどうなるかですが、安直にそのまま x をθにしてしまうと、 εｊθ = cosθ+ jsinθ ⑥ となります。これは、候補の１つに過ぎないようにも思えますが、③式を満たすか調べると、 εｊ(α+β) = cos (α+β) + j sin (α+β) = cosαcosβ－sinαsinβ+ j( cosαsinβ + sinαcosβ) = cosαcosβ＋j2 sinαsinβ+ jcosαsinβ + jsinαcosβ = cosα×cosβ＋ jsinα× jsinβ+ cosα× jsinβ + jsinα×cosβ = cosα×(cosβ＋ jsinβ) + jsinα×( jsinβ+cosβ) = (cosα + jsinα)×( jsinβ+cosβ) = εｊα ×εｊβ ⑦ と満たしてくれる理想的な式なのです。もちろん3角関数の加法定理を用いて います。したがって⑥式のオイラーの公式が得られました。j2を持ち出してきた のは結果のsinには jがかかっていることを知っているからできた変形ですね。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

36 !! 補足3：複素電圧の意味について 電気回路第1スライド付録 複素電圧を天下りに、 │E│εjθ＝│E│cosθ+ j│E│cosθ ①
これは、２つの見方をしてください。 （１）初期位相ゼロの（例えば）電流があったとすると、 　　│I│εj×0＝│I│ ② とくらべると位相の合った部分が│E│cosθ、位相の90°進んだ部分が、 j│E│cosθです。 （２）電圧、電流が、それぞれ、 　　│E│εj(θ+φ)＝│E│cos(θ＋φ) + j│E│cos(θ+φ)　、 ③ 　　│I│εjθ＝│I│cosθ+ j│I│cosθ ④ のとき、指数関数の性質から、電圧の方を変形して、 　　│E│εj(θ+φ)＝│E│εjθ×εjφ 　　＝（電流と同じ位相のもの）×位相差εjφ ⑤ 　　＝電流│I│εjθ×定数×位相差εjφ ⑥ と表現され、位相差の部分がきれいに出せます。この⑥のような表現 （これから述べる、複素数のインピーダンス）を導くため、│E│εjθと いった表現を用いることとしました。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

37 !! 補足4：関数と定数 電気回路第1スライド付録 さんざん出てくるのが、時刻tで微分すると、とか時刻tで積分するととかの表現です。
ax + bt というものがありますと、xで微分するとa、tで微分するとbと言った具合になります。tが出てこないところは、無視して、tの関与するところだけちゃんと微分するとOKです。以上は微分積分学か解析学でちゃんと学習しますが、使えるようになってくださいね。 　　さて、この章では、 aεbt+c をtで微分すると、最初の a はそのままでOK。εxの微分がそのままεxであったことと、x の代わりに関数が入ると、εf(x) の微分は f’(x)εf(x) となることを利用すると、abεbt+c となります。でも、このあとのが大切で、 I = │I│εｊωt+ｊθ を t で微分すると、 dI/dt = jω│I│εｊωt+ｊθ だけでは、時間 t の露なままです。これを、 dI/dt = jωI とすると、話は大分変わってきて、この式には t は出てきません。でも、I は時間に依存しないのでしょうか。そんなことはありませんね、I も dI/dt もともに時間の関数です。ただ両者の関係は j なる変な数字（の亜流）が入ってはいるものの、単なる比例関係で、両者の関係は時刻によって関係ありません。そこで、これからは、t の関数を忘れて、比例関係で議論しましょうということにしました。jωt を書かなくなった のは、こういう意味です。もちろん、j は位相が90°進むという意味ですから、常に 位相差は一定ですよといういみで、瞬時の電圧電流じゃないよと理解してください。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

38 !! 発展１：記号法のメリット 交流電圧 e = 2 sin(ωt + θ） ① √
電気回路第1スライド付録 発展１：記号法のメリット 　交流電圧 　　e = 2 sin(ωt + θ） ① を1 [V] の交流と述べた段階で、既に時間や位相の情報を無視して、交流1 [V] という記号で表したようなものです。こうすると、この電圧の効果を直流のアナロジーで解析できるというメリットがありますね。 　もちろん抵抗だけをつないで回路をつくることは余りないので、インダクタンスやキャパシタンスの効果もちゃんと取り込みたいと考えますね。こうして生まれたのが、複素電圧Eなどで、電圧は測定可能な物理量ですから、複素数ではありません。（注:量子力学で、測定可能な物理量は何がしかの実数になるとあります。）でも、位相差の部分を物理的にはインチキでも、位相差の有無を適切に表現できる便利な記号として、 　　E = εjθ ② と表現します。 　さらに、ここでは扱わないことにした、過渡応答（入力や系に変化のあった瞬間の応答を解析）を調べる場合には別な記号法で、ラプラス変換法というものを用います。時刻tの関 　　　　 　　 　１ 数を新しい変数sの関数（ほぼ１を１/s、ε－at　を ――― などと変形します）としています。 　　　　　 　 s + a ポイントは時刻ｔの関数を使わずに、時刻によって変化する量を表現 していることです。ここでも指数関数を使っている点にも注目ください。 √ ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

39 電気回路第1スライド付録 発展2：jω…に数値を入れて… インダクタンスにかかる電圧はjωLIです。とか、キャパシタンスだと1/ｊωC×Iです。などとありましたが、値でみると前章の計算とおんなじ値になります。（どちらも同じ物理量を表現しているので当然ですが。）一応値をいれておきましょう。 １）100V 60Hz（120πrad/s)の交流で、一応初期位相θを30°（ではなくπ/６）にしておきましょう。この(i)複素電圧と、(ii) 1 kΩの抵抗1個に100 Vかけた場合、(iii) 1 mHのインダクタンス1個に100Vかけた場合、(iv) 1μFのキャパシタンス1個に100Vかけた場合それぞれに流れる電流の複素表示を示しましょう。 (i) 141Vではありません。E = 100εｊπ／6　[V]となります。 (ii) 抵抗だと電流はE/Rで良いですから、I＝E/103＝0.1εｊπ／6　[A] (iii) インダクタンスだとE=LdI/dtですから、 I=（1/L）∫Eｄｔ＝E/jωL＝(100εｊπ／6)/(j×　120π×10-3)＝-j(104/12π)εｊπ／6　[A] あと-j倍すると位相がπ/２だけ遅れると知って、(104/12π)ε―πｊ／3　[A]となります。かなり大きい値ですね。電源回路などでコイルの設計を誤ると焦げたり、ショートしたりいろいろしれかしてくれますのでご注意ください。 (iv) キャパシタンスだと微分はjωをかけることを用いて、 I＝CdE/dt=jωCE＝j×120π×10-6×100εｊπ／6 ＝1.2×10-2πjεｊπ／6＝1.2×10-2πjε2πj／3　[A]となります。 0.1アンペアちょっとでしょうか。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

40 !! 発展3：次回までの演習問題 [1] 交流100 [V]（実効値）を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。
電気回路第1スライド付録 発展3：次回までの演習問題 [1] 交流100 [V]（実効値）を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。 [2] εj（ωt＋π/6）を t で微分するといくらですか [3] 100εj（ωt－π/12）を t で積分するといくらですか [4] I ＝10εj（ωt＋θ）のとき、L を I であらわしなさい。（t を消去すること。） [5] j を計算しなさい。 [6] jω ＝0 となるωを求めなさい。 di dt 1 j 1 jω ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

41 !! 複素数の演算 電気回路第1補助資料 これまでに複素数の加減乗除と共役複素数について理解していれば不要です。
電気回路第1補助資料（複素数の演算） 電気回路第1補助資料 複素数の演算 これまでに複素数の加減乗除と共役複素数について理解していれば不要です。 ここをクリックすると以降 のスライドを見ずに元の テキストにもどれます。 !!

42 j2＝－1 z＝a+bj 複素数の概念 (z－ １) 2＋１＝０の解 を考えよう。 そこで、次の数を考えます。 まず、左辺のグラフを描くと
電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 複素数の概念 (z－ １) 2＋１＝０の解 を考えよう。 虚数（想像した数） （iは用いない。） j2＝－1 そこで、次の数を考えます。 まず、左辺のグラフを描くと (z－ １) 2＋１ z ０ ２ １ 電気のみのグラウンドルールです。 iは電流のためにとっておく。 複素数 z＝a+bj 一般的にすべての2次方程式を 解けたことにしようと思うと、 ０にはならない。 すると上の方程式は（ｚ－１）の二乗が ー１だから、ｚ－１がｊとなれば良い。 aとbはもちろん実数で、虚数が 混ざっている数が複素数です。 そこで、ｚ＝１＋ｊとなります。

43 Z＝a＋bj ＝rcosθ+jrsinθ 極座標表示 次に、Zをもう少し別の 表現で表します。 虚軸 Z b ｒ a ０ 実軸
電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 極座標表示 Z＝a＋bj 次に、Zをもう少し別の 表現で表します。 ＝rcosθ+jrsinθ のaもｂも実数ですから、 Zは二つの実数を組み 合わせたものです。 ベクトル(状のもの）Zは水平方向にa垂直方向にbのだけ行った物。 すこし整理して、 さらにまとめて、 横縦の座標軸はそれぞれ 実数の大きさと、虚数（に かかる実数）の大きさを表 わします。それぞれ、実軸、 虚軸と呼びます。 虚軸 Z b Zの長さをｒとすると、aとbが垂直ですから、ｒは、 r2 ＝ a2 + b2 となります。 aとｂもを対等に横軸a 、 縦軸ｂの座標軸の中で Zを記述しましょう。 θ ｒ さきほどのaやｂはＺの実数 部と虚数部で、記号では、 すると、aやbは三角関数を用いて、 a ０ 実軸 a =rcosθ b =rsinθ =Re(Z) =Im(Z) となります。 となる。

44 !! 複素数の演算 加減 (a1+b1j)±(a2+b2j)＝(a1 ± a2 ) + (b1 ± b2) j 実部、虚部毎に加減
電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 加減 (a1+b1j)±(a2+b2j)＝(a1 ± a2 ) + (b1 ± b2) j 実部、虚部毎に加減 積 (a1+b1j)×(a2+b2j)＝ (a1a2ーb1b2) +(a1b2 +b1a2) j jを記号と思ってかける、j2＝－1 (a2+b2j) (a2+b2j)×(a2ーb2j) (a22＋b22) ＝ 商 (a1+b1j) (a1+b1j)×(a2ーb2j) (a1a2＋b1b2) +(－a1b2 +b1a2) j 共役複素数（次のスライド）を 分子、分母にかける。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

45 !! 共役複素数 虚軸 Z=a+bj b r a ０ ZZ＝(a＋bj)(aーbj) ＝a２ー abj＋bja ー (bj)２
電気回路第1補助資料（複素数の演算） 共役複素数 虚軸 Z=a+bj 共役複素数は、虚部だけマイナス1倍したもの Z=a－bj b r － a θ ー ０ ZZ＝(a＋bj)(aーbj) ＝a２ー abj＋bja ー (bj)２ ＝a２＋b２ ＝r２ ーθ 実軸 r ーb ー Z=aー bj ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!