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Published byHartanti Oesman Modified 約 5 年前
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物理学Ⅰ - 第 11 回 - 前回のまとめ 回転軸の方向が変化しない運動 回転運動のエネルギーとその応用 剛体の回転運動の方程式
物理学Ⅰ - 第 11 回 - 前回のまとめ 回転軸の方向が変化しない運動 運動方程式と回転の運動方程式を連立して解く 回転運動のエネルギーとその応用 エネルギー保存の法則が便利な場合もある 剛体の回転運動の方程式 ニュートンの三法則から導出される 特に、外力によるトルクが働かなければ 剛体の角運動量は保存する
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第10章 流体 この章のポイント 1.圧力についての理解 c.f. 運動量の変化率=力 2.流体力学の基礎 連続の式、ベルヌーイ方程式、粘性
第10章 流体 流体は大学初年度の物理学コースでは扱わない ・・・時間的制約、内容の高度さ 必要に応じて「流体力学」として専門課程で学ぶ シラバスでは内容として含んでいたが時間の都合で省略 医系の履修者(血液は流体)向けの基礎という目的も この章のポイント 1.圧力についての理解 c.f. 運動量の変化率=力 2.流体力学の基礎 連続の式、ベルヌーイ方程式、粘性
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物理未履修者向けに最小限の一般教養 圧力 単位面積当たりに働く力の大きさ 1.物質にかかる負荷の尺度
スカラー量 力:ベクトル量(面に垂直に働く) 圧力:大きさだけ 1.物質にかかる負荷の尺度 指で押すか、針で刺すか・・・力が同じでも効果が異なる 2.流体(気体、液体)から受ける力の本質 流体から受ける力は面の面積に比例する 面積 ⇔ 接触する分子の数 分子のブラウン運動
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浮力 =物体が押しのけた流体の重力の大きさ 密度 ⇒ 圧力 アルキメデスの原理 流体中にある物体が流体から受ける圧力の合力 浮力の大きさ
断面積 高さ ⇒ 体積 圧力 浮力の大きさ アルキメデスの原理
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第11章 振動 この章のポイント 1.単振動:一番単純で基本的な振動 2.減衰振動 3.強制振動と共鳴・・・Advancedなのでスキップ
第11章 振動 この章のポイント 1.単振動:一番単純で基本的な振動 微小な振動は単振動で近似できる(cosωt, sinωt) 波動でも重要な役割(一番単純な波の振動) 単振動のエネルギーは波動のエネルギーの理解に通じる 2.減衰振動 現実の振動は様々な抵抗により次第に減衰 3.強制振動と共鳴・・・Advancedなのでスキップ 共鳴:特定の振動数で振動が大きくなる現象 様々な物理現象を表す概念
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今日の内容 第11章 振動 1.単振動 2.減衰振動 力学分野のまとめ
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第11章 振動 §1 単振動 (11-1~5) 物体を少し動かしても元の場所に戻ろうとする例は多い
第11章 振動 §1 単振動 (11-1~5) 物体を少し動かしても元の場所に戻ろうとする例は多い 安定状態に戻ろうとする性質 復元力・・・元の場所に戻そうとする性質の力 窪みに落ちた物体 振り子 ばねに付けた物体
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次回以降の「波動」との基礎としても重要(光、電磁波、音波)
☆振動運動の特徴 ・安定な位置の周りを往復する 周期 ・運動は周期的(同じ運動を繰り返す) ☆単振動 sin、cosで表される振動・・・最も単純な振動 周期関数で同じ動きを繰り返す→振動 1.フックの法則に従う復元力(kx)が働くときの振動 ・・・ 摩擦、空気抵抗がない理想的状況 2.微小な振動についての良い近似 ・・・ 広い範囲の振動現象が理解できる 次回以降の「波動」との基礎としても重要(光、電磁波、音波)
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☆単振動の運動・・・運動論的記述 力学的理解は後回しにして、 まずsin、cosで表される振動を描写(どんな関数となるか?)
バネの先の重りの位置:x(t) ごとに から までの動きを繰り返す 周期 振幅 振動数 [Hz] 1秒間の繰り返しの回数
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周期、振動数を用いた表現 ω:角振動数 f : 振動数(周波数) 単振動での速度 となるときにスピード最大
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☆単振動と円運動の対応 円運動を横から見ると単振動 ⇒ 1次元に射影 半径 、角速度 の等速円運動は、 角振動数は円運動の角速度と対応
円運動を横から見ると単振動 ⇒ 1次元に射影 半径 、角速度 の等速円運動は、 X軸に射影する 角速度ω 復元力 角振動数ω 角振動数は円運動の角速度と対応 ωは1sに円運動を何周するかを表す
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☆単振動を起こす力 単振動での加速度 力学: ・与えた力に対してどのような運動が起こるかを考える ・・・微分方程式を解く必要
・与えた力に対してどのような運動が起こるかを考える ・・・微分方程式を解く必要 ・物体の加速度から働く力を求める 単振動での加速度
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単振動で働く力 の力が働いているということ ⇔ フックの法則 に従うとき の単振動をする 質量 の物体が単振動しているときは
質量 の物体が単振動しているときは バネ定数k の力が働いているということ 角振動数ω ⇔ フックの法則 がつり合いの位置 バネの自然長の位置 に従うとき の単振動をする
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本来の流れとして表現すると 単振動の運動方程式 質量 の物体が の力を受けるとき フックの法則に従う復元力 (微分方程式)
質量 の物体が の力を受けるとき フックの法則に従う復元力 単振動の運動方程式 (微分方程式) の解として単振動が実現する 補足: 二階微分方程式の解は、
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☆一般の復元力が働く場合 微小な振動の場合 線形近似 では力が働かない におけば静止したまま では に引き戻そうとする では
は原点での接線(図の赤線)で近似できる 線形近似 ⇒ 微小な振動はすべて単振動
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☆振り子 小さな振動を単振動で近似する代表例 角度の振動と捉えるとよい ⇒ の関係によりつり合いの位置から
円弧の移動量 の関係によりつり合いの位置から 円弧に沿って測った距離を考えるのと同じ 張力 円弧に沿って測る距離(正負あり) 接線方向の速度の成分(距離の変化率) 接線方向の加速度の成分 重力 中心方向の加速度の成分は別
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円の接線方向の運動方程式 接線方向の力 従って、 線形近似 を使って書き表すと、 線形近似 より、 の角振動数の単振動をする 周期
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では、振り子の振幅が大きくなると、周期は?
問1 単振動は周期が振幅に依らないという 特徴を持つ では、振り子の振幅が大きくなると、周期は? 1. 2. 3. 長くなる 短くなる 変わらない / 300 10 今すぐ回答
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振幅が大きくなると中央に戻す力が弱めにずれる
答 振幅が大きくなると中央に戻す力が弱めにずれる 例えば では 線形近似:sinθ~θが成り立たなくなる 微小な振動は単振動(線形近似が成立)で表されるが、 振動が大きい場合は難しい
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☆単振動のエネルギー 弾性的ポテンシャルエネルギー 単振動を実現する代表例はバネの振動 フックの法則に従う復元力
保存力で弾性的ポテンシャルエネルギーを導入できること については第5章§3で学んだ(バネの伸びのみに依存) 弾性的ポテンシャルエネルギー エネルギー保存の法則 ⇒ バネに限らず単振動が生じているときは のポテンシャルエネルギーがあると捉えられる
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§2 減衰振動 (11-6) ☆復元力と粘性抵抗が働くときの運動 運動方程式 ⇅ 減衰率 角振動数
§2 減衰振動 (11-6) 振動は空気抵抗などで次第に弱くなりやがて止まる スピードが十分小さくなったときの空気抵抗は 粘性抵抗で近似できる ⇒ 運動方程式が解ける ☆復元力と粘性抵抗が働くときの運動 運動方程式 質量 粘性抵抗の比例定数 ⇅ この形の微分方程式は、 物理の様々な分野で出てくる 基本式 常微分方程式の数学 減衰率 角振動数
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ここでは解の形を仮定して決定 粘性抵抗は振動が徐々に弱くなる効果を与える ⇒ 指数関数的減衰と振動数のずれを起こす
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運動方程式より 任意の時刻に成り立つためにはsin、cosの係数は0 ⇒ と取ると解になる と置くと 粘性抵抗による単振動からのズレ
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☆解の性質 最大振幅 粘性抵抗(b)が小さければ指数関数はゆっくり減少 振動数はほぼ同じ(ズレが小さい)
⇒ 振幅がゆっくり減少しながら振動する 最大振幅
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力学分野のまとめ 1.力学現象はすべてニュートンの三法則で理解できる 2.運動方程式を細工することで便利な関係が得られる
力が分かれば運動が決まる 力を捉えるのが重要 運動を見れば働いている力が分かる 2.運動方程式を細工することで便利な関係が得られる 仕事と運動エネルギーの定理 非保存力のする仕事は力学的エネルギーの変化 力積は運動量の変化 力は運動量の変化率 トルクは角運動量の変化率 回転運動の方程式
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3.特に保存の法則の形で利用できる場合は使いやすい
最初と最後を比較して考察するのが容易 最後のスピード、高さ、速度、角速度などを求められる 4.保存しない場合も有用 運動量の変化から働く力を考察する 大きさのある物体の複雑な回転運動・・・試験範囲外 独楽など 5.代表的な運動について個別に特徴をみた 等速度運動、等加速度運動、等速円運動、単振動 ・・・より複雑な運動を理解する基本になる
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今日のまとめ 単振動 減衰振動 フックの法則に従う復元力が働くときの振動 微小な振動は単振動で近似できる 振幅が次第に小さくなりながら振動
フックの法則に従う復元力が働くときの振動 微小な振動は単振動で近似できる 減衰振動 振幅が次第に小さくなりながら振動 抵抗が働く場合、 振幅の減衰と単振動からのズレが起きる
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復習内容 必須範囲・・・11-1~6 10章は範囲外 10-1~10は自習しておく 11-7~11は範囲外であるが
物理系の専門分野に進むことを考えている人は 理解できる範囲で自習しておいて損はしない (指数関数表記、臨界減衰、共鳴、分子の振動) 10章は範囲外 10-1~10は自習しておく
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