ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数 を用いた

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1 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数 を用いた 𝚲 𝐌𝐒 の数値的評価
ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数 を用いた 𝚲 𝐌𝐒 の数値的評価 石川 健一，金森 逸作，村上 祐子， 中村 文香，大川 正典，上野 崚一郎 広島大学　理学研究科 瀬戸内サマーインスティチュート （SSI 2016） JICA中国 –

2 Outline 導入編 〈Introduction〉 研究編 〈Study〉
格子ゲージ理論の基礎　~ Lattice Gauge Theory ~ 数値計算　 ~ Computation ~ 研究編　〈Study〉 研究概要　 ~ Abstract ~ ラムダ・パラメータとは？　 ~ Λ-parameter ~ 手法もろもろについて　 ~ Methods ~ グラディエント・フロー ツイステッド・グラディエント・フロー シュレーディンガー汎関数法 … etc. 計算結果　~ Numerical Results ~ Slide: Japanese Slide: English Talk: All Japanese 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 01 / 21

3 Outline 導入編 〈Introduction〉 研究編 〈Study〉
格子ゲージ理論の基礎　~ Lattice Gauge Theory ~ 数値計算　 ~ Computation ~ 研究編　〈Study〉 研究概要　 ~ Abstract ~ ラムダ・パラメータとは？　 ~ Λ-parameter ~ 手法もろもろについて　 ~ Methods ~ グラディエント・フロー ツイステッド・グラディエント・フロー シュレーディンガー汎関数法 … etc. 計算結果　~ Numerical Results ~ Slide: Japanese Slide: English Talk: All Japanese For beginners (B3, B4, M1) For Expert (or Intermediate) cf. R. Ueno et al., LATTICE 2016, (2016) Southampton, UK. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 01 / 21

4 Outline 導入編 〈Introduction〉 研究編 〈Study〉
格子ゲージ理論の基礎　~ Lattice Gauge Theory ~ 数値計算　 ~ Computation ~ 研究編　〈Study〉 研究概要　 ~ Abstract ~ ラムダ・パラメータとは？　 ~ Λ-parameter ~ 手法もろもろについて　 ~ Methods ~ グラディエント・フロー ツイステッド・グラディエント・フロー シュレーディンガー汎関数法 … etc. 計算結果　~ Numerical Results ~ Slide: Japanese Slide: English Talk: All Japanese For beginners (B3, B4, M1) For Expert (or Intermediate) cf. R. Ueno et al., LATTICE 2016, (2016) Southampton, UK. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 01 / 21

5 導入編 導入編 〈Introduction〉 研究編 〈Study〉 格子ゲージ理論の基礎 ~ Lattice Gauge Theory ~
数値計算　 ~ Computation ~ 研究編　〈Study〉 研究概要　 ~ Abstract ~ ラムダ・パラメータとは？　 ~ Λ-parameter ~ 手法もろもろについて　 ~ Methods ~ グラディエント・フロー ツイステッド・グラディエント・フロー シュレーディンガー汎関数法 … etc. 計算結果　~ Numerical Results ~ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価

6 格子ゲージ理論の基礎 クォークとグルーオン（i.e. 強い相互作用）の物理
量子色力学　（Quantum ChromoDynamics:　QCD） ＝ SU(3)非可換ゲージ場の量子論 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 02 / 21

7 格子ゲージ理論の基礎 クォークとグルーオン（i.e. 強い相互作用）の物理
量子色力学　（Quantum ChromoDynamics:　QCD） ＝ SU(3)非可換ゲージ場の量子論 ゲージ場の量子論＝素粒子論の「説明言語」 粒子＝「場」として記述 例．　ゲージ場の古典的ラグランジアン 𝐴 𝜇 ：ゲージ場（グルーオンなど） 𝑔 0 ：裸の結合定数 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 02 / 21

8 格子ゲージ理論の基礎 クォークとグルーオン（i.e. 強い相互作用）の物理
量子色力学　（Quantum ChromoDynamics:　QCD） ＝ SU(3)非可換ゲージ場の量子論 ゲージ場の量子論＝素粒子論の「説明言語」 粒子＝「場」として記述 例．　ゲージ場の古典的ラグランジアン 量子化（正準量子化，経路積分量子化，・・・） 摂動計算　→　紫外発散　→　繰り込み，正則化をどうする？ 非摂動的な計算は定義できる？ ゲージ固定は？ 𝐴 𝜇 ：ゲージ場（グルーオンなど） 𝑔 0 ：裸の結合定数 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 02 / 21

9 格子ゲージ理論の基礎 クォークとグルーオン（i.e. 強い相互作用）の物理
量子色力学　（Quantum ChromoDynamics:　QCD） ＝ SU(3)非可換ゲージ場の量子論 ゲージ場の量子論＝素粒子論の「説明言語」 粒子＝「場」として記述 例．　ゲージ場の古典的ラグランジアン 量子化（正準量子化，経路積分量子化，・・・） 摂動計算　→　紫外発散　→　繰り込み，正則化をどうする？ 非摂動的な計算は定義できる？ ゲージ固定は？ 𝐴 𝜇 ：ゲージ場（グルーオンなど） 𝑔 0 ：裸の結合定数 これらの難点を上手に扱えるか？ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 02 / 21

10 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 [K. Wilson, 1974] 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 03 / 21

11 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論 有限体積 𝑉= 𝐿 4 𝐿
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 [K. Wilson, 1974] 格子間隔 𝑎 有限体積 𝑉= 𝐿 4 （別に立方体である必要はありませんが・・・） 𝐿 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 03 / 21

12 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論 有限体積 𝑉= 𝐿 4 𝐿
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 [K. Wilson, 1974] 物質場 𝜓 𝑛 格子間隔 𝑎 有限体積 𝑉= 𝐿 4 （別に立方体である必要はありませんが・・・） 𝐿 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 03 / 21

13 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論 有限体積 𝑉= 𝐿 4 𝐿
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 [K. Wilson, 1974] ゲージ場 𝑈 𝑛,𝜇 ＝「リンク変数」 物質場 𝜓 𝑛 𝜇方向 格子間隔 𝑎 有限体積 𝑉= 𝐿 4 （別に立方体である必要はありませんが・・・） 𝐿 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 03 / 21

14 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 格子間隔 𝑎 （の逆数）　⇔　紫外発散のカット・オフ（正則化） 数学的厳密性　⇒　非摂動的な計算が可能！　 ゲージ固定が不要！ [K. Wilson, 1974] 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 04 / 21

15 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 格子間隔 𝑎 （の逆数）　⇔　紫外発散のカット・オフ（正則化） 数学的厳密性　⇒　非摂動的な計算が可能！　 ゲージ固定が不要！ （現在知られている）唯一の第一原理計算！ 計算に必要なパラメータ 裸の結合定数 𝛽= 2𝑁 c /𝑔 0 　（格子間隔 𝑎 に対応） 裸のクォーク質量 𝑚 q カラー自由度 𝑁 c ，フレーバー自由度 𝑁 f （格子空間の定義 𝐿/𝑎） [K. Wilson, 1974] 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 04 / 21

16 格子ゲージ理論の基礎 格子量子色力学 （Lattice QCD） 空間を格子上に離散化 → 格子ゲージ理論
空間を格子上に離散化　→　格子ゲージ理論 格子間隔 𝑎 （の逆数）　⇔　紫外発散のカット・オフ（正則化） 数学的厳密性　⇒　非摂動的な計算が可能！　 ゲージ固定が不要！ （現在知られている）唯一の第一原理計算！ 計算に必要なパラメータ 裸の結合定数 𝛽= 2𝑁 c /𝑔 0 　（格子間隔 𝑎 に対応） 裸のクォーク質量 𝑚 q カラー自由度 𝑁 c ，フレーバー自由度 𝑁 f （格子空間の定義 𝐿/𝑎） [K. Wilson, 1974] これだけのパラメータを手で設定すれば，物理量を計算できる！ では，具体的にどう計算する？ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 04 / 21

17 数値計算 格子作用 以下のことに気を付けて，微分を差分にしたりしていく 格子上に乗せられるのは無次元量 ゲージ不変な理論
𝑎→0 （𝛽→∞）で連続理論に一致 （できるだけ）対称性は壊さないように 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 05 / 21

18 数値計算 格子作用 以下のことに気を付けて，微分を差分にしたりしていく 作用は一意ではない 格子上に乗せられるのは無次元量 ゲージ不変な理論
𝑎→0 （𝛽→∞）で連続理論に一致 （できるだけ）対称性は壊さないように 作用は一意ではない 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 05 / 21

19 数値計算 格子作用 以下のことに気を付けて，微分を差分にしたりしていく 作用は一意ではない 例．Wilsonゲージ作用
格子上に乗せられるのは無次元量 ゲージ不変な理論 𝑎→0 （𝛽→∞）で連続理論に一致 （できるだけ）対称性は壊さないように 作用は一意ではない 例．Wilsonゲージ作用 [K. Wilson, 1974] 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 05 / 21

20 数値計算 格子作用 以下のことに気を付けて，微分を差分にしたりしていく 作用は一意ではない 例．Wilsonゲージ作用
格子上に乗せられるのは無次元量 ゲージ不変な理論 𝑎→0 （𝛽→∞）で連続理論に一致 （できるだけ）対称性は壊さないように 作用は一意ではない 例．Wilsonゲージ作用 [K. Wilson, 1974] 作用ができたら，実際にシミュレーション！ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 05 / 21

21 数値計算 数値シミュレーション モンテ・カルロ法で経路積分を計算 Pure QCD でも 4×8× 𝐿/𝑎 4 重積分・・・
だけど，無限重積分よりはマシ スーパーコンピューターを使った大規模数値計算！ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 06 / 21

22 数値計算 数値シミュレーション モンテ・カルロ法で経路積分を計算 基本的な流れ Pure QCD でも 4×8× 𝐿/𝑎 4 重積分・・・
だけど，無限重積分よりはマシ スーパーコンピューターを使った大規模数値計算！ 基本的な流れ 確率的にゲージ配位 𝑈 𝑖 を生成 物理量の期待値 𝒪 を計算 フェルミオンがあると，Dirac演算子を求めなきゃいけない・・・ （安全に）連続極限をとる 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 06 / 21

23 数値計算 数値シミュレーション モンテ・カルロ法で経路積分を計算 基本的な流れ Pure QCD でも 4×8× 𝐿/𝑎 4 重積分・・・
だけど，無限重積分よりはマシ スーパーコンピューターを使った大規模数値計算！ 基本的な流れ 確率的にゲージ配位 𝑈 𝑖 を生成 物理量の期待値 𝒪 を計算 フェルミオンがあると，Dirac演算子を求めなきゃいけない・・・ （安全に）連続極限をとる 道具は用意できた． これでやっと物理ができる！ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 06 / 21

24 導入編まとめ 格子量子色力学とは 数値計算 ゲージ場の量子論を数学的に厳密に定義！ 非摂動計算もできる！
QCDの（知られている）唯一の第一原理計算！ インプットは理論（ 𝑁 c ， 𝑁 f ），空間（𝐿/𝑎），裸のパラメータ（𝛽， 𝑚 q ）だけ 数値計算 スーパーコンピューターを使った大規模数値計算 実際に可能かつ有能！ 道具は用意できた． これでやっと物理ができる！ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 07 / 21

25 研究編 導入編 〈Introduction〉 研究編 〈Study〉 格子ゲージ理論の基礎 ~ Lattice Gauge Theory ~
数値計算　 ~ Computation ~ 研究編　〈Study〉 研究概要　 ~ Abstract ~ ラムダ・パラメータとは？　 ~ Λ-parameter ~ 手法もろもろについて　 ~ Methods ~ グラディエント・フロー ツイステッド・グラディエント・フロー シュレーディンガー汎関数法 … etc. 計算結果　~ Numerical Results ~ 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価

26 研究概要 We calculate Λ MS from the twisted gradient flow (TGF) coupling.
　 and are just constants. To relate Λ MS with physical quantity, we consider two hadronic scales, 𝐴 phys , with a mass dimension. Strategy： Perturbative calculations with the TGF scheme are quite complicated since we introduce the flow time. → Use the SF scheme as an intermediate scheme → Evaluate each piece numerically Our calculations are for the SU(3) pure gauge theory. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 08 / 21

27 ラムダ・パラメータとは？ ラムダ・パラメータ スケール 𝜇 に依存しない普遍的物理定数:
繰り込み処方に依存（通常使われているのは MS 処方） 理論に固有のエネルギー・スケール QCDの最重要基礎パラメータ （実験で測定される）結合定数から決定 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 09 / 21

28 ラムダ・パラメータとは？ ラムダ・パラメータ 次元の転化 スケール 𝜇 に依存しない普遍的物理定数:
繰り込み処方に依存（通常使われているのは MS 処方） 理論に固有のエネルギー・スケール QCDの最重要基礎パラメータ （実験で測定される）結合定数から決定 次元の転化 無次元の 𝑔 𝜇 から質量次元１の Λ Yang-Mills理論やmassless QCDのように，次元を持つパラメータが元々存在しない場合にも，理論を量子化することで質量次元を持った物理量が生じる． これは別に手で入れた量などではなくて，理論に固有の物理的な量 ！ （非可換ゲージ理論は古典論の範囲でのみ零質量のスケール不変な理論） ・場の理論→非可算無限自由度を持った理論 ＊摂動論による計算からは無限大の答え（紫外発散） ＊量子場の理論ではくりこまれた物理量が大切 →くりこみによりパラメータがスケール依存性を獲得 （このことに起因して次元の転化が生じ得る） 量子化した非可換ゲージ理論→単純な零質量の振る舞いではない ＊グルーオンには質量がある？ ＊質量を持ったグルーボール（グルーオン複合粒子）の予言 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 09 / 21

29 ラムダ・パラメータとは？ ラムダ・パラメータ 次元の転化 「Yang-Mills理論の存在と質量ギャップ問題」
スケール 𝜇 に依存しない普遍的物理定数: 繰り込み処方に依存（通常使われているのは MS 処方） 理論に固有のエネルギー・スケール QCDの最重要基礎パラメータ （実験で測定される）結合定数から決定 次元の転化 無次元の 𝑔 𝜇 から質量次元１の Λ 「Yang-Mills理論の存在と質量ギャップ問題」 数学上の未解決問題 Clay数学研究所（米・ボストン）が2000年にミレニアム懸賞問 題として発表 Yang-Mills理論やmassless QCDのように，次元を持つパラメータが元々存在しない場合にも，理論を量子化することで質量次元を持った物理量が生じる． これは別に手で入れた量などではなくて，理論に固有の物理的な量 ！ （非可換ゲージ理論は古典論の範囲でのみ零質量のスケール不変な理論） ・場の理論→非可算無限自由度を持った理論 ＊摂動論による計算からは無限大の答え（紫外発散） ＊量子場の理論ではくりこまれた物理量が大切 →くりこみによりパラメータがスケール依存性を獲得 （このことに起因して次元の転化が生じ得る） 量子化した非可換ゲージ理論→単純な零質量の振る舞いではない ＊グルーオンには質量がある？ ＊質量を持ったグルーボール（グルーオン複合粒子）の予言 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 09 / 21

30 ラムダ・パラメータとは？ ラムダ・パラメータ 次元の転化 「Yang-Mills理論の存在と質量ギャップ問題」
スケール 𝜇 に依存しない普遍的物理定数: 繰り込み処方に依存（通常使われているのは MS 処方） 理論に固有のエネルギー・スケール QCDの最重要基礎パラメータ （実験で測定される）結合定数から決定 次元の転化 無次元の 𝑔 𝜇 から質量次元１の Λ 「Yang-Mills理論の存在と質量ギャップ問題」 数学上の未解決問題 Clay数学研究所（米・ボストン）が2000年にミレニアム懸賞問 題として発表 Yang-Mills理論やmassless QCDのように，次元を持つパラメータが元々存在しない場合にも，理論を量子化することで質量次元を持った物理量が生じる． これは別に手で入れた量などではなくて，理論に固有の物理的な量 ！ （非可換ゲージ理論は古典論の範囲でのみ零質量のスケール不変な理論） ・場の理論→非可算無限自由度を持った理論 ＊摂動論による計算からは無限大の答え（紫外発散） ＊量子場の理論ではくりこまれた物理量が大切 →くりこみによりパラメータがスケール依存性を獲得 （このことに起因して次元の転化が生じ得る） 量子化した非可換ゲージ理論→単純な零質量の振る舞いではない ＊グルーオンには質量がある？ ＊質量を持ったグルーボール（グルーオン複合粒子）の予言 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 09 / 21

31 Strategy Calculate 𝐿 max Λ TGF by the discrete beta function 10 / 21
上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 10 / 21

32 Strategy Calculate 𝐿 max Λ TGF by the discrete beta function
Relate a hadronic scale, 𝐴 phys , to the scale, 𝐿 max Use the string tension and the Sommer scale as 𝐴 phys Data from: [C. Allton, M. Teper and A. Trivini, 2008; A. González-Arroyo, M. Okawa, 2013] for string tension [ALPHA collaboration, 1999; S. Necco, 2003] for Sommer scale 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 10 / 21

33 Strategy Calculate 𝐿 max Λ TGF by the discrete beta function
Calculate Λ SF / Λ TGF numerically in weak coupling regime Relate a hadronic scale, 𝐴 phys , to the scale, 𝐿 max Use the string tension and the Sommer scale as 𝐴 phys Data from: [C. Allton, M. Teper and A. Trivini, 2008; A. González-Arroyo, M. Okawa, 2013] for string tension [ALPHA collaboration, 1999; S. Necco, 2003] for Sommer scale 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 10 / 21

34 Strategy Calculate 𝐿 max Λ TGF by the discrete beta function
Calculate Λ SF / Λ TGF numerically in weak coupling regime Known [S. Sint and R. Sommer, 1996] Relate a hadronic scale, 𝐴 phys , to the scale, 𝐿 max Use the string tension and the Sommer scale as 𝐴 phys Data from: [C. Allton, M. Teper and A. Trivini, 2008; A. González-Arroyo, M. Okawa, 2013] for string tension [ALPHA collaboration, 1999; S. Necco, 2003] for Sommer scale 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 10 / 21

35 Twisted Gradient Flow coupling
Ramos proposed to use the twisted b.c. for gradient flow as gauge b.c., and analyzed the SU(2) coupling by using the step scaling function. [A. Ramos, 2014] Wilson gauge action with the twisted b.c. on 𝑥-𝑦 plane: Imposing the twisted b.c. is equivalent to add the factor 𝑍 𝑛 into the action. Flow eq.: We obtain the energy density, 𝐸(𝑡), from the solution of this equation. TGF coupling: Renormalization scale: We set 𝑐= [M. Lüscher, 2010] グラディエントフローとは、ゲージ理論の力学変数を一種の熱拡散方程式に従って仮想的な時間の方向に発展させるものです。実はグラディ エントフローは、くり込みを行った量を自動的に与 える、という不思議な性質を持っています。 Twistedの利点：Fodorはperiodicで試したが，計算中に運動量ゼロモードが出てきてラムダ・パラメータが普遍的でなくなってしまう．そこで，定義の中で自然に運動量ゼロモードを取り除けるTwisted gradient flowが試された．ヨーロッパのalphaコラボレーションの人とかは，SF boundaryを使ってたりもする． 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 11 / 21

36 Twisted Gradient Flow coupling
Ramos proposed to use the twisted b.c. for gradient flow as gauge b.c., and analyzed the SU(2) coupling by using the step scaling function. [A. Ramos, 2014] Wilson gauge action with the twisted b.c. on 𝑥-𝑦 plane: Imposing the twisted b.c. is equivalent to add the factor 𝑍 𝑛 into the action. Flow eq.: We obtain the energy density, 𝐸(𝑡), from the solution of this equation. TGF coupling: Renormalization scale: We set 𝑐= [M. Lüscher, 2010] グラディエントフローとは、ゲージ理論の力学変数を一種の熱拡散方程式に従って仮想的な時間の方向に発展させるものです。実はグラディ エントフローは、くり込みを行った量を自動的に与 える、という不思議な性質を持っています。 Twistedの利点：Fodorはperiodicで試したが，計算中に運動量ゼロモードが出てきてラムダ・パラメータが普遍的でなくなってしまう．そこで，定義の中で自然に運動量ゼロモードを取り除けるTwisted gradient flowが試された．ヨーロッパのalphaコラボレーションの人とかは，SF boundaryを使ってたりもする． 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 11 / 21

37 Twisted Gradient Flow coupling
Ramos proposed to use the twisted b.c. for gradient flow as gauge b.c., and analyzed the SU(2) coupling by using the step scaling function. [A. Ramos, 2014] Wilson gauge action with the twisted b.c. on 𝑥-𝑦 plane: Imposing the twisted b.c. is equivalent to add the factor 𝑍 𝑛 into the action. Flow eq.: We obtain the energy density, 𝐸(𝑡), from the solution of this equation. TGF coupling: Renormalization scale: We set 𝑐= [M. Lüscher, 2010] グラディエントフローとは、ゲージ理論の力学変数を一種の熱拡散方程式に従って仮想的な時間の方向に発展させるものです。実はグラディ エントフローは、くり込みを行った量を自動的に与 える、という不思議な性質を持っています。 Twistedの利点：Fodorはperiodicで試したが，計算中に運動量ゼロモードが出てきてラムダ・パラメータが普遍的でなくなってしまう．そこで，定義の中で自然に運動量ゼロモードを取り除けるTwisted gradient flowが試された．ヨーロッパのalphaコラボレーションの人とかは，SF boundaryを使ってたりもする． 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 11 / 21

38 Schrödinger Functional scheme
𝑔 SF 2 is one of the non-perturbative renormalization scheme SF coupling The weight factor of fields on the boundary is known up to 2- loop. →Highly suppressed 𝒪(𝑎) boundary effects One can numerically evaluate 𝑔 SF 2 precisely, especially in the perturbative region. [Lücher, et al. 1992] [Sint, Sommer, 1996] Γ : effective action Γ 0 : classical action 𝑍 : partition function 𝜂,𝜈 : parameter [Bode, et al. 2000] LQCDの伝統的くりこみ処方．したがって，𝑂(𝑎)の離散化誤差を十分抑制可能 摂動領域での扱いも研究済み ． 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 12 / 21

39 Lattice Setup Wilson gauge action with the twisted b. c.
Gauge conf. are generated by the heat bath method TGF coupling, 𝑔 TGF 2 1/𝐿,𝛽 Weak couplings, 𝑔 SF 2 1/𝐿,𝛽 and 𝑔 TGF 2 1/𝐿,𝛽 𝐿/𝑎=10, 12, 16, 18 and 𝛽=40, 60, 80 at each 𝐿/𝑎. 𝑳/𝒂 12 16 18 24 36 # data points 14 15 11 Largest 𝜷 10.0 Smallest 𝜷 6.11 6.3 6.29 6.5 6.9 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 13 / 21

40 Λ-parameter, 𝐿 max ⁡ Λ TGF
Calculate the discrete beta function at each lattice and fit them to obtain the continuum discrete beta function Proceed to the stage at which calculate 𝐿 max Λ TGF by using 𝐵 𝑠=3/2 𝑢=𝑔 TGF 2 preliminary 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 14 / 21

41 Λ-parameter, 𝐿 max ⁡ Λ TGF
𝐿 max is the box size at which hadronic scale is defined. Initial value for the running: 𝑔 TGF 2 1/ 𝐿 max =6.0, 6.1, …,7.0 Changing the scale from 1/ 𝐿 max to s 𝑛 / 𝐿 max and running the coupling by using 𝐵 3/2 ( 𝑔 TGF 2 ), we obtain the following table. Now we have the value of 𝐿 max Λ TGF at each value of the TGF coupling. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 15 / 21

42 Hadronic Scale String tension, 𝐿 max 𝜎 , and Sommer scale, 𝐿 max / 𝑟 0
We evaluate them by using data from: [C. Allton, M. Teper and A. Trivini, 2008; A. González-Arroyo, M. Okawa, 2013] for the string tension [ALPHA collaboration, 1999; S. Necco, 2003] for the Sommer scale. First column: value of the TGF coupling as the renormalization condition Second column: value of the string tension Third column: value of the Sommer scale Now we have the value of 𝐿 max 𝜎 and 𝐿 max / 𝑟 0 at each value of the TGF coupling. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 16 / 21

43 Λ-parameter ratio, Λ SF / Λ TGF
Compute 𝑔 SF 2 and 𝑔 TGF 2 and evaluate the ratio of the couplings We have the coefficient 𝑐 g at each lattice. Taking the continuum limit of 𝑐 g , we obtain the Λ-parameter ratio. 𝑳/𝒂 𝑪 𝐠 𝝌 𝟐 /𝐃𝐨𝐅 8 − (92) 1.42 10 − (85) 2.76 12 − (82) 0.98 16 − 1.11 𝛽=80 𝛽=60 𝛽=40 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 17 / 21

44 Λ-parameter ratio, Λ SF / Λ TGF
Taking the continuum limit of 𝑐 g and obtain the Λ-parameter ratio Λ-parameter ratio between the SF and the TGF schemes: 𝑳/𝒂 𝑪 𝐠 𝝌 𝟐 /𝐃𝐨𝐅 8 − (92) 1.42 10 − (85) 2.76 12 − (82) 0.98 16 − 1.11 Cont’ limit 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 18 / 21

45 Evaluation of Λ MS Ex. Calculate Λ MS / 𝜎 when 𝑔 TGF 2 =6.4
Substituting the result so far to our strategy: 𝐿 max Λ TGF = 𝐿 max 𝜎 = Λ SF / Λ TGF = Λ SF / Λ MS = [S. Sint and R. Sommer, 1996] We obtain Λ MS / 𝜎 = Results of Λ MS / 𝜎 at each renormalization scale: preliminary 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 19 / 21

46 Evaluation of Λ MS Finally we obtain the following results (preliminary): Λ MS 𝜎 = stat syst. , 𝑟 0 Λ MS = stat syst. . cf. [G. S. Bali and K. Schilling, 1993] Λ MS 𝜎 = − , cf. [FLAG, 2016] 𝑟 0 Λ MS = Our results are consistent with known values in 1.3𝜎 for the string tension, Λ MS / 𝜎 . 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 20 / 21

47 4. Summary In this study We computed 𝑔 TGF 2 in SU(3) pure gauge theory by the lattice simulation. E. Ibanez Bribian challenge the perturbative calculation. We calculated Λ SF / Λ TGF by lattice simulation: Λ SF Λ TGF = We evaluated Λ MS / 𝜎 and 𝑟 0 Λ MS : Λ MS 𝜎 = stat syst. , 𝑟 0 Λ MS = stat syst. . This results are consist of Λ SF / Λ TGF computation, i.e. they support the validity of the Λ SF / Λ TGF from our lattice simulation. We conclude that the twisted gradient flow method actually works as one of the renormalization scheme in pure QCD. All results are preliminary. 上野 崚一郎, SSI 2016, – , JICA中国 ツイステッド・グラディエント・フロー結合定数を用いた 𝛬 𝑀𝑆 の数値的評価 21 / 21