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4次元時空間(複素数)と ミンコフスキー時空間(実数)の差異
日本物理教育学会 九州支部総会 長崎県立小浜高等学校 山本文隆 VS 複素時空間(複素数) ミンコフスキー時空間(実数)
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スペースライクとタイムライクの範囲 ミンコフスキー時空間 (実数時空間)
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固有時 への疑問 dτ=ds/ic 「空間と時間の物理学」(恒岡美和) では固有時間τの変化を 1
固有時 への疑問 「空間と時間の物理学」(恒岡美和) では固有時間τの変化を dτ=ds/ic 1 =──√dx2+dy2+dz2+(icdt)2 ic 4次元複素時空間 スペースライク dt dx dy dz =──√(── )2+(── )2+(── )2-c2 ic dt dt dt 4次元ミンコフスキー時空間 スペースライク dt v dt =──√v2-c2 =dt√1-(─)2 =── ic c γ 虚数 虚数 実数 実数 タイムライク
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”全ての系に共通にそれぞれ個々に流れる時間 と説明してある。
固有時間 の 4次元複素時空間 での定義 v γ=1/ √1-(─)2 (=1/√1-β2)(vは物体速度) c として全ての系に dt dt’ dt” dτ =── = ── = ── =・・・ γ γ’ γ” の関係があり、このdτを固有時と定義し ”全ての系に共通にそれぞれ個々に流れる時間 と説明してある。
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双曲線の性質 双曲線とピタゴラス三角形 ao2=bd2-bo2 =bd2-β2bd2 =bd2(1-β2)=R2 bd=γR、ob=γβR
双曲線の性質 双曲線とピタゴラス三角形 ao2=bd2-bo2 =bd2-β2bd2 =bd2(1-β2)=R2 従ってγ= 1/√1-β2 として bd=γR、ob=γβR 点d(ct,x) =d(γβR、γR)
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2次元ミンコフスキー時空 ct2-x2=s2 単位時間双曲線 x2 -ct2=s2 単位距離双曲線 ct2-x2=s2 は ct2=x2+s2 と考えてもいい。
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ローレンツ変換係数の関係 β:各慣性観測系同士の速度、対光速v/c 1)γ=1/√1-β2)変形 (γ=1/α >1) 1+γ2β2=γ2
(γ=1/α >1) 1+γ2β2=γ2 1+tan2θ=1/cos2θ γ2(1-β2 )=1 2)α=√1-β2)変形 (α=1/γ <1) α2+β2=1 cos2θ+sin2θ =1
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ローレンツ変換係数 と 三角関数 双曲線関数 三角関数三平方の定理 のγ倍 = 双曲線関数
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変換係数 と 三角関数 と 双曲線関数 cosh2φーsinh2φ=1 変換係数 三角関数 双曲線関数 1
変換係数 と 三角関数 と 双曲線関数 変換係数 三角関数 双曲線関数 1 β2+α2=1 sin2θ+cos2θ=1 tanh2φ+───── ─ ─ =1 cosh2φ 1 ↓ γ2倍 = ↓ ───── ─ 倍 = ↓ cosh2φ倍 cos2θ 1 γ2β2+1 =γ2 tan2θ+1=───── ─ sinh2φ+1=cosh2φ cos2θ cosh2φーsinh2φ=1
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ハイパボリック関数の定義からの三角関数の導出
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VS 複素時空間 ミンコフスキー時空間 4次元 s2=x2+y2+z2+i2c2t2 s2=x2+y2+z2ーc2t2
4次元 s2=x2+y2+z2+i2c2t2 s2=x2+y2+z2ーc2t2 3次元 s2=x2+y2+i2c2t2 s2=x2+y2ーc2t2 球 双 曲 筒 2次元 s2=x2+i2c2t2 s2=x2ーc2t2 円 双 曲 線 VS 複素時空間 ミンコフスキー時空間
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ミンコフスキー時空、光世界線の上下左右 (2次元)
ミンコフスキー時空、光世界線の上下左右 (2次元) s2=x2ーc2t2 >0 スペースライク 左右双曲線群 x2ーc2t2 =0 光世界線 s2=c2t2ーx2 >0 タイムライク 上下双曲線群
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スペースライクとタイムライクの範囲
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ミンコフスキー時空、光円錐の内外(3次元)
s2=x2+y2ーc2t2 >0 スペースライク 光円錐外側 x2+y2ーc2t2 =0 光 円 錐 s2=c2t2+y2ーx2 >0 タイムライク 光円錐内側
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ミンコフスキー時空間 双曲筒 s2= x2+y2ーc2t2 双曲皿 s2= c2t2-y2ーx2 把握空間 静止者発信
双曲筒 s2= x2+y2ーc2t2 双曲皿 s2= c2t2-y2ーx2 把握空間 静止者発信 x2+y2=(ct+s)2 運動者発信 (x+γβs)2+y2 = (ct+γs)2
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世界円筒 ←S 系 S‘系 ↓ S 系 静止 s2 =x2+y2 運動 s2 =γ2(x-βct)2+y2 S‘系
世界円筒 ←S 系 S‘系 ↓ S 系 静止 s2 =x2+y2 運動 s2 =γ2(x-βct)2+y2 S‘系 運動 s2 =γ2(x‘+βct’)2+y‘2 静止 s2 =x‘2+y’2
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右下:角度変換、速度変換による
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右下 ローレンツ変換による
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世界円筒の式 その断面と ローレンツ変換 x2+y2=s2 γ2(x’+βct’)2+y’2=s2
世界円筒の式 その断面と ローレンツ変換 x2+y2=s2 γ2(x’+βct’)2+y’2=s2 γ2(x-βct)2+y2=s2 x’2+y’2=s2 x-y断面 x‘-y’断面 x2+y2=s2 γ2x2+y2=s2 γ2x‘2+y’2=s2 x‘2+y’2=s2
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光円錐の重ね合せ 把握空間 または 力線空間
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把 握 空 間 往復の光信号で知ることができる空間の最大範囲
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距離双曲筒 と 時間双曲皿
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