３次元での回転表示について.

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1 ３次元での回転表示について

2 最初に 計測データは３次元のベクトルである。 ベクトルとは スカラとは 物理的な意味は方向と大きさ。
記述上は複数の要素(スカラ)を並べたもの。 例）（１，２，３）　※３次元の場合。 スカラとは 数字としての大きさを指す。

3 ベクトルのスカラ倍 ・方向が同じで大きさがスカラ倍 k倍 a k＊aで表される。

4 ベクトルの和 a+bを表現する 赤い直線はaとｂを足したものと等しい a+b b a

5 ベクトルの内積（１） ベクトルの長さについて aの長さは|a|で表すことができる。 b a＝（a,b,c）とすると |a|＝ θ（なす角）
※直角三角形の定義から求められる。 a a・b＝|a|・|b|・cosθ Σaｊ・bj　とも表すことができる。 ※aとbの各要素をかけた総和・・・理由は次頁

6 ベクトルの内積（２） b c θ a ∴ 一般的に、内積 a・b＝|a|・|b|・cosθ＝ Σaｊ・bj
ベクトル化し、c　=　a－bとすると、 |c|^2＝|a| ^2 ＋|b| ^2 －2・|a|・|b|・cosθ 左辺＝(ax-bx)^2+(ay-by)^2+(az-bz)^2 右辺＝(ax^2+ay^2+az^2)+(bx^2+by^2+bz^2)－2・|a|・|b| ・cosθ ∴ |a|・|b| ・cosθ＝ax・bx+ay・by+az・bz b c θ a ∴　一般的に、内積　a・b＝|a|・|b|・cosθ＝ Σaｊ・bj

7 回転表示について（１） Z ←モニタ（動座標） y z x Y 静止座標 X ここで静止座標と動座標の相互変換が必要になる。 ＝点群
モニタ内の x=画面の横方向 y=画面の縦方向 z=画面の垂直方向 x Y 静止座標 ＝点群 X ここで静止座標と動座標の相互変換が必要になる。

8 回転表示について（２） 変換の方法 一般的にはロール・ピッチ・ヨー角が使われているのでこれを使用する。
ロール・ピッチ・ヨー角を用いた３次元座標変換法 オイラー角を用いた３次元座標変換法 一般的にはロール・ピッチ・ヨー角が使われているのでこれを使用する。

9 回転表示について（３） ロール・ピッチ・ヨー角とは 船に例えると ヨー角 z xは船の進む方向 yはxに垂直な方向 ピッチ角 y

10 変換式 （X,Y,Z）＝（ｘ、ｙ、ｚ）・［M］ 動座標から静止座標への変換 ＝ ［M］・ 静止座標から動座標への変換

11 動座標から静止座標への変換 z P＝x ・ i ＋ y ・ j ＋ z ・ k P P（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）・ y 回転行列［Ｍ］

12 静止座標から動座標への変換 P（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）・ を転置すると ＝ ・ 左から回転行列を乗算すると ・ ＝ ・ ・ ＝
i j k P（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）・　　　　　を転置すると x y z X Y Z ＝　　　　　・ i　 j k 左から回転行列を乗算すると i j k i j k x y z x y z X Y Z x y z ・　　　＝　　　・　　　　　・　　　＝ X Y Z i　 j k ∴　　　＝　［M］・

13 回転行列について 回転行列はα、β、γで表すと ［Ｍ］＝ となる 理由を以下の３ページに示します Ｓα＝Ｓｉｎα Ｃα＝Cosα
-Sγ　Cγ　０ ０　　 ０　 １ Cβ　０　–Sβ ０　　１　 ０ Sβ　０　 Cβ １　 ０　 ０ ０　Ｃα　Ｓα ０ –Ｓα　Ｃα ［Ｍ］＝ となる Ｓα＝Ｓｉｎα Ｃα＝Cosα 理由を以下の３ページに示します

14 Ｘ軸で回転 Z Z’ Y’ α α Y X i’ j’ k’ １　 ０　 ０ ０　Ｃα　Ｓα ０ –Ｓα　Ｃα i j k =

15 Ｙ軸で回転 Z’ Z’’ Y’ X’ X’’ = Cβ ０ –Sβ ０ １ ０ Sβ ０ Cβ i’’ j’’ k’’ i’ j’ k’ β
０　　１　 ０ Sβ　０　 Cβ i’ j’ k’ =

16 Ｚ軸で回転 Z’’ Y’’’ Y’’ X’’ X’’’ = Ｃγ Sγ ０ -Sγ Cγ ０ ０ ０ １ i’’’ j’’’ k’’’
０　　 ０　 １ i’’ j’’ k’’ =