平行四辺形の性質の逆 ～四角形が平行四辺形になる条件～

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1 平行四辺形の性質の逆 ～四角形が平行四辺形になる条件～
中学校　２年生　数学科

2 平行四辺形の性質の逆 四角形が平行四辺形になる条件 ２組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形は平行四辺形である。

3 A B C D A B C D 2組の向かい合う辺は それぞれ等しい A B C D A B C D 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい A
平行四辺形の性質 A B C D A B C D （１） 2組の向かい合う辺は それぞれ等しい （２） A B C D A B C D 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい A B C D （３） A B C D 対角線は、それぞれ中点で交わる O 3

4 2組の向かい合う辺が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形である。
平行四辺形の性質 A B C D （１） 2組の向かい合う辺が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形である。 A B C D （２） 2組の向かい合う角が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形である。 （３） A B C D 対角線が、それぞれ中点で交わる四角形は平行四辺形である。 O

5 平行四辺形の性質の逆 A B C D （４） ＞ １組の向かい合う辺が、等しくて平行である四角形は、平行四辺形である。 ＞

6 AB＝DC AD＝BC AB//DC AD//BC 【仮定】 【結論】 A B C D
平行四辺形の性質の逆 （１） A B C D 2組の向かい合う辺は、それぞれ等しい四角形は、平行四辺形である。 AB＝DC　 AD＝BC 【仮定】 AB//DC　　AD//BC 【結論】

7 AB＝DC,AD＝BC AB//DC,AD//BC A B C D 2組の向かい合う辺が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形
平行四辺形の性質の逆 （１） A B C D 2組の向かい合う辺が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形 AB＝DC,AD＝BC AB//DC,AD//BC 【仮定】 【結論】 【証明】 対角線　　　　を引く。 △　　　　　　と△　　　　　　で、 仮定より　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　、　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　, また　　　　　　　＝　　　　　　　　（　　　　） ∴（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） 　　　　△　　　　　　　　　　≡　△　　　　　　　　　、 合同な図形では、（　　　　　　　　　　　　　　）はそれぞれ等しいから 　　　　　　　∠　　　　　　　　　　　　＝∠　　　　　　　　　　　、 よって、（　　　　　　）が等しいから、　　AB//DC,AD//BC

8 ∠A＝ ∠ C ∠B＝ ∠D AB//DC AD//BC A B C D 2組の向かい合う角は、それぞれ等しい四角形は、平行四辺形 【仮定】
平行四辺形の性質の逆 （２） A B C D 2組の向かい合う角は、それぞれ等しい四角形は、平行四辺形 ∠A＝ ∠ C　 ∠B＝ ∠D 【仮定】 AB//DC　　AD//BC 【結論】

9 2組の向かい合う角が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形
平行四辺形の性質の逆 （２） A B C D 2組の向かい合う角が、それぞれ等しい四角形は平行四辺形 AB//DC,AD//BC 【仮定】 ∠A＝ ∠ C,∠B＝ ∠D 【結論】 【証明】 ABをBの側に延長してその端をEとする。 仮定より　　∠　　　＝ ∠ 　　　,∠　　　　＝ ∠　　　　、だから 　　　∠　　　　　＋∠　　　　　＝∠　　　　　＋∠　　　　　、 また、四角形の　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、　　 　　　∠　　　　＋∠　　　　　　　＝　　　　　　　、 　ABEは、　　　　　　　　　　　　　だから、∠　　　　　＋∠　　　　　＝　　　　　、 　よって、∠　　　　　　＝∠　　　　　　、で　　　　　　　//　　　　　　　　（　　　　　　）　 　同様にして　 ∠　　　　　　＝∠　　　　　　、で　　　　　　　//　　　　　　（　　　　　　） ∴　　　AB//DC,AD//BC

10 ∠BAO＝ ∠DCO ∠ABO＝ ∠CDO AB//DC AD//BC A B C D 対角線が、それぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形
平行四辺形の性質の逆 （３） A B C D 対角線が、それぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形 O ∠BAO＝ ∠DCO ∠ABO＝ ∠CDO 【仮定】 AB//DC　　AD//BC 【結論】

11 AB//DC,AD//BC A B C D 対角線が、それぞれ中点で交わる四角形は平行四辺形 AO＝CO,BO＝DO 平行四辺形の性質
（３） 平行四辺形の性質 A B C D 対角線が、それぞれ中点で交わる四角形は平行四辺形 O AB//DC,AD//BC AO＝CO,BO＝DO 【仮定】 【結論】 【証明】 △　　　　　　と△　　　　　　で、 　仮定から　　　　　 　 　　　＝　　　　　　 　、　　　 　 　　 ＝　　　　　　 , 　　　　　　　　　　　∠　　　　　　　＝∠　　　　　　　（　　　　　） ∴（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） 　　　　△　　　　　　　≡△　　　　　　,　　 よって、　　　　AB=CD、AD=CB 平行四辺形の性質の逆（１）から 　　　四角形ABCDは平行四辺形（AB//DC,AD//BC）　　

12 AD＝BC AD//BC AB//DC AD//BC ＞ ＞ A B C D １組の向かい合う辺が、等しくて平行である四角形は、平行四辺形
平行四辺形の性質の逆 （４） A B C D ＞ １組の向かい合う辺が、等しくて平行である四角形は、平行四辺形 ＞ AD＝BC　 AD//BC 【仮定】 AB//DC　　AD//BC 【結論】

13 AB＝DC,AD＝BC A B C D １組の向かい合う辺が、等しくて平行である四角形は、平行四辺形 AD＝BC,AD//＝BC
（４） A B C D 平行四辺形の性質 １組の向かい合う辺が、等しくて平行である四角形は、平行四辺形 AB＝DC,AD＝BC AD＝BC,AD//＝BC 【仮定】 【結論】 【証明】 △　　　　　　と△　　　　　　で、 　仮定から　　　　　 　 　　　＝　　　　　　 　、　　　 　 　　 ＝　　　　　　 , 　　　　　　　　　　　∠　　　　　　　＝∠　　　　　　　（　　　　　） ∴（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） 　　　　△　　　　　　　≡△　　　　　　,　　 よって、　　　　AB=CD、AD=CB 平行四辺形の性質の逆（１）から 　　　四角形ABCDは平行四辺形（AB//DC,AD//BC）　　

14 A B C D

15 A B C D