2019年4月8日星期一 I. EPL 84, 40001 (2008) 2019年4月8日星期一.

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1 2019年4月8日星期一 I. EPL 84, (2008) 2019年4月8日星期一

2 1. Dilute Hard Sphere Bose Gas
2019年4月8日星期一 1. Dilute Hard Sphere Bose Gas 2019年4月8日星期一

3 2019年4月8日星期一 Bogoliubov 1947 J. Phys. JSSR II, 23 2019年4月8日星期一

4 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

5 * I am indebted to L. D. Landau for this important remark.
2019年4月8日星期一 * I am indebted to L. D. Landau for this important remark. 2019年4月8日星期一

6 2019年4月8日星期一 Bogoliubov expanded in powers of the potential V(r), which lead to divergence for hard sphere potentials. Landau told him to use the scattering length a. 2019年4月8日星期一

7 2019年4月8日星期一 Lee, Huang, Yang 1957 Phys. Rev. 106, 1135 2019年4月8日星期一

8 2. Pseudopotential Method
2019年4月8日星期一 2. Pseudopotential Method 2019年4月8日星期一

9 2019年4月8日星期一 Key idea: To replace the boundary condition (thatφ= 0 when two particles touch) with a “pseudopotential”, and then do usual perturbation. 2019年4月8日星期一

10 One particle scattering from one fixed hard sphere.
2019年4月8日星期一 One particle scattering from one fixed hard sphere. 2019年4月8日星期一

11 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

12 Thus we have as potential to replace the boundary condition.
2019年4月8日星期一 Thus we have as potential to replace the boundary condition. 2019年4月8日星期一

13 2019年4月8日星期一 This potential gives the correct wave function for r > a, and satisfies the correct boundary condition. 2019年4月8日星期一

14 2019年4月8日星期一 Notice that this potential gives the divergent term inside r < a for the wave function. 2019年4月8日星期一

15 2019年4月8日星期一 Two particles: 2019年4月8日星期一

16 Many particles: Huang & Yang, PR 105, 767 (1957);
2019年4月8日星期一 Many particles: Huang & Yang, PR 105, 767 (1957); Huang, Yang & Luttinger, PR 105, 776 (1957). 2019年4月8日星期一

17 2019年4月8日星期一 For particle j = 1, it sees the other N−1 spheres. Each contributes potential 2019年4月8日星期一

18 2019年4月8日星期一      2019年4月8日星期一

19 2019年4月8日星期一 The wave length for particle 1 is very long, hence the total V for particle 1 is 2019年4月8日星期一

20 2019年4月8日星期一 3. Field Theory 2019年4月8日星期一

21 Momentum representation of particles:
2019年4月8日星期一 Momentum representation of particles: = occupation # of particles with 2019年4月8日星期一

22 Diagonal elements of V' is
2019年4月8日星期一 Diagonal elements of V' is 2019年4月8日星期一

23 2019年4月8日星期一 Off diagonal elements from : Only those where 2 of the four α,β,μ,ν are zero are important. 2019年4月8日星期一

24 Perturbation theory leads to:
2019年4月8日星期一 Perturbation theory leads to: Justification of “Bogoliubov Transformation” Wave Function of Ground State Correction term = constant Excitation Spectrum 2019年4月8日星期一

25 • (k, −k) pairs of correlated
2019年4月8日星期一 Wave Function for Ground State • (k, −k) pairs of correlated particles floating in a sea of particles with k = 0. • average # of pairs = • Correlation length 2019年4月8日星期一

26 Second order perturbation energy = ∞
2019年4月8日星期一 Second order perturbation energy = ∞ 2019年4月8日星期一

27 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

28 Divergence is due to the fact that the summand at large k becomes
2019年4月8日星期一 Divergence is due to the fact that the summand at large k becomes 2019年4月8日星期一

29 which is of course equal to (constant) in coordinate space.
2019年4月8日星期一 which is of course equal to (constant) in coordinate space. 2019年4月8日星期一

30 2019年4月8日星期一 This is precisely the term in the 1st order perturbation wave function. 2019年4月8日星期一

31 2019年4月8日星期一 To suppress this term, we use pseudopotential Fermi (1936), Breit (1947) 2019年4月8日星期一

32 2019年4月8日星期一 • If operate on , gives zero 2019年4月8日星期一

33 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

34 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

35 2019年4月8日星期一 Excitation Spectrum 2019年4月8日星期一

36 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

37 Pair Distribution Function D(r12)
2019年4月8日星期一 Pair Distribution Function D(r12) 2019年4月8日星期一

38 Generalization to other dimensions
2019年4月8日星期一 Generalization to other dimensions 2019年4月8日星期一

39 2019年4月8日星期一 Dimension 1 2019年4月8日星期一

40 2019年4月8日星期一 Shrink each link: • N sticks with a=0 in box L − Na • Fermion ground state 2019年4月8日星期一

41 2019年4月8日星期一 Girardeau, J. Math. Phys. 1, 516 (1960). Lieb and Liniger, PR 130, 1605 (1963). Yang and Yang, J. Math. Phys. 10, 1115 (1969). van Amerongen et al. PRL (2008) 2019年4月8日星期一

42 2019年4月8日星期一 Dimension 4: 2019年4月8日星期一

43 2019年4月8日星期一 (PP4) 2019年4月8日星期一

44 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

45 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

46 2019年4月8日星期一 Depletion of k = 0 state (14) 2019年4月8日星期一

47 2019年4月8日星期一 Dimension 5: (16) 2019年4月8日星期一

48 Linear divergence at large k.
2019年4月8日星期一 Linear divergence at large k. 2019年4月8日星期一

49 2019年4月8日星期一 Dimension 2: Many papers reviewed in A. Posazhennikova, RMP. 78, 1111 (2006). M. Schick, PR A3, 1067 (1971). 2019年4月8日星期一

50 2019年4月8日星期一 Dim Dim 2 2019年4月8日星期一

51 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

52 2019年4月8日星期一 Table 1: Comparison of BEC in dilute interacting Boson gases for different dimensions (BG = basic group [9]). 2019年4月8日星期一

53 Pair Distribution Function for Fermion & Boson 1 D Gas
2019年4月8日星期一 II. B.B. Wei and C.N. Yang Pair Distribution Function for Fermion & Boson 1 D Gas 2019年4月8日星期一

54 2019年4月8日星期一 Dimension 1 r3 r4 r5 r2 r1 2019年4月8日星期一

55 2019年4月8日星期一 given a particle A at one point, the probability of finding another particle B at distance in (counterclockwise) is B r A 2019年4月8日星期一

56 L=5a functions at r=r2-r1=a, 2a, 3a, 4a    r2   r1 2019年4月8日星期一

57 2019年4月8日星期一 1. Fermion 2019年4月8日星期一

58 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

59 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

60 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

61 i particles between r1 & r2 i = 0,1,…, N-2
2019年4月8日星期一 r2 i particles between r1 & r2 i = 0,1,…, N-2 r1 2019年4月8日星期一

62 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

63 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

64 2019年4月8日星期一 Fermion gap variables 2019年4月8日星期一

65 2019年4月8日星期一 r4 g3  g4 r3  g2 r5   r2 g5 g1  r1 2019年4月8日星期一

66 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

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72 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

73 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一

74 2019年4月8日星期一 In the interval (0,L), D(r) is analytic everywhere except at (N-1) open circles at r=a, 2a, …, (N-1)a, and at (N-1) full circles at r=L-a, L-2a, …, L-(N-1)a. At these singular points D(r) is continuous and has a continuous first derivative. 2019年4月8日星期一

75 2019年4月8日星期一 Bosons 2019年4月8日星期一

76 2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一