変換されても変換されない頑固ベクトル どうしたら頑固になれるか 頑固なベクトルは何に使える？

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1 変換されても変換されない頑固ベクトル どうしたら頑固になれるか 頑固なベクトルは何に使える？
固有値と固有ベクトル 変換されても変換されない頑固ベクトル どうしたら頑固になれるか 頑固なベクトルは何に使える？

2 Googleの検索エンジンはなぜ高精度？
各Webページの重要度を計算している 他 ページからリンクされたページは重要 リンクが重要度を伝播 そのページの重要度を 出力リンク数で割る 入力リンクの重要度の合計が そのページの重要度 重要度のベクトル 　， リンクを表わす行列 A とすると リンク伝搬をした後の重要度は リンクがループしているはず 重要度が安定すると，ループしてきても　同じ重要度 この性質を使って重要度を計算

3 が意味するものは？ を展開して として変換後の は
　　　　　が意味するものは？ を展開して として変換後の　　　　　　　は と表現でき，　は　 と 　の線形結合で， 　と　 が張る空間内の任意の点となるはず．変換後に元のベクトルの定数倍になるのは特別．これを 固有ベクトル(eigenvector) という. 線形変換しても元のベクトルの定数倍，つまり，元のベクトルに 平行 なベクトル 通常は任意の点

4 固有方程式(characteristic equation)と 固有値(eigenvalue )
を変形して 左辺に移項して が逆行列を持つと，左からかけて つまり， これは矛盾．よって は存在しない． Aがn次正方行列なら上式はλ のn次方程式になる．この式を 固有方程式， λを 固有値 という．

5 ２次行列での固有方程式の例 行列 の固有値と固有ベクトルは？ だから を解いて のとき に値を当てはめ を展開 双方の式から となり，固有ベクトルでは常に xの(-1)倍が y の値．つまり，固有値 の固有ベクトルは

6 のとき ２つの式から となり，この固有ベクトルでは常 に xの3/2倍が yの値．つまり，固有値 の固有 ベクトルは 固有ベクトルは単位ベクトルにすると，後の計算が簡単． の２つで代表させる． 当然ながら だから 変換後の は λ1=-1倍 変換後の は λ2= 4倍 1 2 3

7 行列Aによる座標変換 前例は固有ベクトルを新しい座標軸とみなすことを意味する
固有ベクトル を斜交する 座標系の単位ベクトルとする． をAで変換後のベクトル について，適当な x, y , x’, y’があり と表現できる． であり， と比較すると 返還前後で固有ベクトルは向き不変で，固有値は元の座標成分に関する 比例定数 になる．

8 行列の対角化 固有値のご利益 の固有値α，βが存在したとき，それぞれに 対する固有ベクトルを とすると ２つの式の列ベクトルを１つの行列にまとめると 右辺を変形すると だから

9 固有ベクトルを列ベクトルとする行列 を考えると，前の結果は 両辺に左からP-1をかけると だから 固有ベクトルからできる行列Pを使ってAを上式のように対角行列にすることを，行列の 対角化 という． n次行列Aからn個の固有ベクトル が得られれば だから で対角化できる Dとおく Pとおく

10 対称行列と固有ベクトル 統計で用いるのは分散共分散行列のように，対称行列がほとんど
対称行列Aの固有値λi, λk (λi ≠ λk)に対応する固有ベクトルを　　　　とする． 　　はn行1列の行列（縦ベクトル） 　　は1行n列の行列（横ベクトル） 対称行列だから 固有ベクトルだから 上記③の結果を使って 　 一方，左辺は②を使い ① BtAt=(AB)t ② ③ (AB)t=BtAt ② (AB)t=BtAt

11 対称行列の固有ベクトルは直交 前記④の結果から λi ≠ λkなので とすると つまり，内積 で，ベクトル は直交

12 対称行列の固有ベクトルでつくる 行列は直交行列
n次の対称行列 A の固有値λ1 , λ2 , …, λn に対応する大きさ１の固有ベクトルを 　　　　　　　とする． は互いに直交．しかも大きさは１ 　　　　　　　　がつくる行列 P は正規直交行列 Aは P-1AP で対角化できるが，P は直交行列だから P-1=Pt 　となり， PtAPで対角化できる. P-1の計算は大変だが，Ptの計算は単純

13 スペクトル分解 とおくと となる． 左からP，右からPtをかけると だから 固有ベクトルを縦ベクトルとして，これを書くと さらに展開して
とおくと 　　　　　　 となる． 左からP，右からPtをかけると 　　　　　　だから 固有ベクトルを縦ベクトルとして，これを書くと さらに展開して 次ページへ続く

14 この式を対称行列Aの スペクトル分解 という
（これを展開した結果は次の補足スライド） よって，Aは以下のように書ける この式を対称行列Aの 　スペクトル分解　 という

15 補足スライド

16 固有値の数値的解法（累乗法） 対称行列の固有ベクトルが直交するので，その固有値を数値的解法で求めることができる
もっとも有名な累乗法（べき乗法）を紹介 n×n行列Aの固有値がλ1,λ2,....λnとすべて異なる場合で，絶対値の大きい順に並べたとする． これらに対する正規直交固有ベクトルをそれぞれ 　　　　　　　　とする 任意のn次元ベクトル　　は と書ける

17 最大の固有値に着目 両辺にAを左からかけると， だから 次々とAをかけていくと λ1は絶対値が最大の固有値なので，kを増やしていくと 成分以外は 小さく なっていく

18 内積 を考えると，固有ベクトルは正規直交ベクトルだから となり， よって，
行列演算をk+1回実施したベクトルと，同じくk+1回実施したベクトルとの内積が分子 行列演算をk+1回実施したベクトルと，今度はk回だけ実施したベクトルとの内積が分母 この結果はλに近づく でもｋ回とか，ｋ+1回実施するのは大変

19 もう少し単純な方法 大きさ１の初期ベクトル にAをかけ をつくる． で を計算 としてλの近似値を計算 としλが収束するまで①～③を繰り返す
　　　　 で　　を計算 　　　　　としてλの近似値を計算 　　　　としλが収束するまで①～③を繰り返す 行列演算を実施した後のベクトル同士の内積が分子， 行列演算を実施した後と前のベクトルの内積が分母， これも，いずれはλに近づくから，これを収束するまで繰り返す．

20 2番目の固有値に対する固有ベクトル 対象行列Aはスペクトル分解で と書ける．最大の固有値λ1が計算できたとき， とすると， も対称行列だから，対称行列どうしの差をとる左辺も対称行列． よって， を新しいA とみなし，いままでと同じ手法を適用すれば，λ2が算出可能．

21 レポート [注] 途中の計算式も書くこと 対称行列 の固有値α, βを求めよ 固有値に対応する，大きさ１の固有ベクトルを求めよ
対称行列　　　　　　　　　　　の固有値α, βを求めよ 固有値に対応する，大きさ１の固有ベクトルを求めよ 固有ベクトルが直交していることを示せ 大きさ１の固有ベクトルからなる正規直交行列をPとする． 　　　　　　　　　　　　となることを，行列の掛け算で示せ． 学生証番号　　　　　　　　　　　　氏名　　　　　　　　　　　　　　．