確率と統計 メディア学部2009年 2009年11月26日（木）.

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1 確率と統計 メディア学部2009年 2009年11月26日（木）

2 今日は若干盛りだくさんです。頑張りましょう！
確率と統計2009

3 これまでの内容（復習） 統計学の構成 記述統計学 （確率） 推計学（数理統計学） データの整理（効果的な表・図の作り方）
推計学（統計的推論）の基礎 推計学（数理統計学） 推定・検定など 確率と統計2009

4 統計学の構成 記述統計学 確率の基礎 推計学（数理統計学） 確率と統計2009

5 1. 記述統計学 データ解析の演習 基本統計量： その他 EXCEL 平均・中央値（メディアン）・最頻値（モード） 分散・標準偏差
確率と統計2009

6 定義（１） 確率と統計2009

7 定義（２） 確率と統計2009

8 問題 分散の定義は次の２つがある。 これら２つの定義の使い分けを 説明しなさい。 確率と統計2009

9 回答例 分散とはそもそも「データの散らばり具合」を知るための指標である。そこで、定義1では「各データの偏差(基準点からのずれ)の二乗」の平均でもってデータの散らばりを捉えようとしている。一方、定義2では、「各データの偏差の二乗の総和（散らばりの総量）」を自由度で割ることでデータの散らばりを捉えようとしている。 確率と統計2009

10 E(s2)はσ2の不偏推定値である。教科書P.124-125.
回答例（続き） なお、定義2の方は、数学的に母分散の良い推定値になっているので、統計的推論の際には積極的に使われている。 （注）「良い推定値」とは次の式が成り立つことをここではいう。 E(s2)はσ2の不偏推定値である。教科書P 確率と統計2009

11 証明 自力で証明を考えてみよう。難しければ自分で本などを調べて、ここにまとめておこう。将来のために．．． 確率と統計2009

12 2. 確率の基礎 確率の定義 確率の計算 試行・標本点ω・標本空間Ω・事象・確率関数 加法定理・互いに素 乗法定理・独立性
ベイズの定理(事後確率) その他 確率と統計2009

13 3. 推計学（数理統計学） 推定 検定　など 確率と統計2009

14 標本平均mの性質（重要） 大きさｎの標本から求めた標本平均mの 「平均（期待値）と分散」は、次の性質を持つ。 E(m) =μ
V(m) = σ2/n （標本平均mの分散は、母分散σ2の1/n。） 確率と統計2009

15 標本分散s2の性質（重要） 大きさｎの標本から求めた標本分散s2の 平均は、次の性質を持つ。 E(s2) =σ2 （注） E(s) =!=σ
確率と統計2009

16 確率と統計2009

17 確率と統計 (続き)

18 確率と統計2009

19 今日の内容 推定と検定（続き） 確率と統計2009

20 推定 推定とは、標本のデータを利用して（標本の分析を通じて）、母集団に関するパラメータ（母平均や母分散など）の値を推測すること。
確率と統計2009

21 Probability & Statistics 2009
推測 知りたい対象 （未知な調査対象） 得られたデータ （分析可能） 調査 記述統計 確率（sampling） 確率（推定・検定） Probability & Statistics 2009

22 推定（標本が１つのとき） （事実）標本の平均がm （結論）母集団の平均の推定値　　は = m 確率と統計2009

23 推定（標本が２つのとき） （事実）標本の平均がm1とm2 （結論）母集団の平均の推定値 は =(m1+m2)/2 確率と統計2009

24 推定（標本がn個のとき） （事実）標本の平均がm1,m2, …, mn （結論）母集団の平均の推定値 は
（結論）母集団の平均の推定値 は 　 = (m1 + m2 + …+ mn ) / n 確率と統計2009

25 推定(一般に) （事実） 標本の平均がｍ 標本の標準偏差がσ （結論）母集団の平均の推定値 はm、 　（その誤差は ） 確率と統計2009

26 検定 こちらの方も実用上重要。 ゆっくりと導入しましょう。
理解できるまで何度も読み返し、考えてください。 （ここからの話は、１つの思想です。） 確率と統計2009

27 サイコロ実験 サイコロAとBとをそれぞれ１００回ずつ 投げたところ以下のようになった。 サイコロA： 偶数４０回 奇数６０回
サイコロB： 偶数３０回 奇数７０回 AもBもサイコロはただしく作られているか？ 確率と統計2009

28 問題をもっと単純にして解説する。 サイコロを５個投げる。 確率と統計2009

29 目（偶）の出方は以下の通り： (場合１) 偶０回-奇５回： 奇-奇-奇-奇-奇 (場合２) 偶１回-奇４回： 偶-奇-奇-奇-奇
(場合１)　偶０回-奇５回：　奇-奇-奇-奇-奇 (場合２)　偶１回-奇４回：　偶-奇-奇-奇-奇 (場合３)　偶２回-奇３回：　偶-偶-奇-奇-奇 (場合４)　偶３回-奇２回：　偶-偶-偶-奇-奇 (場合５)　偶４回-奇１回：　偶-偶-偶-偶-奇 (場合６)　偶５回-奇０回：　偶-偶-偶-偶-偶 確率と統計2009

30 P0 =(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = (1/2)5 = 1 / 32
(場合１)　偶０回-奇５回：　奇-奇-奇-奇-奇 の生起確率を計算してみる。 ＝＞乗法定理を用いる。 P0 =(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = (1/2)5 = 1 / 32 確率と統計2009

31 (場合３) 偶２回-奇３回： 偶-偶-奇-奇-奇 個々の系列の生起確は(1/2)5 。 個々の系列は同時には起きない（互いに排反）。
(場合３)　偶２回-奇３回：　偶-偶-奇-奇-奇 ○ ○ X X X ○ X ○ X X ○ X X ○ X ○ X X X ○ X ○ ○ X X X ○ X ○ X X ○ X X ○ X X ○ ○ X X X ○ X ○ X X X ○ ○ 個々の系列の生起確は(1/2)5 。 個々の系列は同時には起きない（互いに排反）。 ＝＞　加法定理 従って、（場合３）全体の生起確率は P2 = 10× (1/2)5 となる。 確率と統計2009

32 目（偶）の出方は以下の通り： (場合１) 偶０回-奇５回： P0 = 1× (1/2)5
確率と統計2009

33 疑問：「５回中２回偶数が出た。 偶数の目は出にくい？」
疑問：「５回中２回偶数が出た。 偶数の目は出にくい？」 これを調べる方法を「検定」という。 それでは、検定してみよう。 確率と統計2009

34 検定（考え方） 【仮説設定】検定したい事柄に対して 「仮説H」を立てる。
【確率計算】　仮説Hが正しいものとして、着目して 　　　　　　　　 いる出来事の生起確率Pを計算する。 【判断・結論】　 Pの値が極めて小さい ＝＞普通では起きないことが起きた。 ＝＞何かが変だ。 ＝＞「仮説Hが正しい」としたことがいけない。 ＝＞仮説を棄てる。 Pの値が特に小さくない ＝＞起きてもおかしくないことが起きた。 ＝＞特に何も結論なし。（新たな知見なし） 確率と統計2009

35 極めて小さい値として、習慣的に5%(0.05)や1%(0.01)、10%(0.10)がとられる。 ＜＝特に根拠なし。
極めて小さい値として、習慣的に5%(0.05)や1%(0.01)、10%(0.10)がとられる。　 ＜＝特に根拠なし。 　　(3%や7%でもいいが、習慣に従おう） このような値を、「有意水準」あるいは 「危険率」という。 ＝＞この意味は後で検討する。 確率と統計2009

36 検定(実行例１) 事実：「５回中、偶２回、奇３回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。
仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が２回以下の確率を求める。 P = P0+ P1+P2 = (1+5+10)×(1/2)5 　= 16 / 32 = 1 / 2 ３．P = 0.5 > 0.1 ４．仮説は棄却されない。 確率と統計2009

37 検定(実行例２) 事実：「５回中、偶１回、奇４回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。
仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が１回以下の確率を求める。 P = P0+ P1 = (1+5)×(1/2)5 　= 6 / 32 = ３ / １６ = 0.2 ３．P = 0.2 > 0.1 ４．仮説は棄却されない。 確率と統計2009

38 検定(実行例3) 事実：「５回中、偶0回、奇5回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。
仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が０回以下の確率を求める。 P = P0 = 1×(1/2)5 　= 1 / 32 = 0.03 ３．P = 0.03 < 0.1 ４．Hは棄却される。偶奇の目の出方は等確率ではない。偶の方が出にくい。 確率と統計2009

39 有意水準あるいは危険率 ＊有意水準１０％の意味： 検定を行うと、結論として、 という２つの結論のいずれかを下すことになる。 仮説Hを棄却する
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40 検定における判断の問題点 仮説Hは 本当は正しい 仮説Hは 本当は誤り 仮説Hを棄却する 正しいのに棄却 正しい判断
誤りなのに棄却しない （注）第一種の過誤、第二種の過誤 確率と統計2009

41 １００回中１０回は誤った判断をしていることになる。
有意水準１０％で仮説を棄却するとき、 １００回中９０回は正しい判断をしているが、 １００回中１０回は誤った判断をしていることになる。 ＝＞これ以降は、データ解析例でさらに勉強してみましょう。 確率と統計2009

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43 母集団と標本の関係 無作為抽出 母平均μ 母分散σ2 標本平均m 標本分散s2 推測 確率と統計2009

44 推定と検定 推定： 検定： 適当な統計量を選び、現実の標本から計算した それの現実値をたよりにして、母集団の未知母数
に関し、ある程度、信頼のおける命題をたてること。 検定： あらかじめ母集団の型や母数の値を仮定し、現実 のデータがどの程度この母集団からの標本とみな せるか決定すること。 母集団について知る 母集団と標本の関係を知る 確率と統計2009

45 検定 母集団と標本の関係 ？ 無作為抽出 母平均μ 母分散σ2 標本平均m 標本分散s2 ホントにこの母集団の標本？ 確率と統計2009

46 検定の例 問題１ ある人がコインを投げ、表の出た回数と裏の出た回数とを調べたら、表が２２０回、裏が１８０回であった。
　ある人がコインを投げ、表の出た回数と裏の出た回数とを調べたら、表が２２０回、裏が１８０回であった。 　これだけの事実から、このコインは歪みなく作られているといえるか？ 確率と統計2009

47 考え方(No.1) コインを無限回投げなければ、表と裏の出る確率が等しいことはいえないのではないか？ ー＞ 無限回投げることは無理！！！
ー＞　無限回投げることは無理！！！ ー＞　何も結論できないのだろうか？ 確率と統計2009

48 考え方(No.2) 次のように考えてみよう！ もし「コインが正しく作られている」ならば、
表と裏の出る確率は等しい。そのような母集団から無作為抽出により n = 400個 のデータからなる標本を作り出したとして、標本中の表の回数Hと裏の回数Tの割合が 220/400 を超える可能性 p1、および逆に、180/400 を下回る可能性 p2 を求める。P = P1 + P2 とする。 確率と統計2009

49 考え方(No.３) Pの値が十分小さい ー＞めったに起きないことがいま起きた ー＞普通起きないことが起きた
ー＞起きるはずのないこと（奇跡）が起きた ー＞何かがおかしい！ 　（仮説を捨てる） Pの値が大きい　－＞仮説は捨てない （仮説を採用するわけではない） 確率と統計2009

50 考え方（No.4) つまり… 出現率 p = 1/2 = 0.5 の無限母集団から、n = 400 のデータを無作為に取り出したとする。このとき、 P = P( m > 220 ) + P( m <180 ) を求めて判断しよう、ということ。 それでは具体的にやってみよう。 確率と統計2009

51 計算 コイン投げは、いわゆる２項分布と 呼ばれているものに相当する。 したがって、
P = P(m>220) + P(m<180) = nC221・(1/2)221・(1/2)179 　+ ・・・ + nC400・(1/2)400・(1/2)0 + nC179・(1/2)179・(1/2)221 　+ ・・・ + nC0・(1/2)0・(1/2)400 2項分布は 後日お話します。 確率と統計2009

52 ２項分布はｎが大きければ正規分布で近似できる。（教科書、108-114ページ）
定理： ２項分布はｎが大きければ正規分布で近似できる。（教科書、 ページ） このことを利用して計算すると楽。 確率と統計2009

53 ２項分布の計算を正規分布で！ 変数変換を行う。 Z = (X – m)/s = (X – n・p)/√(n・p・q) 今の場合、
m = np = 400・0.5 = 200 s = √(npq)=√(400・0.5・0.5) = 10 この式の意味は？ 考えてみること。 確率と統計2009

54 したがって、 P = P(m>220) + P(m<180) = P(Z>(220-200)/10) +
= P(Z>2) + P(Z<-2) = 1 - P(-2<Z<+2) = 1 – 2・P(0<Z<2) = 　　　　　　　（教科書295ページ参照） 確率と統計2009

55 ー＞１００回のうち４回か５回の割合でこのようなこと（表が４００回中に２２０回出る）がおきうる。
P は約 0.046 ー＞１００回のうち４回か５回の割合でこのようなこと（表が４００回中に２２０回出る）がおきうる。 仮説「表と裏の出現確率が等しい」が正しければ、このようなことは１００回に４回か５回しか起きない。 めったに起きないことがおきた？ 確率と統計2009

56 統計学的結論： めったにないことが起きたのではなく、 「仮説が正しくない」 と結論する。 つまり、このコインは歪んでいると。
　「仮説が正しくない」 　と結論する。 　つまり、このコインは歪んでいると。 　（ただし、．．．　）　＜－ ここからが大切！ 確率と統計2009

57 そこで、統計学的には以下のように結論する。 「有意水準5％のもとに、このコインは歪んでいる。」
ただし、このようなことは１００回中に数回起こりえるのだから、このような実験を行ってこのような結論を下すことは、１００回中４から５回程度間違っていることになる。 そこで、統計学的には以下のように結論する。 「有意水準5％のもとに、このコインは歪んでいる。」 確率と統計2009

58 有意水準としては、通常１％、５％、１０％などが採用される。（３％、７％などでもいいのだが…）
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61 （おまけ） 以下の定理も重要な定理です。 確率と統計2009

62 定理１ ｘ が正規分布 N（μ，σ２） に従うとき、大きさ ｎ の無作為標本に基づく標本平均 ｍは、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。
（ｘの標本分布に関する定理） 確率と統計2009

63 定理２（重要） ｘが任意の分布（平均＝μ，分散＝σ２）に従うとき、大きさ ｎ の無作為標本に基づく標本平均 ｍ は、 ｎ が無限に大きくなるとき、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。 （中心極限定理） 確率と統計2009

64 問題１ ある学力テストの得点ｘは、正規分布 Ｎ（１６０，２０２）に従うとする。大きさ１６の標本をとり、ｍの値を求めるとき、
　　ある学力テストの得点ｘは、正規分布 Ｎ（１６０，２０２）に従うとする。大きさ１６の標本をとり、ｍの値を求めるとき、 ｍが１６５を超える確率は？ ｍが１５０未満となる確率は？ 確率と統計2009

65 中心極限定理の利用法 問題１．　 　　　ある大学の受験生の母集団から無作為に選んだ１人の受験生の成績を ｘ とする。いま、過去の経験から ｘ は平均 μ＝ ２．５、標準偏差ｓ ＝ ０．４であることがわかっているものする。このとき、この母集団から ３６人の受験生の標本を採り、標本平均 ｍ を求めるとき、 ｍが２．４未満となる確率は？ ｍが２．４～２．７となる確率は？ 確率と統計2009

66 問題１のヒント 後日解説します。 中心極限定理より ｓ＝σ／√ｎ ＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ ＝（２．４－２５）・０．０６７＝
ｓ＝σ／√ｎ　＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ　＝（２．４－２５）・０．０６７＝ Ｐ｛ｍ＜２．４｝　＝Ｐ｛ｚ＜－１．５０｝＝ （標準正規分布表を利用） 後日解説します。 確率と統計2009