電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/9講義分 電磁場の波動方程式 山田 博仁.

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1 電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/9講義分 電磁場の波動方程式 山田 博仁

2 自由空間でのMaxwell方程式 Maxwell方程式 ファラデーの電磁誘導則 アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則
変位電流 電場に関するガウスの法則 磁場に関するガウスの法則 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ) 等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 真空中

3 波動方程式の導出 第1式 ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している 両辺の rotation をとる ベクトル恒等式 第2式
第3式 従って、 波動方程式 練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう

4 波動方程式導出においての変位電流の役割 変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか? 変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。 第1式の rotation をとると、 第2式 従って、 となり、 静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。

5 波動方程式の意味 ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t)　→　 E(z, t) 今ここで、 と置くと、 後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は光速度 c で与えられ、

6 波動方程式の解 波動方程式 (教科書 p.200 参照) の解は、 で与えられる。 x y z + z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
(後退波) より一般的には、波動方程式 の解は、 で与えられる。 + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル w は波の角周波数

7 参) 伝送線路と電信方程式 送電端 受電端 E ZL x x=0 R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m) G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) 上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる 電信方程式あるいは伝送方程式 無損失線路(R = G = 0)の場合、 線路上での電圧波と電流波の伝搬速度 v は、 であることが分かる

8 参) 伝送線路上の電圧波の伝搬 ZL E x 入射波 反射波 線路上の位置 x での電圧
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波 vp: 位相速度 ここで、 x は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度: vgという x

9 進行する正弦波 +x 方向に伝搬する正弦波 波数 角周波数 位相角 従って、波数と角周波数の比は、 x1 x = 0 t = T x = λ
波の伝搬速度 t1 ある時刻(t = t1)について見てみると、 ある場所(x = x1)について見てみると、 +x -x +t -t

10 平面電磁波 波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k・x – w t を波の位相と呼ぶ。これがある一定値 a を保持したまま(等位相)、時間発展して いく様子は、等位相面(波面)が平面からなる波が波面に垂直方向に伝搬する様子を表す 波面 (等位相面) z x3 x2 x1 k y k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている) x

11 平面電磁波 今、自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される電磁波を取り上げる。
角周波数 w で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波 kは波数で、 x y z E Ex0 Ey0 Ez0

12 平面電磁波 x, y 方向には一様 + z方向に伝搬する電磁波 電場の波と磁場の波の間には位相差φがあると仮定している に代入、
φはゼロでなければならない

13 平面電磁波 同様に、 に代入、 φ = 0 以上の関係より、 ここで、 の関係を用いた となる

14 平面電磁波 x y z Ex Hy Ey E E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大きさの比は一定 媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質のインピーダンスという H 真空中のインピーダンス Z0は、

15 平面電磁波 インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、E と H との間には以下の関係が成り立つ x k E z H y
電場の波と磁場の波は同相(同じ時刻に共に節や腹となる)

16 電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/16講義分 波動方程式から導かれる電磁波の性質 山田 博仁

17 自由空間でのMaxwell方程式 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ)
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 真空中 ε, μ は、異方性媒質ならテンソル　　　　　　　　　　　,　　　　　　　　　　　　になる 非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数( ε(E), μ(H) )になる (非線形光学で扱う) 分散性媒質なら電磁波の周波数の関数( ε(ω), μ(ω) )になる 等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式 が得られる

18 波動方程式とその解 波動方程式 ここで、 と置くと、 ダランベルシアン v は電磁波が物質中を伝わる速度
真空中の場合に v は通常 c で表記され、 (真空中の光速度) 波動方程式の解は、 で与えられる。 + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 X1, X2は任意のベクトル関数 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル w は波の角周波数

19 平面電磁波 電場が e(1) 方向に偏り(直線偏波)、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える 波動方程式 に上式を代入すると、
上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、 つまり、 角周波数 w を、正の値と定義すると、 これを分散 (dispersion) 関係という。 f は周波数(振動数) と置けば、 T は周期

20 平面電磁波 電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波 を、 電場に関するガウスの法則 に代入する
上式が常に成り立つためには、 でなければならない 即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する つまり、電場の波は横波である k e(1)

21 平面電磁波 磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波 を考え、 磁場に関するガウスの法則 に代入する
上式が常に成り立つためには、 でなければならない 即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する つまり、磁場の波も横波である k e(2) 従って、 電磁波は横波　!!

22 平面電磁波の性質 媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという 真空中では、
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、E と H との間には以下の関係が成り立つ つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。 x y z k E H

23 電磁波のエネルギー 媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 で与えられるが、 電磁波の電場と磁場の大きさの間には の関係がある 従って、
電磁波の電場と磁場の大きさの間には　　　　　　　　　　の関係がある 従って、 つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい 従って、電磁波のエネルギー密度は、 で表せる。 また、E = v B, Z = μv (Z0 = μ0c ) の関係も成り立つことが分かる 電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、 u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2p/w)について平均すれば、 平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、 Poyntingベクトル S は、 と表せる。従って、

24 ベクトル解析の復習 重要なベクトル恒等式 ラプラシアン ダランベルシアン ガウスの定理 ストークスの定理 dS F V S n dS F S
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