Ｅｘｃｅｌを用いたＢＯＤＥ線図の作成方法

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1 Ｅｘｃｅｌを用いたＢＯＤＥ線図の作成方法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平成１８年８月 １．Ｗｉｎｄｏｗｓパソコンで広く使用されているＥｘｃｅｌを用いて、できるだけ易しくＢＯＤＥ　　　線図の作り方を解説する。 ２．Ｅｘｃｅｌは応用範囲が広く、使い方も奥が深いが、ここでは逐一分厚いユーザーズ　　　ガイドを見なくても学習が進められるよう、Ｅｘｃｅｌの使い方に関する必要最小限の　　知識を織り交ぜつつ、段階的にＢＯＤＥ線図が作成できる教材構成となるよう配慮　　した。 ３．教材の構成は以下の通りであり、以下、順を追って解説 していく。 （１）ＢＯＤＥ線図について （２）モデルにした伝達関数 （３）ＢＯＤＥ線図の作成範囲 （４）ＢＯＤＥ線図作成に必要な計算式 （５）Ｅｘｃｅｌ上での変数の設定 （６）Ｅｘｃｅｌ上での計算式の書き方 （７）計算の実行 （８）計算結果を基にしたＢＯＤＥ線図の作成方法 （９）簡単な動画の作成方法 2019/4/23

2 １．ＢＯＤＥ線図について （１）伝達関数Ｇ（ｊω）は複素数なので、ωに対するＧ（ｊω）の変化の様子は、Ｇ（ｊω） の絶対値と位相角で表す。
（２）横軸に対数目盛りで表した　角周波数　ω　［ｒａｄ／秒］ 　　縦軸に伝達関数の 　 ◎　絶対値のデシベル値　ｇ　［ｄＢ］ ◎　 位相角　φ　［度］ をとって、Ｇ（ｊω）の変化の様子をグラフ化したものが ＢＯＤＥ線図　である。 　 （３）ＢＯＤＥ線図の一例を図－１に示す。 図－１ この図では ・・ ｇ を Ｇａｉｎ ・・φ を Ｐｈａｓｅ で表 している。 2019/4/23

3 ２．モデルにした伝達関数 ・・・・・① （１）ＢＯＤＥ線図作成の基本的事項が学習できるよう、下記の 一次遅れ の伝達関数 をモデルにする。
（２）この演習では、上記の伝達関数について、 絶対値のデシベル値 ｇ と 位相角 φ をωの関数として求め、Ｅｘｃｅｌ を使って ω に対応する　g と φ の値を計算し、 　 これを基に ＢＯＤＥ線図を作成する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ・・・・・① 2019/4/23

4 ３．ＢＯＤＥ線図作成に必要な g と φ の計算式
（１）伝達関数の絶対値のデシベル　ｇ ａ．まず、伝達関数の絶対値｜Ｇ（ｊω）｜を求め、これをデシベル値　ｇ　になおす。 ｂ．絶対値　｜Ｇ（ｊω）｜ 　　・　①式の分子は正の実数なので、そのままで絶対値になる。 　　・　分母の絶対値は、実数部　１　と虚数部　ωＴ　の２乗和　１＋　ω２Ｔ２を 　　　　平方根で開けば求まる。 ∴ （下図参照 ） ∴ ｃ．Ｘ のデシベル値は　２０ Ｌｏｇ １０ Ｘ　　と表せるので、　Ｘ＝　　　　　　　　 　 として、 対数記号の中では、掛け算は和に、割り算は差に直せる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 対数記号の中では、ルートは指数に直して外に出せる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴ ・・・　② ｄ．　伝達関数の絶対値のデシベル値は 虚軸 （絶対値） ｊωT Ｇ（ｊω） （虚数部）　 2019/4/23 実軸 ０ １ （実数）

5 ・・・③ φ （２）伝達関数の位相角φ ａ．分母が複素数のままでは扱えないので、分母の共役複素数を分母と分子
（２）伝達関数の位相角φ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　ａ．分母が複素数のままでは扱えないので、分母の共役複素数を分母と分子 　　　　 にかけ、式の値を変えずに分母を実数に、分子を複素数にする（有理化）。 ＝ （実数部） （虚数部） ｂ．複素ベクトルＧ（ｊω）と実数軸とがなす角度 φ が位相角になるので、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（下図参照 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴ ｃ．このままでは、単位が［ｒａｄ］なので、単位を［度］に直して、位相角は ・・・③ （２π［ｒａｄ］＝３６０［度］） ａ ｔａｎφ＝ｂ／ａ 実軸 G(jω） φ ０ 虚軸 ｊ ｂ 2019/4/23

6 ４．ＢＯＤＥ線図の作成範囲 ５．Ｅｘｃｅｌ上での変数の設定
（１）ｇ と φの曲線の大体の様子を掴むため、ωを 0.001≦ω ≦100 の範囲に設定 して値を計算する。 （２）初めから全範囲に渡ってωを同じ刻みで計算しても効率が悪いので、以下の 　 表のように対数目盛に合わせた形で 値を設定する。 ５．Ｅｘｃｅｌ上での変数の設定 （１）セルＡ１、Ｂ１、Ｃ１ にそれぞれ変数名　ω、ｇ、φを記入。 （２）ωの値は、予めＡ列に入力しておく。　 　 セルＡ１、Ｂ１、Ｃ１に変数名ω、ｇ、φを記入　　　 ①ωを　0.001～0.01　まで　　0.001刻みで入力　 ②ωを　0.01～0.1　まで　　　0.01刻みで入力 ωの入力 以下同様に１００まで入力 2019/4/23

7 【参考】 連続したセルへの入力と連続データの作成
【参考】　連続したセルへの入力と連続データの作成 （Ｅｘｃｅｌのユーザーズガイドより） ①初期値の設定されたセル範囲を選択する ②マウスの右ボタンを押しながら、　　 フィルハンドルをドラッグして連続　データを入力する範囲を指定 ③マウスのボタンを離す 　 とショートカットメュー が出てくるので、 ［連続データ（加算）］ コマンドを選択 ④ドラッグで指定した範囲内に増加傾向＊）を直線に当てはめたデータが入力される 　 連続データ（加算）(L) ＊）この場合１０を初期値として１０刻みで増加させている もちろん、０．００１を初期値として０．００１刻みで増加させても問題はない 2019/4/23 ωの入力について　：　数が多くなるとこの方法が役に立つ　　　　　　　　　　　　この他にも、[編集]－ [フィル]－[連続データの作成]などの方法がある。

8 ６．Ｅｘｃｅｌ上での計算式の書き方 ・・・④ ・・・⑤ （１）Ｅｘｃｅｌで定義されている特有の演算記号のうち、ＢＯＤＥ線図の計算を行うために
　　 必要な演算記号を整理しておく。（詳細は［挿入］－［関数］－［数学／三角］を参照） （２）本演習では以下の演算記号を使用する。 （通常の書き方） （Ｅｘｃｅｌ上の書き方） かけ算記号　× ＊ 対数　ｐ ＝ Ｌｏｇ ａ Ｘ　　　　　　　　　 　　　　　（aは対数の底、Xは真数） ｐ ＝ ＬＯＧ（Ｘ,ａ） べき乗 Ｘｎ Ｘ＾ｎ 逆三角関数　φ＝ｔａｎ-１Ｘ φ＝ＡＴＡＮ（Ｘ） （３）従って、②式はＥｘｃｅｌ上では④の形で書き ｇ＝２０＊ＬＯＧ（３０，１０）－１０＊ＬＯＧ（１＋（ω＊Ｔ）＾２，１０） ・・・④ ω＾２＊Ｔ＾２を短縮して（ω＊Ｔ）＾２の形で書いてある φ＝－（１８０／３．１４）＊ＡＴＡＮ（ω＊Ｔ） （４）　③式はＥｘｃｅｌ上では⑤の形で書く ・・・⑤ ◎π＝３．１４とした　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◎＊の記号は書き忘れやすいので注意すること 2019/4/23

9 ７．計算式の入力について ω （１）計算式中の変数、例えばωはセル番号でＡ２と書くことができる。通常は、この ままの形で計算は実行される。
　　７．計算式の入力について 　　（１）計算式中の変数、例えばωはセル番号でＡ２と書くことができる。通常は、この　　　　　　 ままの形で計算は実行される。 　　（２）技術計算の場合、変数をセル番号のままにしておくと、式の意味が分かりにくく、　　　　　 変数が多くなって式が複雑になると、記入ミスなどの発生も考えらる。　　　　　　　　　　　　　 この他にも、変数を定義してそのままの形で書くことにより、ブックの中で共通変数として使えるなど、　　　　　　　　　　　　　　　 ユーザーズガイドには御利益がいろいろ書いてあるので参照されたい 　　 （３）このため、変数をそのままの形で使って式を書くことにする。 　　（４）しかし、単に ｇ 、φ を ω の関数で書いただけでは、Ｅｘｃｅｌが ω を変数として　　　　　　　 認識しないので、計算は実行されない。試しに、定数　Ｔ＝０．５　として、　　　　　　　　　　　　ｏ　セルＢ２ に ｇ の計算式・・・④　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｏ セルＣ２ に φの計算式・・・⑤　　　　　　を入力してみる。 ω ④、⑤式がωを認識していないので、計算が実行されない 　　　ωをセル番号Ａ２で書いておけば　　　　　　　　計算は実行される 2019/4/23 （５）次の章で、ωを変数として登録する方法を説明する。

10 ８．ωを変数として登録し計算を実行する手順
手順①　Ａをアクティブにする。 （Ａ列全体がアクティブになる） 手順②　 ［挿入］－［名前］－［定義］ で、名前の定義のダイアログボックスを出す。 手順③　ωを変数として登録するため、　 ‘bode’ ! ω 　　　を入力する。 (シート名) 　 (変数名) Ａ列のデータが全て変数として参照される シート名は仮に ｂｏｄｅ とした　　 2019/4/23

11 これで変数の登録と計算は終了 手順④ ＯＫ ボタンを押す。 セルＢ２、Ｃ２にω＝0.001の場合のｇとφの値が表示される 手順⑤
手順④　　　ＯＫ　ボタンを押す。 セルＢ２、Ｃ２にω＝0.001の場合のｇとφの値が表示される 手順⑤ ω に対応する ｇ と φ を計算する。 セル Ｂ２、Ｃ２を同時にアクティブ　にして、ハンドルをダブルクリック 全ての ω に対応する ｇ と φ の値の計算が実行される 2019/4/23 これで変数の登録と計算は終了

12 ９．計算結果を基にしたＢＯＤＥ線図の作成方法
（１）０．００１～１００までの範囲のωに対応するｇとφの値は下表の通り。 （２）初めに ｇ のグラフを作図する。以下に具体的 　　 な手順を示す。　　　 【手順１】　ＥｘｃｅｌシートのＡとＢをクリックして、Ａ列とＢ列 　　　　　　　　を選択する。 2019/4/23

13 【手順２】 ［挿入］－［グラフ］－［グラフウィザード画面］－［散布図］
【手順２】　［挿入］－［グラフ］－［グラフウィザード画面］－［散布図］ 　　　　　　　　－［データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図］を選ぶ。 【手順３】　［次へ＞］－［次へ＞］で下の画面を出し、グラフのタイトルとＸ軸とＹ軸に名前をつける。 　　　　　　　　ｏ 　グラフタイトル　： ｇ （自動で出力されたままにしてある） 　　　　　　　　ｏ 　Ｘ軸　：　 ω 　　　　　　　　ｏ　 Ｙ軸　：　 ｇ 2019/4/23

14 【手順４】 グラフウィザードで完了をクリックすると以下のグラフが出力される。
【手順４】　グラフウィザードで完了をクリックすると以下のグラフが出力される。　　　　　　　　 　　　　　　　　（Ｘ軸の目盛りはまだ対数ではないので、 ωが小さい所はかなり圧縮されている） 【手順５】　Ｘ軸の座標を書き直す。グラフ上のＸ軸にカーソルを合わせて右クリックすると、 　　　　　　　 下の画面が出るので、軸の書式設定を選ぶ。　　 2019/4/23 Ｘ軸にカーソルを合わせて右クリック

15 【手順６】下の画面が出てくるので、目盛のタブを選んで
　　　　　　　ｏ　Ｘ軸の最小値を　０．００１ 　　　　　　　ｏ　　〃 最大値を　２００ ｏ　　目盛り間隔を　１０ 　　　　　　　ｏ　　補助　 〃 　　　　　　　ｏ　　対数目盛を表示するにチェックマークを入れておく 合わせてチェックは外しておく 値の設定 チェック外す チェックマーク 【手順７】　ＯＫボタンを押すと、Ｘ軸を対数目盛にした　ｇ　のグラフが描ける 2019/4/23