ベクトルの演算 ベクトルの加法と減法.

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1 ベクトルの演算 ベクトルの加法と減法

2 ベクトルの加法 𝑎 + 𝑏 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 ① 1番目のベクトルの終点に2番目のベクトルの始点を移動する。
ベクトルの加法　 𝑎 + 𝑏 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 ① 1番目のベクトルの終点に2番目のベクトルの始点を移動する。 ② 1番目のベクトルの始点と2番目のベクトルの終点を結んだ 　 ベクトルが和のベクトルになる。

3 B C O A ベクトルの加法 𝑎 + 𝑏 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 ① 𝑎 と 𝑏 の始点を重ね点 O とし、それぞれの終点を 𝐴,𝐵 とする。
ベクトルの加法　 𝑎 + 𝑏 B C 𝑏 𝑎 + 𝑏 O A 𝑎 ① 𝑎 と 𝑏 の始点を重ね点 O とし、それぞれの終点を 𝐴,𝐵 とする。 　　点 C を四角形 OACB が平行四辺形になるようにとる。 ②　 OC = 𝑎 + 𝑏 が成り立つ。

4 問２の解答 (1) (2) (3) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏

5 ベクトルの加法 逆ベクトルと零ベクトル 交換法則 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 結合法則 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
交換法則　　 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 結合法則　　 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 逆ベクトルと零ベクトル ベクトルと逆ベクトルの和は零ベクトル 𝑎 + − 𝑎 = 0 零ベクトルの大きさは０で、向きは考えない。 𝑎 + 0 = 𝑎

6 逆ベクトル B 𝑎 − 𝑎 A BA =− AB

7 ベクトルの加法 AB + BC + CA = AB + BC + CA = AC + CA = AA = 0
AB + BC + CD = AC + CD = AD AB + BC + CD + DA = AC + CA = AA = 0

8 ベクトルの減法 𝑎 − 𝑏 ① 2番目のベクトルの向きを逆にし、1番目 のベクトルの終点に2番目のベクトルの 始点を移動する。 − 𝑏 𝑎
ベクトルの減法　 𝑎 − 𝑏 ① 2番目のベクトルの向きを逆にし、1番目 のベクトルの終点に2番目のベクトルの 始点を移動する。 − 𝑏 𝑎 ② 1番目のベクトルの始点と2番目のベクトルの終点を結んだ 　 ベクトルが差のベクトルになる。 𝑎 − 𝑏

9 ベクトルの減法 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 のいろいろなかき方 𝑎 − 𝑏 𝑎 + − 𝑏 − 𝑏 + 𝑎 𝑎 − 𝑏 𝑏
ベクトルの減法　 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 のいろいろなかき方 𝑎 − 𝑏 𝑎 + − 𝑏 − 𝑏 + 𝑎 どれもおなじことを表している。 𝑎 − 𝑏 𝑏 𝑎 ① 2番目のベクトルの終点から、1番目のベクトルの終点を結んだベクトルが 差のベクトルとなる。

10 問４の解答 (1) (2) (3) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏

11 問５の解答 練習２の解答 OC =− 𝑎 (1) BD = 𝑑 − 𝑏 (2) DB = 𝑏 − 𝑑 AB = 𝑏 − 𝑎
　 BC =− 𝑎 − 𝑏

12 ベクトルの実数倍 𝑘 𝑎 ( 𝑎 ≠ 0 ) 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 𝑎 𝑎 𝑎 と向きが反対で、 𝑎 と向きが同じで、
ベクトルの実数倍　𝑘 𝑎 ( 𝑎 ≠ 0 ) 𝑎 𝑘 𝑎 𝑎 𝑘 𝑎 𝑎 と向きが反対で、 大きさが | 𝑎 | の 𝑘 倍 であるベクトル 𝑎 と向きが同じで、 大きさが | 𝑎 | の 𝑘 倍 であるベクトル

13 ベクトルの実数倍　𝑘 𝑎 𝑘=0 のとき、零ベクトル。すなわち、0 𝑎 = 0 𝑎 = 0 のとき、任意の実数 𝑘 に対して　𝑘 𝑎 = 0

14 ベクトルの実数倍　2 𝑎 − 𝑏 − 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 𝑎

15 練習３の解答 (2) 𝑏 (4) (3) (1) 𝑎 (5)

16 ベクトルの実数倍 𝑘, 𝑙 を実数とするとき 𝑘 𝑙 𝑎 = 𝑘𝑙 𝑎 　 𝑘+𝑙 𝑎 =𝑘 𝑎 +𝑙 𝑎 　 　𝑘 𝑎 + 𝑏 =𝑘 𝑎 +𝑘 𝑏

17 整式の場合と同じ ベクトルの計算 ベクトルの加法、減法、実数倍の計算は
例　　3 2 𝑎 + 𝑏 +2 − 𝑎 +4 𝑏 =6 𝑎 +3 𝑏 −2 𝑎 +8 𝑏 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 6−2 𝑎 𝑏 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=4 𝑎 +11 𝑏

18 練習４の解答 問７の解答 練習５の解答 𝑥 =2 𝑎 +3 𝑏 (1) 5 𝑎 + 𝑏 (2) −3 𝑎 +16 𝑏
(1) 5 𝑎 + 𝑏 (2) −3 𝑎 +16 𝑏 問７の解答 𝑥 =2 𝑎 +3 𝑏 練習５の解答 (1)　　 𝑥 = 𝑎 +2 𝑏 (2)　　 𝑥 =5 𝑎 +3 𝑏

19 ベクトルの平行条件　 𝑏 =𝑘 𝑎 𝑎 𝑏 =𝑘 𝑎 𝑏 =𝑘 𝑎 𝑎 反対の向きに平行 同じ向きに平行

20 ベクトルの平行条件（ 𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0 のとき） 例 a ∥ 𝑏 ⟺ 𝑏 =𝑘 𝑎 となる実数 𝑘 がある。
ベクトルの平行条件（ 𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0 のとき） a ∥ 𝑏 ⟺ 𝑏 =𝑘 𝑎 となる実数 𝑘 がある。 a ≠ 0 のとき、 a と平行な単位ベクトルは、 𝑎 | 𝑎 | と − 𝑎 | 𝑎 | 例 | 𝑎 |=2 のとき、 𝑎 と平行な単位ベクトルは 1 2 𝑎 =− 1 2 𝑎

21 練習６の解答 (1) 3 𝑒 と −3 𝑒 (2) 1 5 𝑎 と− 1 5 𝑎

22 ベクトルの分解 𝒑 =𝒔 𝒂 +𝒕 𝒃 ただし、 𝑠, 𝑡 は実数 ２つのベクトル 𝑎 , 𝑏 は 0 ではなく、また平行でないとする。
２つのベクトル 𝑎 , 𝑏 は 0 ではなく、また平行でないとする。 このとき、任意のベクトル 𝑝 は、次の形にただ１通りに表す ことができる。 𝒑 =𝒔 𝒂 +𝒕 𝒃 　　ただし、 𝑠, 𝑡 は実数

23 ベクトルの分解：例 A 𝑎 𝑏 　　正六角形 ABCDEF にお いて、 AB = 𝑎 , AF = 𝑏 とす ると、 AE は 𝑎 , 𝑏 を用いて次 のように表される。 AE = AB + BE = 𝑎 +2 𝑏 B F O C E D

24 練習７の解答 A 𝑎 𝑏 　　正六角形 ABCDEF にお いて、 AB = 𝑎 , AF = 𝑏 とす ると、ベクトル AD , DF , CE を 𝑎 , 𝑏 を用いて表せ。 B F O AD =2 AO =2( 𝑎 + 𝑏 ) 　　　　=2 𝑎 +2 𝑏 DF = DE + EF =− 𝑎 − 𝑎 − 𝑏 =−2 𝑎 − 𝑏 CE = CD + DE =− 𝑎 + 𝑏 C E D