基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史

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1 基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史
2008/4/24 基本情報技術概論 (第２回) 数の表現方法 ・ 演算 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史 2008/01/23

2 前回の復習 単位 bit, byte n 進数 k, M, G, T / m, μ, n
２進数 0, 1, 10, 11, 100, 101, … ８進数 0, 1, 2, …, 6, 7, 10, 11, 12, … 16進数 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F, 10, … 基数の変換 2A . 18 (16) … 2 x x x 1/ / 162 (10) (2) … (2) = (8) k, M, G, T / m, μ, n ________________

3 前回の復習 （２） 数値の表現方法 例) 整数 符号なし整数 1 9 符号付き整数 絶対値表現 1 -1 １の補数 1 -6 ２の補数 1
前回の復習 （２） 例) 数値の表現方法 1 1 1 整数 符号なし整数 1 9 符号付き整数 絶対値表現 1 -1 １の補数 1 -6 ２の補数 1 -7 最上位ビットを符号として使う 小数 固定小数点数 浮動小数点数

4 小数の表現方法 固定小数点数 小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い （大きな数、小さな数が扱えない）
________________ 固定小数点数 小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い 　　　（大きな数、小さな数が扱えない） 例） (2) は？ (2) は？ 演算が容易 最上位ビットを符号とみて、符号付きの数も扱える

5 小数の表現方法 浮動小数点数 - 0.1 x 2 11 固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い
指数部 - 0.1 x 2 11 ________________ 浮動小数点数 固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い 例） (2) は 0.1 x 2 7 (2) は 0.1 x 2 -4 注意： 正規化が必要 　　　　　仮数部の左端から０が並んでいると、 　　　　　有効数字が小さくなる。これを防ぐため、 　　　　　 x 2 ○　という形にする。 符号部 仮数部 符号部 指数部 仮数部

6 小数の表現方法 浮動小数点数 （形式その１） - 0.1 x 2 11 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負
指数部 - 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その１） 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 　　　　　　　正規化 0.1○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる ２の補数表現 符号部 仮数部 符号部(S) 指数部(E) 仮数部(M) 1 bit 7 bit 24 bit (-1) S x 0.M x 2 E

7 小数の表現方法 浮動小数点数 （形式その２） - 0.1 x 2 11 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負
指数部 - 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その２） 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 　　　　　　　正規化 1.○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる 指数部にバイアス (127) が加わっている 符号部 仮数部 符号部(S) 指数部(E) 仮数部(M) 1 bit 8 bit 23 bit バイアス127を 加える バイアス127を 引く (-1) S x 1.M x 2 E-127

8 小数の表現方法 IEEE 浮動小数点数 - 0.1 x 2 11 単精度 （４ バイト ： 32 ビット） float
指数部 - 0.1 x 2 11 IEEE 浮動小数点数 単精度 （４ バイト ： 32 ビット） 倍精度 （８ バイト ： 64 ビット） 形式その２を使う （倍精度のバイアスは 1023） 符号部 仮数部 float 符号部 指数部 仮数部 1 bit 8 bit 23 bit double 符号部 指数部 仮数部 1 bit 11 bit 52 bit

9 四則演算 （＋, －, ×, ÷）

10 加算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁上がり （ キャリー ） を足していく 注意： オーバーフロー
10進数の加算と同様に、下位の桁からの　　　　　桁上がり （ キャリー ） を足していく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ １ １ １ １ 　 ０１００ ＋ ０１１０ 　 １１１１ ＋ ０００１ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ０ ０ ________________ 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

11 減算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁借り （ ボロー ） を引いていく 注意： オーバーフロー
10進数の加算と同様に、下位の桁からの　　　　　桁借り （ ボロー ） を引いていく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ １ １ １ １ 　 １０１０ － ０１１０ 　 ００００ － ０００１ ０ １ ０ ０ ？ １ １ １ １ 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

12 減算 （方法２） ２の補数表現を使って、加算 ２の補数表現では無視する 例） ４ － １ ＝ ４ ＋ (-1) １ １ ０１００
減算 （方法２） ２の補数表現を使って、加算 例） ４ － １ ＝ ４ ＋ (-1) １ １ 　 ０１００ ＋ １１１１ … ４ … －１ １ ０ ０ １ １ … ３ ２の補数表現では無視する

13 ２の補数表現の加算 ２の補数表現を使って、加算 注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある
例） ４ ＋ ４ １ 　 ０１００ ＋ ０１００ … ４ … ＋４ １ ０ ０ ０ … 　８？ 正＋正＝負 負＋負＝正 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

14 シフト演算 論理シフト ビット列を左や右に移動させる あふれた値は捨てる 空いたところには ０ を入れる 例） 左シフト 右シフト １ １
ｘ ０ １ ｘ

15 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト ０ ０ ０
　　２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト ０ ０ ０ １ … １ １ ０ ｘ … -６ … -３ ｘ ０ ０ １ ０ … ２

16 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 右シフト ０ １
　　２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 右シフト ０ １ … １ … ２ ｘ １ ０ … -３ … -６ ｘ

17 乗除算 シフトと加減算を組み合わせて実現する ０１０１ … 5 １１０１ … 13 … １１０１ １００００１１ … 67 ｘ ０１０１
　　１１１１ 　　１１０１ 　　　　１０ ０１０１ … 5 … 2 … １１０１　１００００１１ … 67 　 １１０１ ｘ ０１０１ … 13 … 5 　　　１１０１ 　　００００ 　１１０１ ００００ １０００００１ … 65

18 オーバーフロー アンダーフロー 用語： 誤差 ________________ 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること
用語：　誤差 ________________ オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること アンダーフロー 浮動小数点演算では、オーバーフローの他に　　　　アンダーフローも起こりえる 演算結果が、表現できる数値の範囲より　　　　　　　細かな数になること ________________ 数値範囲 数直線 ０ オーバーフロー アンダーフロー オーバーフロー

19 情報落ち 桁落ち 用語： 誤差 ________________ 浮動小数点演算において、
用語：　誤差 ________________ 情報落ち 浮動小数点演算において、 絶対値の大きな数 と 絶対値の小さな数 の 加減算で、絶対値の小さな数の有効桁数の一部または全部が 演算結果に反映されないことで生じる 例） (2) x 24 – (2) x 2-8 桁落ち 値がほぼ等しい数同士の加減算で、 有効桁数が大幅に減ってしまう 例） x 24 x 24 = x 2-3 ________________ 意味があるのはこの桁のみ

20 打切り誤差 丸め誤差 用語： 誤差 ________________ 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差
用語：　誤差 ________________ 打切り誤差 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差 例） sin x を x – x3/3 ! で計算 (本当は、 x – x3/3 ! + x5/5 ! – x7/7 ! + ・・・ と続く) 丸め誤差 最下位桁より小さい部分について、 丸め（四捨五入や切り上げ、切捨て）を 行うことによって生じる誤差 例) 10/3 = 3.333… → 3.3 ________________

21 文字の表現方法 文字コード 　　　文字集合（扱う文字の集合）の 　　　符号化方式（どのように２進数を対応させるか）を 　　　定めたもの

22 ASC I I コード ANS I (American National Standards Institute) で
________________ ANS I (American National Standards Institute) で 　　制定された７ビットのコード 英数字、記号、 　　制御コードからなる 例） Ａ の文字コード １ ０ ０ ０ ０ ０ １

23 より多くの文字を取り扱うために ... J I S コード シフト J I S
________________ J I S コード ISO-2022 を符号化方式とした ７ビット １～２バイトのコード 電子メールのやりとりには、ISO-2022-JP の 符号化方式を用いるのが主流 シフト J I S J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 以前の Windows や MacOS では、 内部処理用のコードとして主に利用された （現在でも、ユーザはファイル保存時に使える） ________________

24 より多くの文字を取り扱うために ... EUC (EUC-JP) ： 拡張 Unix コード Unicode
________________ EUC (EUC-JP)　： 拡張 Unix コード J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 主に Unix で用いられる Unicode 世界中の言語で使う文字を １つのコード体系に納め（ようとしてい）るコード Window，Mac OS X，Unix 等の最近の OS で 標準的に扱える 符号化方式には、UTF-8 や UTF-16 が用いられる ________________

25 論理演算

26 論理演算 ２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、 ０, １ を操作すれば実現できる 与えられた ０, １ （入力） から、
　　０, １ を操作すれば実現できる 与えられた ０, １ （入力） から、 　　計算結果の ０, １ （出力） を得る仕組みを作ろう！

27 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＯＲ （論理和） ＸＯＲ （排他的 ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ
Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 １ Ａ Ｂ ｆ ＡＮＤ （論理積） Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 １ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ＯＲ （論理和） Ａ Ｂ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 ０ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ＸＯＲ （排他的 論理和）

28 論理演算： ＮＡＮＤ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＮＡＮＤ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ
論理演算： ＮＡＮＤ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 １ ＡＮＤ （論理積） Ａ Ｂ ｆ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 １ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 ０ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ ＮＡＮＤ ｆ Ｂ

29 論理演算： ＮＯＲ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＯＲ （論理和） ＮＯＲ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ
論理演算： ＮＯＲ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 １ ＯＲ （論理和） ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 １ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 ０ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ＮＯＲ

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32 論理演算： 否定 (NOT) 入力の否定 （０, １ を反転させる） 入力 出力 真理値表 回路記号 論理式 Ａ ｆ Ａ ｆ ０ １ １ ０
入力の否定 （０, １ を反転させる） 入力 出力 Ａ ｆ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ　　ｆ ０　　１ １　　０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ

33 論理演算： 論理積 (AND) Ａ と Ｂ どちらも １ なら、 f も １ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ ｆ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ０ ０ ０
Ａ Ｂ　　ｆ ０ ０　　０ ０ １　　０ １ ０　　０ １ １　　１ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ

34 論理演算： 論理和 (OR) Ａ または Ｂ が １ なら、 f も １ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ ｆ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ０ ０ ０
Ａ Ｂ　　ｆ ０ ０　　０ ０ １　　１ １ ０　　１ １ １　　１ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ

35 論理演算： 排他的論理和 (XOR, EOR, EXOR)
Ａ または Ｂ 一方のみが １ なら、 f も １ Ａ ｆ Ｂ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ Ｂ　　ｆ ０ ０　　０ ０ １　　１ １ ０　　１ １ １　　０ ｆ = Ａ ＋ Ｂ

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38 この文面は、TOKYO TECH OCW の利用 条件を参考にしました
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この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史　 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください 図の著作者 p. 26 クリップアート : Microsoft Office Online / クリップアート その他 堀山 貴史