基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史

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1 基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史
2009/10/21 基本情報技術概論 (第３回) 演算 と 論理回路 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史 2008/01/23

2 前回までの復習 数値の表現方法 注意： ４ビット、２の補数表現で、-10 は？ 例) 整数 符号なし整数 1 9 符号付き整数 絶対値表現
1 1 1 整数 符号なし整数 1 9 符号付き整数 絶対値表現 1 -1 １の補数 1 -6 ２の補数 1 -7 最上位ビットを符号として使う 注意： ４ビット、２の補数表現で、-10 は？ 1 1 1 1 1 1 10 １の補数 + 1 表せない (４ビットで表現できるのは、-8 ～ 7)

3 前回までの復習 （２） 数値の表現方法 文字の表現方法 ASC I I コード など 演算 四則演算 (＋, －, ×, ÷)
前回までの復習 （２） 数値の表現方法 文字の表現方法 ASC I I コード など １ ０ ０ ０ ０ ０ １ … Ａ ← 今回やります (前回の資料参照) １ 　 ０１００ ＋ ０１１０ 演算 四則演算 (＋, －, ×, ÷) 10進法での筆算と同じようにできる ２進数では、０, １ を操作すれば実現できる １ ０ １ ０

4 論理演算

5 論理演算 ２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、 ０, １ を操作すれば実現できる 与えられた ０, １ （入力） から、
　　０, １ を操作すれば実現できる 与えられた ０, １ （入力） から、 　　計算結果の ０, １ （出力） を得る仕組みを作ろう！ 例） NOT ： 入力の否定 （０，１ を反転させる） 入力 出力 Ａ ｆ ０ １ １ ０ Ａ ｆ （真理値表）

6 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＯＲ （論理和） ＸＯＲ （排他的 ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ
Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 １ Ａ Ｂ ｆ ＡＮＤ （論理積） Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 １ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ＯＲ （論理和） Ａ Ｂ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 ０ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ＸＯＲ （排他的 論理和）

7 論理演算： ＮＡＮＤ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＮＡＮＤ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ
論理演算： ＮＡＮＤ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 １ ＡＮＤ （論理積） Ａ Ｂ ｆ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 １ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 ０ ｆ = Ａ ・ Ｂ ｆ = Ａ ∧ Ｂ Ａ ＮＡＮＤ ｆ Ｂ

8 論理演算： ＮＯＲ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） ＯＲ （論理和） ＮＯＲ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ
論理演算： ＮＯＲ 論理演算 回路記号 真理値表 論理式 ＮＯＴ （否定） Ａ　 ｆ ０　 １ １　 ０ ｆ = Ａ ｆ = ￢ Ａ Ａ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 ０ ０ １　 １ １ ０　 １ １ １　 １ ＯＲ （論理和） ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ Ａ Ｂ　 ｆ ０ ０　 １ ０ １　 ０ １ ０　 ０ １ １　 ０ ｆ = Ａ ＋ Ｂ ｆ = Ａ ∨ Ｂ Ａ Ｂ ｆ ＮＯＲ

9 各ビットごとに、指示された論理演算を行う
練習：　ビット演算 各ビットごとに、指示された論理演算を行う 1 1 1 1 1 1 1 1 AND AND 1 1 1 1 1 1 1 1 AND 1 1 1 1 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず ０ になる）

10 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）
練習：　ビット演算 1 1 1 1 1 1 1 1 OR OR 1 1 1 1 1 1 1 1 OR 1 1 1 1 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）

11 ビット反転 （この部分はビットが反転する）
練習：　ビット演算 1 1 1 1 1 1 1 1 XOR XOR 1 1 1 1 1 1 1 1 XOR 1 1 1 1 ビット反転 （この部分はビットが反転する） ０クリア （同じものの XOR は、全ビット ０ になる）

12 論理回路

13 論理回路 ２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、 ０, １ を操作すれば実現できる 論理素子 (NOT, AND, OR, …)
　　０, １ を操作すれば実現できる 論理素子 (NOT, AND, OR, …) ０, １ の入力 から、０, １ の出力 を得る仕組み 論理回路 論理素子を用いて、論理演算を実現する 組合せ回路と順序回路に分類できる

14 組合せ回路 現在の入力のみから出力が決められる回路 例） 半加算器 (half adder) … 入力 Ａ, Ｂ を 加算 し、
________________ ________________ 現在の入力のみから出力が決められる回路 例） 半加算器 (half adder) … 入力 Ａ, Ｂ を 加算 し、 その桁の和 (Sum) Ｓ と 桁上げ (Carry) Ｃ を 出力 　 １ 　 ０ １ ＋ １ １ 　 　 ０ 入力 出力 Ａ Ｂ　　Ｃ Ｓ ０ ０　　０ ０ ０ １　　０ １ １ ０　　０ １ １ １　　１ ０ Ｂ Ｓ Ａ Ｃ

15 例) 全加算器 (full adder) 入力された Ａ, Ｂ, Ｃ in を 加算し、 その桁の和 Ｓ と 桁上げ Ｃout を 出力
１ １ 　 ０ １ ＋ １ １ 　 ０ ０ 入力された Ａ, Ｂ, Ｃ in を 加算し、 その桁の和 Ｓ と 桁上げ Ｃout を 出力 Ａ Ｂ Ｃin ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ 入力 出力 　 Ｓ ０ ０ ０ １ １ ０ １ １ Ｃout Ｂ Ａ Ｃin Ｃout Ｓ

16 例） 加算器 ０ １ ０ １ ＋ １ １ １ １ ０ １ ０ ０ 全加算器 Ａ3 Ｂ3 Ｓ3 Ｃ3 全加算器 Ａ2 Ｂ2 Ｓ2 Ｃ2
例） 加算器 １ １ １ １ 　 ０ １ ０ １ ＋ １ １ １ １ 　 ０ １ ０ ０ 全加算器 Ａ3 Ｂ3 Ｓ3 Ｃ3 全加算器 Ａ2 Ｂ2 Ｓ2 Ｃ2 全加算器 Ａ1 Ｂ1 Ｓ1 Ｃ1 半加算器 Ａ0 Ｂ0 Ｓ0 Ｃ0

17 論理回路 と 論理式 次の論理回路と論理式は等価？ 真理値表で確かめる S = X + Y + Z
C S = X + Y + Z Y C = X ・ Y + Y ・ Z + Z ・ X S Z Ｘ Ｙ Ｚ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ Ｃ Ｓ ０ ０ ０ １ １ ０ １ １ Ｘ Ｙ Ｚ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ Ｃ Ｓ ０ ０ ０ １ １ ０ １ １

18 論理回路の設計に利用する 論理回路 真理値表 論理式 カルノー図 XY 00 01 11 10 Z 1 1 1 1 1 参考： カルノー図
参考：　カルノー図 論理回路の設計に利用する Ｘ Ｙ Ｚ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ Ｃ Ｓ ０ ０ ０ １ １ ０ １ １ 論理回路 X C Y 真理値表 Z 論理式 カルノー図 XY 00 01 11 10 Z C = X ・ Y + Y ・ Z + Z ・ X 1 1 1 1 1

19 X OR Y を、NAND だけを使って表した論理式はどれか
練習：　組合せ回路 (H17年度 秋) X OR Y を、NAND だけを使って表した論理式はどれか ア． ((X NAND Y) NAND X) NAND Y イ． (X NAND X) NAND (Y NAND Y) ウ． (X NAND Y) NAND (X NAND Y) エ． X NAND (Y NAND (X NAND Y))

20 順序回路 記憶を保持することができる 記憶 （内部状態） と 現在の入力から 出力が決められる回路 論理素子がループしている部分がある
________________ 記憶を保持することができる 記憶 （内部状態） と 現在の入力から 出力が決められる回路 論理素子がループしている部分がある 例） フリップフロップ （S R フリップ フロップなど） カウンタ ________________

21 例） S R フリップ フロップ 内部状態 入力 出力 Ｓ Ｒ Ｑn-1 ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０
０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ Ｑｎ ０ １ － Ｓ Ｑ　ｎ 内部状態保持 リセット Ｑ　ｎ Ｒ セット 禁止入力

22 例） S R フリップ フロップ 内部状態 入力 出力 Ｓ Ｒ Ｑn-1 ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０
０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ Ｑｎ ０ １ － ０ ０ １ １ ０ １ Ｓ Ｑ　ｎ 内部状態保持 リセット Ｑ　ｎ Ｒ ０ ０ １ セット ０ １ 禁止入力

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24 各ビットごとに、指示された論理演算を行う
練習：　ビット演算 各ビットごとに、指示された論理演算を行う 1 1 1 1 1 1 1 1 AND AND 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AND 1 1 1 1 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず ０ になる）

25 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）
練習：　ビット演算 1 1 1 1 1 1 1 1 OR OR 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OR 1 1 1 1 マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）

26 ビット反転 （この部分はビットが反転する）
練習：　ビット演算 1 1 1 1 1 1 1 1 XOR XOR 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 XOR 1 1 1 1 ビット反転 （この部分はビットが反転する） ０クリア （同じものの XOR は、全ビット ０ になる）

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29 この文面は、TOKYO TECH OCW の利用 条件を参考にしました
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この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史　 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください 図の著作者 p. 5, 9, 10, 11, 21, 22, 24, 25, 26 クリップアート : Microsoft Office Online / クリップアート その他 堀山 貴史