基本情報技術概論（第６回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史

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1 基本情報技術概論（第６回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史
2009/11/25 中間試験 12/9 (水) 5,6限 教室未定 基本情報技術概論 (第６回) アルゴリズム と データ構造 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史 2008/01/23

2 前回までの復習 （データ構造） 基本的なデータ構造 配列 (array) リスト (list) その他のデータ構造 スタック (stack)
待ち行列 (queue, キュー) 木 (tree)、２分木 (binary tree) ２分探索木、ヒープ この後、すぐ

3 前回までの復習 （アルゴリズム） 問題を解決するための、有限ステップからなる手順 （言葉やフローチャートなどで書く）
線形探索 (linear search) 先頭から順番に調べる 大きさ n の配列の探索時間 （計算量） O( n ) A [ ] 探索キー 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 5 10 35 50 70 100 110 150 …

4 前回までの復習 （アルゴリズム） ２分探索 (binary search) ソートされた配列に対し、高速に探索できる 探索範囲の中央を調べる
→ 探索キーとの比較で、探索範囲が半分に 計算量 … O( log n ) A [ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 5 10 35 50 70 100 110 150 190 191 200 300 400 探索キー 70

5 節点 と 辺 （枝 ともいう） からなり 以下の １、２ を満たすもの 深さ 根 0 … 1 … 2 … 3 … すべての節点が連結である
データ構造： 木 (tree) 深さ 根 0 … 節点 と 辺 （枝 ともいう） からなり 以下の １、２ を満たすもの 1 … 2 … 3 … すべての節点が連結である サイクルを持たない 葉 親 先祖 この節点から見て 兄弟 子 子孫

6 データ構造： ２分木 (binary tree)
___________ 各節点の子は、高々２つ 右の子 と 左の子 は、区別する 例) 下の３つは、どれも異なる２分木 完全２分木 … 20 個 … 21 個 … 22 個

7 ２分木の実現法 1 2 3 リスト 配列 1 4 5 7 2 3 4 5 7 節点 i の 左の子 2i 右の子 2i + 1 親 i /2
________ A [ ] 1 2 3 4 5 6 7 深さ

8 ２分木の節点の順序付け 先行順 (pre order) 根、左部分木、右部分木 中間順 (in order) 左部分木、根、右部分木
___________ 先行順 (pre order) 根、左部分木、右部分木 中間順 (in order) 左部分木、根、右部分木 後行順 (post order) 左部分木、右部分木、根 左部分木 右部分木

9 ２分木の節点の順序付け 中間順 ： 左部分木、根、右部分木 × ＋ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 4 2 6 （Ａ＋Ｂ）×（Ｃ－Ｄ） に対応 1 3
中間順 ： 左部分木、根、右部分木 4 × ＋ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2 6 （Ａ＋Ｂ）×（Ｃ－Ｄ） に対応 1 3 5 7

10 ２分木の節点の順序付け 先行順 ： 根、左部分木、右部分木 × ＋ － Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 後行順 ： 左部分木、右部分木、根 × ＋ － Ａ
先行順 ： 根、左部分木、右部分木 1 × ＋ － Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 2 5 ___________ ×＋ＡＢ－ＣＤ に対応 （ポーランド記法） 3 4 6 7 後行順 ： 左部分木、右部分木、根 7 × ＋ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 3 6 ___________ ＡＢ＋ＣＤ－× に対応 （逆ポーランド記法） 1 2 4 5

11 ２分探索木 ___________

12 ２分木の各節点に、データを格納 節点 v のデータは (1) v のどの左の子孫よりも大きい (2) v の 〃 右 〃 小さい 6 3
データ構造： ２分探索木 ___________ ２分木の各節点に、データを格納 節点 v のデータは (1) v のどの左の子孫よりも大きい (2) v の 〃 右 〃 　 小さい 例） 6 3 10 最小 → 1 4 8 12 ← 最大 7

13 ２分探索木の操作 探索 6 3 10 1 4 8 12 7 探索キー 8 根から出発 探索キー < 節点のキー … 左の部分木へ
探索キー = 節点のキー … 探索成功 探索キー < 節点のキー … 左の部分木へ 探索キー > 節点のキー … 右の部分木へ

14 ２分探索木の操作 追加 6 3 10 1 4 8 12 9 7 9 を追加 探索と同様にして、木をたどる
木から飛び出したところに、新しい節点を加える

15 ２分探索木の操作 削除 6 3 10 1 4 8 12 7 10 を削除 削除するキーを探索して削除
２分探索木の条件に合うように移動 （子孫も同様） 左部分木の最大値を移動 or 右部分木の最小値を移動

16 練習：　２分探索木 次の２分探索木から要素12を削除したとき、その位置に別の要素を移動するだけで２分探索木を再構成するには、削除された要素の位置にどの要素を移動すればよいか。 (H16年度 秋 一部改変) 6 4 8 ア. 10　　　イ. 11 ウ. 14　　　エ. 15 イ 3 2 5 7 12 1 3 10 14 9 11 13 15

17 ヒープ ___________

18 親と子の大小関係をそろえる (ヒープ ソートに利用) 親 > 子 なら、根が最大 親 < 子 なら、根が最小
データ構造： ヒープ (heap) ___________ 完全２分木の各節点に、データを格納 親と子の大小関係をそろえる (ヒープ ソートに利用) 親 > 子 なら、根が最大 親 < 子 なら、根が最小 ２分探索木との 違いに注意 例） 9 6 7 3 2 4 1

19 ヒープの操作 探索 最大値は？ 7 6 5 3 2 4 1 値を順に追加 最大値を順に取り出す (最大値を探索 & 削除) ヒープ ソート

20 ヒープの操作 追加 8 を追加 7 6 5 3 2 4 1 8 ヒープの最後 (深さ最大、左詰め) に新しい節点を追加 ヒープの維持

21 ヒープの操作 削除 7 1 6 5 6 5 3 2 4 1 3 2 4 7 を削除 ヒープの最後を削除する節点に追加移動 ヒープの維持

22 アルゴリズム： ヒープソート (heap sort)
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す 4 7 6 5 3 2 1 7 1 7 4 6 5 3 2 1 7 4 5 3 2 6 1 最大値の取り出し 最後の葉の移動 ヒープの維持 7 4 3 5 1 2 6 6 4 6 7 4 3 5 1 2 6 7 3 1 2 5 4 最大値の取り出し 最後の葉の移動 ヒープの維持

23 アルゴリズム： ヒープソート (heap sort)
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す 7 1 6 5 6 5 3 2 4 1 3 2 4 7 最大値の取り出し ヒープの維持 計算量 O( 1 ) 計算量 O( log n ) n 回 繰り返し … トータルの計算量 O( n log n )

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25 ハッシュ法 (hash) キー値に対して演算を行うことで、 アイデア） キー値が大きな数字で、要素数が少ない
ハッシュ表 キー値に対して演算を行うことで、 高速なアクセスを実現する アイデア） キー値が大きな数字で、要素数が少ない → キー値を折りたたんで、配列に 例） 名前をキーにした名簿 … 13 14 ハッシュ関数 ハッシュ値 15 キー 16 mod 23 1234 mod 23 1234 = 15 …

26 ハッシュ法 (hash) ハッシュ表が混んでいなくて、 → O( 1 ) 時間でアクセス可能
ハッシュ関数が適切なら、衝突の確率は低い → O( 1 ) 時間でアクセス可能 衝突 … 異なるキーのハッシュ値が同じになること 衝突時の処理 チェーン法 オープンアドレス法 ハッシュ関数 ハッシュ値 ハッシュ表 キー mod 23 15 1234 15 mod 23 15 15

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28 アルゴリズム： バブルソート (隣接交換法)
アルゴリズム：　 バブルソート (隣接交換法) 隣り合うデータを見比べて、大小関係が逆なら交換 確定 小 20 20 20 20 1 大小がバラバラ 30 30 30 1 20 バラバラ 5 5 1 30 30 10 見比べて交換 1 5 5 5 大 1 10 10 10 10 1 1 1 20 20 5 確定 … 30 5 20 バラバラ 5 30 30 10 10 10

29 アルゴリズム： バブルソート (隣接交換法)
基本情報技術概論（第６回） 2009/11/25 アルゴリズム：　 バブルソート (隣接交換法) 計算量 1 確定 1 1 1 20 5 確定 5 5 … n 個 30 20 10 確定 10 5 30 20 20 10 10 30 30 １個目を確定させるのに 比較が n – 1 回 ２個目 n – 2 回 ３個目 n – 3 回 … n - 1 個目 1 回 … 全部で O( n2 )

30 アルゴリズム： マージソート (併合ソート）
アルゴリズム：　 マージソート (併合ソート） ソートされた２つの列 → １つにマージ（併合）するのは簡単 　　（各列の先頭を見比べながら、小さい方を取っていく） １回のマージの実行時間は、要素数に比例 5 20 25 50 1 10 30 40

31 アルゴリズム： マージソート (併合ソート）
アルゴリズム：　 マージソート (併合ソート） 5 25 50 20 30 40 10 1 50 25 5 20 10 40 30 1 分割 log n 段 25 5 20 50 40 30 1 10 5 25 50 20 30 40 10 1 25 5 50 20 40 30 10 1 log n 段 マージ 1 段に O( n ) 時間 → 全部で O( n log n ) 時間

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33 ループの中の比較回数を減らす n 100 n： 配列の要素数 K： 探索キー 開 始 K 70 i 1 → i K → A(n+1) Yes
アルゴリズム：　番兵付き の 線形探索 ループの中の比較回数を減らす n 100 n： 配列の要素数 K： 探索キー 開 始 K 70 i 1 → i K → A(n+1) Yes A [1] 30 A(i) = K Yes No i > n A [2] 50 No A [3] 20 i + 1 → i A [4] 70 探索成功の処理 探索失敗の処理 A [5] 10 終 了 …

34 アルゴリズム： 線形探索 (linear search)
配列を先頭から順番に探索する n 100 開 始 n： 配列の要素数 K： 探索キー K 70 1 → i i Yes i > n A [1] 30 No Yes A [2] 50 A(i) = K A [3] 20 No 探索成功の処理 探索失敗の処理 A [4] 70 i + 1 → i A [5] 10 終 了 …

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36 「全学向け」 用に、「情報向け」 から 抜いたものを、以下に置く

37 ２分木の実現法 1 情報向け 2 3 リスト 配列 1 4 5 7 2 3 4 5 7 節点 i の 左の子 2i 右の子 2i + 1
________ A [ ] 1 2 3 4 5 6 7 深さ

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39 練習：　データ構造 データ構造に関する記述のうち、適切なものはどれか。 ア. ２分木は、データ間の関係を階層的に表現する木構造の一種であり、すべての節が２つの子をもつデータ構造である。 イ. スタックは、最初に格納したデータを最初に取り出す先入れ 先出しのデータ構造である。 ウ. リストは、データ部と次のデータの格納先を指すポインタ部 から構成されるデータ構造である。 エ. 配列は、ポインタの付替えだけでデータの挿入 ・ 削除が できる構造である。

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42 この文面は、TOKYO TECH OCW の利用 条件を参考にしました
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この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史　 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください 図の著作者 p. 3, 4, 14 ～ 17, 19 ～ 22, 40 クリップアート : Microsoft Office Online / クリップアート その他 堀山 貴史