博士たちの愛する円周率 徳山 豪 東北大学 “ＰＩ” that professors love

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1 博士たちの愛する円周率 徳山 豪 東北大学 “ＰＩ” that professors love
Mathematics that the professor loved 徳山　豪 東北大学 “ＰＩ” that professors love 博士たちの愛する円周率

2 円周率 π＝３．１４１５９２６５３５８９……. 今日のテーマ： 円周率四方山話 気楽に聞いてください 無理数、 超越数 古代からの不思議
　π＝３．１４１５９２６５３５８９…….　 無理数、　超越数 古代からの不思議 数学のあらゆる場で出てくる数 今日のテーマ：　円周率四方山話 　ビュホンの針 　有理数でないことの証明 　不思議な等式たち 気楽に聞いてください

3 円周率 半径1の円の面積は、周長は？ 球の体積は、球の表面積は？ 単位円の面積＝単位円の周長/２ 単位球の体積 ＝ 単位円の面積＊４/3
半径1の円の面積は、周長は？　球の体積は、球の表面積は？ 　単位円の面積＝単位円の周長/２ 　古代ギリシャ以前に既知 　証明してみてください 　同様に、表面積と体積の関係は？ 　単位球の体積　＝　単位円の面積＊４/3　 　これは簡単ではない？？ 　ピタゴラス＋天才アルキメデス 　だれか、証明を知ってますか？

4 円周率を計算しよう：１ 実験による計算： モンテカルロ法 Ｂｕｆｆｏｎの針 幅１の間隔で横線を引く 長さ１の『針』を落とす
実験による計算：　モンテカルロ法 　Ｂｕｆｆｏｎの針 　幅１の間隔で横線を引く 　長さ１の『針』を落とす 　針が横線と交わる回数からπが計算できる

5 演習 　幅１の間隔で横線を引く 　長さ１の『針』を落とす 　針が横線と交わる確率を求めよ

6 エレガントな解法 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察 長さaの『針』での期待値ｆ(a) f(a) +f(b) = f(a+b)
　『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察 　長さaの『針』での期待値ｆ(a) 　f(a) +f(b) = f(a+b) 長さ1/nの針を正ｎ角形に並べる 　ｎを無限大にすると、円周になる

7 円周率の性質 無理数である 超越数である （代数方程式の解にならない） 証明は易しくないが、初等的に出来る 証明には2000年以上掛かった
アリストテレスからＬａｍｂｅｒｔ（１７６６）まで 講義ではやらない（Ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｂｏｏｋ参照） 超越数である　（代数方程式の解にならない） 証明は易しくない Ｌｉｎｄｅｒｍａｎｎの定理（１８８２）

8 面白い等式 オイラーの等式　 超越数の理論の出発になった等式

9 面白い等式 　証明のアウトライン 下記の積分を2通りに計算する

10 等式から求める円周率 この公式から円周率（の２乗）を計算できるはず。 大きいｎまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能
　この公式から円周率（の２乗）を計算できるはず。 大きいｎまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能 　よりよい等式を利用する　 逆正接関数を用いた式（オイラー以来たくさん） 　計算法について、調べてみてください。