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博士たちの愛する円周率 徳山 豪 東北大学 “PI” that professors love

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1 博士たちの愛する円周率 徳山 豪 東北大学 “PI” that professors love
Mathematics that the professor loved 徳山 豪 東北大学 “PI” that professors love 博士たちの愛する円周率

2 円周率 π=3.141592653589……. 今日のテーマ: 円周率四方山話 気楽に聞いてください 無理数、 超越数 古代からの不思議
 π=3.141592653589…….  無理数、 超越数 古代からの不思議 数学のあらゆる場で出てくる数 今日のテーマ: 円周率四方山話  ビュホンの針  有理数でないことの証明  不思議な等式たち 気楽に聞いてください

3 円周率 半径1の円の面積は、周長は? 球の体積は、球の表面積は? 単位円の面積=単位円の周長/2 単位球の体積 = 単位円の面積*4/3
半径1の円の面積は、周長は? 球の体積は、球の表面積は?  単位円の面積=単位円の周長/2  古代ギリシャ以前に既知  証明してみてください  同様に、表面積と体積の関係は?  単位球の体積 = 単位円の面積*4/3   これは簡単ではない??  ピタゴラス+天才アルキメデス  だれか、証明を知ってますか?

4 円周率を計算しよう:1 実験による計算: モンテカルロ法 Buffonの針 幅1の間隔で横線を引く 長さ1の『針』を落とす
実験による計算: モンテカルロ法  Buffonの針  幅1の間隔で横線を引く  長さ1の『針』を落とす  針が横線と交わる回数からπが計算できる

5 演習  幅1の間隔で横線を引く  長さ1の『針』を落とす  針が横線と交わる確率を求めよ

6 エレガントな解法 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察 長さaの『針』での期待値f(a) f(a) +f(b) = f(a+b)
 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察  長さaの『針』での期待値f(a)  f(a) +f(b) = f(a+b) 長さ1/nの針を正n角形に並べる  nを無限大にすると、円周になる

7 円周率の性質 無理数である 超越数である (代数方程式の解にならない) 証明は易しくないが、初等的に出来る 証明には2000年以上掛かった
アリストテレスからLambert(1766)まで 講義ではやらない(Proof of the Book参照) 超越数である (代数方程式の解にならない) 証明は易しくない Lindermannの定理(1882)

8 面白い等式 オイラーの等式  超越数の理論の出発になった等式

9 面白い等式  証明のアウトライン 下記の積分を2通りに計算する

10 等式から求める円周率 この公式から円周率(の2乗)を計算できるはず。 大きいnまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能
 この公式から円周率(の2乗)を計算できるはず。 大きいnまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能  よりよい等式を利用する  逆正接関数を用いた式(オイラー以来たくさん)  計算法について、調べてみてください。


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