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max,min 演算を用いた, 図形を表すための 関数の構成法
1BSM1103山田恵梨 1BSM1213阿藤美冬
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目次 序論 凹みのない図形 凹凸のある図形 図形の紹介(A,B,Q) まとめ いくらでも変更します 適当につけた目次
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序論 ここいる?
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𝑦=𝑓 𝑥 と表せる → 𝑓′ 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 から増減表 複雑な関数𝐹 𝑥,𝑦 →Mathematicaなどの数式処理ソフト
関数𝐹(𝑥,𝑦)=0から図形を描く方法 𝑦=𝑓 𝑥 と表せる → 𝑓′ 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 から増減表 複雑な関数𝐹 𝑥,𝑦 →Mathematicaなどの数式処理ソフト まず、「関数から図形を描く」 のは自明な方法がある。 ということを話す。 Y=f(x)で書けるなら導関数から増減表を導き、描く。 複雑な関数でも、Mathematicaなどの数式処理ソフトで描ける。
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下の三角形を式で表すと? EPSよりJPEGの方が図が綺麗 載せる場合はJPEGに変換
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𝑦=0または 𝑦=𝑥+1 (−1≤𝑥≤0) 𝑦=0または 𝑦=−𝑥+1 (0≤𝑥≤1)
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以下の図形を式にする 黒板に式を書いた紙を貼る
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複雑な図形 座標を読み取ることが難しい とても複雑な式になる ⇒時間がかかる、分かりづらい
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本論文では 2次元平面上の図形 ↓ 𝐹 𝑥,𝑦 =0 で表せる方法の提案
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凹みのない図形
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例として以下の図形を考える
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①四角形の内部領域を 不等号で表す 𝑥≤1 𝑥≥−1 𝑦≤1 𝑦≥−1
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②左辺を0以下に揃える 𝑥−1≤0 −𝑥−1≤0 𝑦−1≤0 −𝑦−1≤0 𝑥≤1 𝑥≥−1 𝑦≤1 𝑦≥−1 →
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③maxを用いて1つにまとめる 𝑥−1≤0 −𝑥−1≤0 𝑦−1≤0 −𝑦−1≤0 ↓ max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)≤0
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例1:) ① max 2,4 =4 ② max 0,2,10 =10 複数の数字のうち、 最も大きい値を答える演算
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③maxを用いて1つにまとめる 𝑥−1≤0 −𝑥−1≤0 𝑦−1≤0 −𝑦−1≤0 ↓ max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)≤0
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𝑥−1≤0 −𝑥−1≤0 𝑦−1≤0 −𝑦−1≤0 max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)≤0 𝑥−1が最大値 最大値が0以下である
↓ 他の3つの項も0以下 𝑥−1≤0 −𝑥−1≤0 𝑦−1≤0 −𝑦−1≤0 →
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四角形の内部領域を表す max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)≤0
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④不等号を等号に直す max 𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1 ≤0 ↓ max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)=0
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四角形の境界部分を表す max(𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1)=0
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ここまでの工程 ①四角形の内部領域を式で表す ②左辺が0以下になるように式変形 ③その不等式をmaxに書き換える ④不等号を等号に換える
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凹みのない図形をmax演算で表すには ①図形の内部領域を不等式で表す ②その不等式を共通の値以下になるように式変形
例 𝐹 1 (𝑋,𝑌)≤2, 𝐹 2 𝑋,𝑌 ≤1,… , 𝐹 𝑛 (𝑋,𝑌)≤5 ②その不等式を共通の値以下になるように式変形 𝐹 1 𝑋,𝑌 −2≤0, 𝐹 2 𝑋,𝑌 −1≤0,… , 𝐹 𝑛 𝑋,𝑌 −5≤0 ③その式をmaxに書き換える max( 𝐹 1 𝑋,𝑌 −2, 𝐹 2 𝑋,𝑌 −1,… ,𝐹 𝑛 𝑋,𝑌 −5)≤0 ④不等号を等号に換える max 𝐹 1 𝑋,𝑌 −2, 𝐹 2 𝑋,𝑌 −1,… ,𝐹 𝑛 𝑋,𝑌 −5 =0
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凹凸のある図形
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例として以下の図形を考える 𝒚=𝒙 𝒚=−𝒙 𝒚=𝟐𝒙−𝟏 𝒚=−𝟐𝒙−𝟏
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↓ −𝑥+𝑦≤0 𝑥+𝑦≤0 2𝑥−𝑦−1≤0 −2𝑥−𝑦−1≤0 max(−𝑥+𝑦,𝑥+𝑦, 2𝑥−𝑦−1,−2𝑥−𝑦−1)=0
先ほど説明したので簡単にいきます とか言って、さっと流す。
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max −𝑥+𝑦,𝑥+𝑦,−2𝑥−𝑦−1,2𝑥−𝑦−1 =0
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−𝑥+𝑦≤0 𝑥+𝑦≤0 2𝑥−𝑦−1≤0 −2𝑥−𝑦−1≤0
そもそもこの式で表される領域は…? ここで黒板に図形を描いて説明してください
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−𝑥+𝑦≤0
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𝑥+𝑦≤0
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2𝑥−𝑦−1≤0
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−2𝑥−𝑦−1≤0
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複数の数字のうち、 最も小さい値を答える演算
min演算とは 例 ① min 2,4 =2 ② min 0,2,10 =0 複数の数字のうち、 最も小さい値を答える演算
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以下のように、 max演算と組み合わせることも可能 min max 3,6 , max 10,2 = min 6,10 =6
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①凹みのないいくつかの図形に分割 このスライドから説明に入ります。 と話してから始める。
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注意 共通する部分が残るようにする
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②max演算で図形を表す max(𝑥+𝑦,2𝑥−𝑦−1, −2𝑥−𝑦−1)≤0 ⇒ 𝑀 1 𝑥,𝑦 ≤0
⇒ 𝑀 1 𝑥,𝑦 ≤0 このスライドと、次のスライドは印刷して、凹凸のある図形の説明をしているときはずっと黒板に貼っておいてほしい。 そうすると後の説明が楽になる。
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max(−𝑥+𝑦,2𝑥−𝑦−1, −2𝑥−𝑦−1)≤0 ⇒ 𝑀 2 𝑥,𝑦 ≤0
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外部領域の表し方 max 𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1 >0
図の赤いとこが外部 外部領域がどうしてこう表されるのか、という話は時間の関係上しない。質問されたら話す。 max 𝑥−1,−𝑥−1,𝑦−1,−𝑦−1 >0
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③min( 𝑀 1 𝑥,𝑦 , 𝑀 2 (𝑥,𝑦))≤0と表す 1. 𝑀 1 ≤0, 𝑀 2 >0 2. 𝑀 1 >0, 𝑀 2 ≤0 3. 𝑀 1 ≤0, 𝑀 2 ≤0 4. 𝑀 1 >0, 𝑀 2 >0
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min 𝑀 1 𝑥,𝑦 , 𝑀 2 𝑥,𝑦 ≤0 ↓ min( 𝑀 1 𝑥,𝑦 , 𝑀 2 𝑥,𝑦 =0 ④不等号を等号に換える
凹みのない図形と同様に、不等号を等号に換えれば境界のみが表示される。
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凹凸のある図形を max 演算で表すには ①凹みのない図形に、かつ図形同士が重なるように分割する ②分割した図をmax演算で表す ③ min(max( 𝐹 1 , 𝐹 2 ),max( 𝐹 3, 𝐹 4 ),…, )≤0 の形で表す ④不等号を等号に換える
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4.図形の紹介 (A. B. Q)
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max 𝑦−3,−𝑦−3,−3𝑥+𝑦−6,4𝑥−𝑦+3 =0
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max 𝑦−3,−𝑦+2,−3𝑥+𝑦−6,3𝑥+𝑦+3 =0
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max 𝑦−3,−𝑦−3,3𝑥+𝑦−6,−4𝑥−𝑦+3 =0
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max −𝑦−1,𝑦−3,−3𝑥+𝑦−6,3𝑥+𝑦−6 =0
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minを使って1本の式にすると… min{ max 𝑦−3,−𝑦−3,−3𝑥+𝑦−6,4𝑥−𝑦+3 , max 𝑦−3,−𝑦+2,−3𝑥+𝑦−6,3𝑥+𝑦−6 , max 𝑦−3,−𝑦−3,3𝑥+𝑦−6,−4𝑥−𝑦+3 , max( −𝑦−1,𝑦,−3𝑥+𝑦−6,3𝑥+𝑦−6 }=0
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max 𝑥− 1 2 ,−𝑥− 1 2 ,−𝑦− 11 4 ,𝑦−3 =0
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max −𝑥, 𝑥− 1 2 2 3 2 + 𝑦− 3 2 2 3 2 2 −1,− 𝑥− 1 2 2 2 2 − 𝑦− 3 2 2 1 2 2 +1 =0
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max −𝑥, 𝑥− 1 2 2 3 2 + 𝑦+ 5 4 2 3 2 2 −1,− 𝑥− 1 2 2 2 2 − 𝑦− 3 2 2 1 2 2 +1 =0
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minを使って1本の式にすると… min{ max 𝑥− 1 2 ,−𝑥− 1 2 ,−𝑦− 11 4 ,𝑦−3 ,
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Qの図形
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min( max 𝑥 𝑦 2 −1,− 1 2 𝑥 2 − 𝑦 , max(− 3 5 𝑥+𝑦+ 6 5 , 𝑥+𝑦− , 3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ,− 𝑥−𝑦− 9 20 ))=0
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円の一部を辺としている その円の外側にある
どうしてQの紹介をしたかというと、この赤の領域のみを作成することが出来ないということをお話するためです。この赤い領域はどういうものかを言葉でいうと、円の一部を辺として、さらにその円の外側にあるものです。
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この領域は以下の式で構成されている 33 20 𝑥+𝑦− 21 20 ≤0 3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ≤0
− 𝑥−𝑦− 9 20 ≤0 − 1 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +1≤0 拡大したもの
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この境界を このままmax演算で作成する max( 33 20 𝑥 +𝑦− 21 20 , 3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ,
− 𝑥−𝑦− 9 20 ,− 1 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +1)=0
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以下のようになる
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この式が表す領域は? 33 20 𝑥+𝑦− ≤0 3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ≤0 − 𝑥−𝑦− 9 20 ≤0 − 1 2 𝑥 2 − 7 34 𝑦 2 +1≤0
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− 1 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +1≤0
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− 𝑥−𝑦− 9 20 ≤0
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33 20 𝑥+𝑦− ≤0
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3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ≤0 不等式が示す領域はこのラインなので、先ほどの赤い部分のみの作成はできない
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範囲を工夫すると表示される
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min( max 𝑥 𝑦 2 −1,− 1 2 𝑥 2 − 𝑦 , max(− 3 5 𝑥+𝑦+ 6 5 , 𝑥+𝑦− , 3 5 𝑥−𝑦− 21 5 ,− 𝑥−𝑦− 9 20 ))=0
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まとめ この次のスライドから文字列の話を載せる予定。
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文字列を作成すると…
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序論で載せた図形は以下のようになる
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min( 𝑥 2 + 𝑦 2 −4, max(− 3 5 𝑥+𝑦− 5 3 ,3𝑥−𝑦−3,−𝑦+1), max 3 5 𝑥+𝑦− 5 3 ,−3𝑥−𝑦−3,−𝑦+1 max 3 5 𝑥+𝑦− 5 3 ,−3𝑥−𝑦−3,−𝑦+1 )=0 この図形を表す式はこれだけではないが、簡潔な式で図形を表すことが出来た。 あの長い式を簡潔に簡単に表すことが出来るので、図形から関数を読み取るのに有効な方法だと考えられる。
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他の曲線を用いれば、平仮名などの複雑な文字や図形も表現可能
アルファベット → 直線、円、楕円で作成可能 他の曲線を用いれば、平仮名などの複雑な文字や図形も表現可能 「図形から関数を読み取る方法としてもよいが、思い描いた図形を描くのにも有効な手段だと考えられます。」 みたいな締め方だといいかな。そのスライド作ろうか考えてる。
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max,min 演算を用いた, 図形を表すための 関数の構成法
1BSM1103山田恵梨 1BSM1213阿藤美冬
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