微分・ベクトル解析 (９) 講師： 幹 浩文（A314)

Presentation on theme: "微分・ベクトル解析 (９) 講師： 幹 浩文（A314)"— Presentation transcript:

1 微分・ベクトル解析 (９) 講師： 幹 浩文（A314)
微分・ベクトル解析　(９) 　　　　　　　　　　講師： 幹 浩文（A314)　　 　　　　　　　　　　　TA： A１03（10：50~12：20）【金】

2 スケジュール １．イントロダクション・ 微分方程式（１階微分方程式） 4/14 ２．微分方程式 （２階微分方程式 - I） 4/21
テスト期間 8/2（水）～8/8（火）： (8/4)期末テスト日（?） １．イントロダクション・ 微分方程式（１階微分方程式） 　　 4/14 ２．微分方程式 （２階微分方程式 - I） /21 ３．微分方程式 （２階微分方程式 - II） /28 (5/5 ： 祝日) ４．中間テスト（範囲：　　１～２章講義内容）　　　　　　　　　 5/12 　(A4_　1枚持ち込み加） ５．ベクトルとスカラー（基本演算と内積・外積）　　ベクトルの微分と積分　　　　5/19 　 ６．曲面と曲線 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5/26 ７．(1) スカラー場とベクトル場の積分（線積分） /2 (2) スカラー場とベクトル場の積分（面積分） /2 ８．スカラー場とベクトル場の微分　（grad 勾配） 　 6/9 ９．スカラー場とベクトル場の微分　（div 発散） 　　 6/16 １０．スカラー場とベクトル場の微分　（rot 回転） 　　 6/23 １１．小テスト　（4～8章）　　　　　　　　　　　6/30 1２．積分公式　（グリーンの定理） /7 1３．積分公式　（ガウスの定理） 　 /14 1４．積分公式　（ストークスの定理） /21 15.　まとめ＋（期末テスト） /28 （6章） （8章） （7章） （9章）

3 ベクトル場の発散 divergence (div)
(𝑝160) 本日の内容 ベクトル場の発散　divergence (div) =𝛻∙𝑨 ベクトル →　スカラー

4 𝒊 𝜕 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝜕𝑧 ∙ 𝒊 𝐴 𝑥 +𝒋 𝐴 𝑦 +𝒌 𝐴 𝑧
=𝒊∙ 𝒊 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 +𝒋∙ 𝒋 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 +𝒌∙k 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 = 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 =div𝑨=𝛻∙𝑨

5 ベクトル場の発散(divergence of vector field)

6 (𝑝160)

7 (𝑝167) ( 7.8 𝑝160) div𝑨=𝛻・𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧

8 div𝑨=𝛻・𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧
【証明】 div 𝜑𝑨 =𝛻∙ 𝜑𝑨 = 𝜕 𝜑𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜑𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜑𝐴 𝑧 𝜕𝑧 =𝜑 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑥 +𝜑 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐴 𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑦 +𝜑 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 + 𝐴 𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝑧 =𝜑 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 + 𝐴 𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑦 + 𝐴 𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝑧 =𝜑div𝑨+𝑨・𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑=𝜑div𝑨+𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑∙ 𝑨= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑∙ 𝑨+𝜑div𝑨 =(𝛻𝜑)∙𝑨+𝜑𝛻∙𝑨 　注：　𝜑 𝑥,𝑦,𝑧 →スカラー場（方向性はない） →３軸直交座標系においての軸方向の成分は持ちない。

9 div grad 𝜑=𝛻∙𝛻𝜑= 𝛻 2 𝜑=∆𝜑= 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝑧
【証明】 div grad 𝜑=𝛻∙𝛻𝜑= 𝛻 2 𝜑=∆𝜑= 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝑧 div grad 𝜑=𝛻∙𝛻𝜑= 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑧 2 =𝛻 2 𝜑=∆𝜑

10 【演習問題】 ［ヒント］ 𝒂= 𝑎 1 𝒊+ 𝑎 2 𝒋+ 𝑎 3 𝒌
【答】　(i) 𝒂∙𝒃 , (ii) 2(𝒂∙𝒓 ) , (iii) 0

11 【演習問題】

12 (𝑃161)

13 𝑨 𝑥,𝑦,𝑧 =𝜌(𝑥,𝑦,𝑧)𝒗( 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 , 𝑣 𝑧 )
𝒗 𝑥,𝑦,𝑧 : （ベクトル場） 𝜌 𝑥,𝑦,𝑧 : （スカラー場） 流体の流れが時間に関係なく点の位置のみに依存するものとすれば、 𝑚= 𝜌𝒗 [𝑔/面積・時間] 𝑨=𝜌𝒗, 𝑨 𝑥,𝑦,𝑧 =𝜌(𝑥,𝑦,𝑧)𝒗( 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 , 𝑣 𝑧 )

14 𝑨=𝜌𝒗, 𝑨 𝑥,𝑦,𝑧 =𝜌(𝑥,𝑦,𝑧)𝒗( 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 , 𝑣 𝑧 )

15

16 ベクトル場の発散 (𝐹108) 水は圧力をかけても縮まらないとみなしてよいから，水の密度が一定で，流れは各点における速度，すなわち流れの速度場だけで決まる。 一様な太さの管内を一定の速さで 𝑥 方向に水が流れているとき，流速 𝑣 は　 小さな無数の湧き出しが連続的に分布→流速 𝑣 は 𝑥 の関数𝑣(𝑥)となる ∆𝑚=∆𝑣 𝑥 =𝑑𝑣(𝑥)

17 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑 𝑧 左の面からの単位時間当たりの流入量：𝑣 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑣 𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧− 𝑣 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧= 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥,𝑦,𝑧　全方位でこの領域から流出する総量： 単位体積当たりの流出量は 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 =div 𝒗=𝛻∙ 𝒗 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 （ベクトル場　𝒗の発散）

18

19 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 をベクトル場、 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 をスカラー場とするとき、 下記の式が成立つことを示せ
演習問題 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 をベクトル場、　𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 をスカラー場とするとき、 　　　下記の式が成立つことを示せ 𝛻・ 𝑓𝑭 = 𝛻𝑓 ・𝑭+𝑓(𝛻・𝑭) 𝟐. 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とし、　 𝑟= 𝒓 とするとき、次を計算せよ。 １ 　𝛻・ 𝒓 𝑟 , 2 𝛻・ 𝒓 𝑟 3 追加問題1 追加問題２ 1.

20 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 をベクトル場、　𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 をスカラー場とするとき、
　　　下記の式が成立つことを示せ 𝛻・ 𝑓𝑭 = 𝛻𝑓 ・𝑭+𝑓(𝛻・𝑭)

21 𝟐. 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とし、 𝑟= 𝒓 とするとき、次を計算せよ。 １ 𝛻・ 𝒓 𝑟 , 2 𝛻・ 𝒓 𝑟 3 (1)
𝟐. 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とし、 𝑟= 𝒓 とするとき、次を計算せよ。 １ 　𝛻・ 𝒓 𝑟 , 2 𝛻・ 𝒓 𝑟 3 (1) (2)

22 追加問題1 1

23 演習問題追加２ 1.

24 2.

25 本日はここまで