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相関係数の範囲 判別式を使った証明
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総和記号の定義 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 +…+ 𝑥 𝑛 𝑛個の数値があり、 𝑥 𝑖 を𝑖番目の値とする。
𝑛個の数値があり、 𝑥 𝑖 を𝑖番目の値とする。 𝑛個の 𝑥 𝑖 の総和を以下の記号で表す。 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 +…+ 𝑥 𝑛
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すべての xi を a 倍した値の総和を以下の記号で表す。
a 倍した xi の総和 すべての xi を a 倍した値の総和を以下の記号で表す。 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑥 𝑖 = 𝑎𝑥 1 +𝑎 𝑥 2 +⋯+𝑎 𝑥 𝑛
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𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 = 𝑥 1 + 𝑦 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛
和の総和 二組の数字の組が n 個あり、 ( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) を 𝑖 番目の組とする。 𝑥 𝑖 と 𝑦 𝑖 の和の総和を以下の式で表す。 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 = 𝑥 1 + 𝑦 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛
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総和の公式 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑥 𝑖 =𝑎 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖
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𝐴+𝐵 2 = 𝐴 2 +2𝐴𝐵+ 𝐵 2 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 − 𝐵 2
問題1 以下の式を因数分解しなさい。 𝐴+𝐵 2 = 𝐴 2 +2𝐴𝐵+ 𝐵 2 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 − 𝐵 2
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問題2 以下の方程式を解け。ただし𝐴は定数とする。
𝑥 2 = 𝐴 2 𝑥 2 − 𝐴 2 =0 𝑥+𝐴 𝑥−𝐴 =0 𝑥=−𝐴 𝑜𝑟 𝑥=+𝐴 𝑥=±𝐴
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𝑓 𝑥 =0
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問題3 以下の不等式を解け。ただし𝐴は定数とする。
𝑥 2 ≤ 𝐴 2 𝑥 2 − 𝐴 2 ≤0 𝑥+𝐴 𝑥−𝐴 ≤0 −𝐴≤𝑥≤+𝐴
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𝑓 𝑥 ≤0
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二次方程式の解の数と判別式 判別式と関数の値域
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問題 以下の式を𝑥について解け ただし 𝑎≠0 とする 𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐=0
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解の公式 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −𝑎𝑐 𝑎
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判別式 𝐷= 𝑏 2 −𝑎𝑐 𝐷>0 解が２つ 𝐷=0 解が１つ（重解） 𝐷<0 解なし
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判別式の符号によるf(x)と軸の関係
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𝐷=0の時の 𝑓(𝑥)と𝑥 軸 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 において 𝑎>0 とする。 「𝐷=0」ならば、
𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 において 𝑎>0 とする。 「𝐷=0」ならば、 「𝑓 𝑥 =0」となる点が1か所 それ以外の場所では「 𝑓 𝑥 >0」 したがって 𝑓(𝑥) は 𝑥 軸と接する。 ゆえに、 𝑓 𝑥 ≥0
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𝐷<0の時の 𝑓(𝑥)と𝑥 軸 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 において 𝑎>0 とする。
𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 において 𝑎>0 とする。 「𝐷<0」ならば、「𝑓 𝑥 =0」となる点はない。 したがって 𝑓(𝑥) と 𝑥 軸は離れている。 ゆえに、 𝑓 𝑥 >0 「 𝑓 𝑥 >0」ならば「𝐷<0」
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𝑓 𝑥 ≥0 の時の𝐷 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 おいて 𝑎>0 とする。 𝑓 𝑥 ≥0 ならば 𝐷=0 or 𝐷<0
𝑓 𝑥 ≥0 の時の𝐷 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 おいて 𝑎>0 とする。 𝑓 𝑥 ≥0 ならば 𝐷=0 or 𝐷<0 𝐷≤0 𝑓(𝑥)≥0 ならば 𝐷≤0 𝑓(𝑥) が非負ならば判別式は非正
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定義式の確認 分散と共分散と相関係数
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分散の定義式 𝑉 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2
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標準偏差の定義式 𝜎 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2
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共分散の定義式 𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑦 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑦 𝑖 − 𝑦
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問題 相関係数の定義式を 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑛 を用いて表しなさい。ただし相関係数の定義式は以下のとおりとする
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相関係数の定義式
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右辺を展開し整理しなさい。ただし、 𝑥 𝑖 − 𝑥 と 𝑦 𝑖 − 𝑦 は展開しないものとする
変数 𝑡 の関数 𝑓(𝑡) 問題 右辺を展開し整理しなさい。ただし、 𝑥 𝑖 − 𝑥 と 𝑦 𝑖 − 𝑦 は展開しないものとする
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展開式 問題 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑦 2 ≠0 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 ≠0 とする。𝑓 𝑡 の判別式を書きなさい。
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判別式と符号 𝑓 𝑡 は二乗和なので常に非負 従って判別式は非正となる
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左辺第2項を右辺へ移項
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右辺の値で両辺を割る
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「問題２」を使って式を変形
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相関係数は±1の範囲に収まる
