数学Ⅰ データの分析③.

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1 数学Ⅰ データの分析③

2 データの分析 分散と標準偏差

3 偏差 変量 𝑥 について、データの値が、 𝑛 個の値 𝑥 1 , 𝑥 2 ,⋯, 𝑥 𝑛 であるとする。 𝑥 𝑛 の平均値を 𝑥 とするとき、 𝑥 1 − 𝑥 , 𝑥 2 − 𝑥 , ⋯, 𝑥 𝑛 − 𝑥 を、それぞれ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,⋯, 𝑥 𝑛 からの偏差という。 偏差の平均は、次の計算のように、常に 0 となる。 1 𝑛 { 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 +⋯+ 𝑥 𝑛 − 𝑥 }= 𝑥 − 𝑥 =0

4 分散・標準偏差 偏差の平均値では、データの散らばりの度合いを 表すことができない。そこで、偏差の２乗の平均 1 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 を考える。 この値をデータの分散といい、 𝑠 2 で表す。 また、 𝑠 2 をデータの標準偏差といい、𝑠 で表す。

5 分散と標準偏差 分散 𝒔 𝟐 = 𝟏 𝒏 { 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 +⋯+ 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝟐
分散　　　 𝒔 𝟐 = 𝟏 𝒏 { 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 +⋯+ 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝟐 標準偏差　𝒔= 𝟏 𝒏 { 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 +⋯+ 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝟐 ※標準偏差を 𝑠 でなく、𝜎（シグマ）で表すときもある。

6 分散・標準偏差：例題 １０人の生徒の右手の握力 𝑥 (kg) のデータが、下の表で 与えられている。平均は 𝑥 = 1 10 ×250=25(kg)である。 分散 𝑠 2 は　　　 𝑠 2 = 1 10 ×48=4.8 標準偏差 𝑠 は　　　𝑠= 4.8 ≒2.2 (kg)

7 練習問題９ ５人の小テストの得点 𝑥が次のように与えられている。 5 7 5 10 8 このデータの分散 𝑠 2 と標準偏差 𝑠 を求めよ。
５人の小テストの得点 𝑥が次のように与えられている。 このデータの分散 𝑠 2 と標準偏差 𝑠 を求めよ。 分散 𝑠 2 は　　　 𝑠 2 = 1 5 ×18=𝟑.𝟔 標準偏差 𝑠 は　　　𝑠= 3.6 ≒𝟏.𝟗 (𝐤𝐠)

8 分散の計算 𝑠 2 = 1 𝑛 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 = 1 𝑛 𝑥 1 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 2 −2 𝑥 ( 𝑥 1 +⋯+ 𝑥 𝑛 ) +𝑛 𝑥 2 = 1 𝑛 𝑥 1 2 +⋯+ 𝑥 𝑛 2 −2 𝑥 ⋅ 1 𝑛 𝑥 1 +⋯+ 𝑥 𝑛 + 𝑥 2 = 𝑥 2 −2 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥 2 = 𝑥 2 − 𝑥 2

9 分散と標準偏差 𝒙 の分散 = 𝒙 𝟐 の平均値 − 𝒙 の平均値 𝟐 𝒙 の標準偏差 = 𝒙 𝟐 の平均値 − 𝒙 の平均値 𝟐
𝒙 の分散 = 𝒙 𝟐 の平均値 − 𝒙 の平均値 𝟐 𝒙 の標準偏差 = 𝒙 𝟐 の平均値 − 𝒙 の平均値 𝟐 例：練習問題９について 𝑠 2 = − 7 2 =52.6−49=3.6

10 練習問題１０ 以下のテスト A, B, C について、以下の問いに答えよ。 テストA テストＢ テストＣ （１）それぞれの標準偏差を求めよ。
（２）これらのテストについて、標準偏差によって 　　　データの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。

11 練習問題１０(１) どれも平均値は 4.95 点である。 テスト 𝐴, 𝐵, 𝐶 の標準偏差をそれぞれ 𝑠 𝐴 , 𝑠 𝐵 , 𝑠 𝐶 とすると 𝑠 𝐴 = ⋯ − = 30.85− ≒2.5(点) 𝑠 𝐵 = ⋯+ 7 2 − = 25.45− ≒1.0(点) 𝑠 𝐶 = ⋯ − = 28.45− ≒2.0(点)

12 練習問題１０(２) B, C, A の順で散らばりの度合いが大きくなる。
𝑠 𝐴 =2.5（点）, 𝑠 𝐵 =1.0（点）, 𝑠 𝐶 =2.0（点）

13 偏差値 𝒙 の偏差値 = 𝟏𝟎 𝒙−平均値 (標準偏差) +𝟓𝟎 偏差値は、平均値を 50、標準偏差を 10 に調整している。 そのため、 40 ～ 60 が約 68%、30 ～ 70 が約 95%、 20 ～ 80 が約 99.7%、10 ～ 90 が約 99.9 %に収まる。 60 以上 あるいは 40 以下 は全体の %、 70 以上 あるいは 30 以下 は全体の 2.275%、 80 以上 あるいは 20 以下 は全体の約 0.135%である。 例えば、全受験生が100万人いた学力試験で偏差値を求めると、偏差 値80以上となる者は、ほぼ1350人となる。