小林研朝ゼミ 桑名分 第10回(2018/05/22) 運動方程式(F=ma)の例 コリオリ力・三体問題

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1 小林研朝ゼミ 桑名分 第10回(2018/05/22) 運動方程式(F=ma)の例 コリオリ力・三体問題
[参考文献] 河村哲也・桑名杏奈「数値計算入門[C言語版]」 サイエンス社 ISBN

2 運動方程式 ニュートンの力学の第二法則(質量×加速度=力) 一次元:𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =𝐹
一次元:𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =𝐹 二次元: 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑥 , 𝑚 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑦 三次元: 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑥 , 𝑚 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑦 , 𝑚 𝑑 2 𝑧 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑧 前回主張したかったこと: 外力項の有無や、パラメータの違いによって 運動の様子が変わってくる。 ルンゲクッタ法を二段階使って、二階微分方程式を解く。 今日紹介すること: コリオリ力と空気抵抗を受ける質点の運動 三体問題

3 コリオリ力(force de Coriolis)
回転座標系上で移動した際に、移動方向と 垂直な方向に、移動速度に比例した大きさで 受ける慣性力(見かけ上の力)の一種。 転向力(てんこうりょく)ともいう。 1835年にフランスの科学者ガスパール= ギュスターヴ・コリオリが導いた。 二次元の場合: 2𝑚𝜔 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , −2𝑚𝜔 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑚:質点の質量 𝜔:土台の円盤の回転角速度 画像は割愛 Gaspard-Gustave Coriolis 静止円盤上では 投げたボールは まっすぐ相手に届く 回転円盤上では 受ける人が移動するので ボールを取れない 回転円盤上にいる人には ボールが逸れたように 見える

4 コリオリ力(force de Coriolis)
コリオリ力: 2𝑚𝜔 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , −2𝑚𝜔 𝑑𝑥 𝑑𝑡 コリオリ力の大きさは、土台の円盤の回転角速度𝜔に比例する コリオリ力の大きさは、ボールの速度の 𝑦, 𝑥 成分に比例する ボールの 速度 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 に比例 𝑑𝑥 𝑑𝑡 に比例 コリオリ力 𝑥 𝑥

5 空気抵抗 空気抵抗: −𝑎𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , −𝑎𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎:比例定数 速度と重さに比例 力の向きは、速度と逆
空気抵抗: −𝑎𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , −𝑎𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡   𝑎:比例定数 速度と重さに比例 力の向きは、速度と逆 コリオリ力と空気抵抗を合わせると、運動方程式は    𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑥 , 𝑚 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝑦 𝐹 𝑥 =2𝑚𝜔 𝑑𝑦 𝑑𝑡 −𝑎𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹 𝑦 =−2𝑚𝜔 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −𝑎𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝜔=𝑏と置いて整理すると、 𝐹 𝑥 =−𝑚𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑚𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝐹 𝑦 =−𝑚𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑡 −𝑚𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡 運動方程式は   𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =−𝑚𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑚𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , 𝑚 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =−𝑚𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑡 −𝑚𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡

6 ルンゲクッタ法(4系統) 𝑚で割り算。この式をルンゲ・クッタ法で解く    𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =−𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =−𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑡 −𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑢、 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑣とおくと 𝑑𝑢 𝑑𝑡 =−𝑎𝑢+𝑏𝑣, 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =−𝑎𝑣−𝑏𝑢 𝑠 1 = 𝑢 𝑛 𝑞 1 = −𝑎𝑢 𝑛 +𝑏 𝑣 𝑛 𝑝 1 = 𝑣 𝑛 𝑟 1 = −𝑎𝑣 𝑛 −𝑏 𝑢 𝑛 𝑠 2 = 𝑢 𝑛 + 𝑞 1 Δ𝑡 2 𝑞 2 =−𝑎 𝑢 𝑛 + 𝑞 1 Δ𝑡 2 +𝑏 𝑣 𝑛 + 𝑟 1 Δ𝑡 𝑝 2 = 𝑣 𝑛 + 𝑟 1 Δ𝑡 2 𝑟 2 =−𝑎 𝑣 𝑛 + 𝑟 1 Δ𝑡 2 −𝑏 𝑢 𝑛 + 𝑞 1 Δ𝑡 2   𝑠 3 = 𝑢 𝑛 + 𝑞 2 Δ𝑡 2 𝑞 3 =−𝑎 𝑢 𝑛 + 𝑞 2 Δ𝑡 2 +𝑏 𝑣 𝑛 + 𝑟 2 Δ𝑡 𝑝 3 = 𝑣 𝑛 + 𝑟 2 Δ𝑡 2 𝑟 3 =−𝑎 𝑣 𝑛 + 𝑟 2 Δ𝑡 2 −𝑏 𝑢 𝑛 + 𝑞 2 Δ𝑡 2   𝑠 4 = 𝑢 𝑛 + 𝑞 3 Δ𝑡 𝑞 4 =−𝑎 𝑢 𝑛 + 𝑞 3 Δ𝑡 +𝑏 𝑣 𝑛 + 𝑟 3 Δ𝑡 𝑝 4 = 𝑣 𝑛 + 𝑟 4 Δ𝑡 𝑟 4 =−𝑎 𝑣 𝑛 + 𝑟 3 Δ𝑡 −𝑏 𝑢 𝑛 + 𝑞 3 Δ𝑡   𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 + 𝑠 1 +2 𝑠 2 +2 𝑠 3 + 𝑠 4 Δ𝑡 6 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 𝑝 1 +2 𝑝 2 +2 𝑝 3 + 𝑝 4 Δ𝑡 6 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 + 𝑞 1 +2 𝑞 2 +2 𝑞 3 + 𝑞 4 Δ𝑡 6 𝑣 𝑛+1 = 𝑣 𝑛 + 𝑟 1 +2 𝑟 2 +2 𝑟 3 + 𝑟 4 Δ𝑡 6

7 計算結果 初期条件 質点は原点にある(𝑥=0, 𝑦=0) 𝑦方向に1.0の速さで運動している(𝑢=0, 𝑣=1) パラメータ(無次元)
空気抵抗の大きさ:𝑎=0.125 コリオリ力の大きさ:𝑏=2𝜔=0.5 進行方向右向きに曲がる。 徐々にゆっくりになって止まる。

8 計算結果 初期条件 質点は原点にある(𝑥=0, 𝑦=0) 𝑦方向に1.0の速さで運動している(𝑢=0, 𝑣=1) パラメータ(無次元)
空気抵抗の大きさ:𝑎=0.125 コリオリ力の大きさ:𝑏=2𝜔=0.5 進行方向右向きに曲がる。 徐々にゆっくりになって止まる。

9 条件を変えてみる コリオリ力だけ働く・空気抵抗がない場合(a=0) ゆっくりにならない。 進行方向右に曲がり続ける。
空気抵抗がある場合に比べて、動く範囲が大きい。 空気抵抗有:0<x<3, 0<y<2   なし: 0<x<4, -2<y<2

10 条件を変えてみる 空気抵抗だけ働く。コリオリ力がない場合(b=0) 曲がらない。まっすぐ進む。 徐々にゆっくりになり、静止する。

11 サンプルプログラム(colioris.c)
Cygwinを使う場合 コンパイル:gcc colioris.c 実行:./a.exe 「work_colioris_excel.txt」をExcelに貼り付けて 「散布図」を描けば、軌跡が描ける。 Gnuplotで「load 'work_colioris.gp'」とすれば アニメーション「colioris.gif」ができる。 条件を変えると、ボールがアニメーションの枠をはみ出す。 そんなときは、「colioris.c」の下の方にある 「set xrange」 「set yrange」を調整する。 用が済んだらCygwinで「rm work_colioris*」とすれば 大量のデータファイルを一括削除できる。

12 余談:コリオリ力と身近な現象 台風は北半球で反時計回りの渦を巻く。 風が低気圧中心に向かって進む際にコリオリの力を受け 進行方向に対し中心から右にずれた地点に到達するため。 台風を横から見た図 上昇気流ができる 地表面では 低気圧の中心に 向かって風が吹く 上空では 低気圧の中心から 風が吹き出す 画像は割愛 画像は割愛 ←北半球 南半球→

13 余談:コリオリ力と身近な現象 風呂の栓を抜いたときにできる渦(バスタブ渦) 「北半球で反時計回り、南半球で時計回り」 正しい? 正しくない? 「正しくない」とする理由:バスタブ渦のような小さな渦構造に 及ぼすコリオリ力の影響は非常に小さい。 最近の研究 「正しい」 ただし、単純にコリオリ力だけによるものではない。 回転方向は容器の軸対称性や残存渦度に大きく影響を受ける。 それらに細心の注意を払えば、コリオリ力により決定される。

14 三体問題(three-body problem)
例:太陽系のような、恒星と惑星が、万有引力で 相互作用し合う場合の惑星運行の問題。 太陽と地球のような二体問題は厳密に解けるが、 例えば月の運動も考える一般の三体問題以上になると 解析的に解くことはできないとされる。 18世紀にはジョゼフ=ルイ・ラグランジュが研究を深め 19世紀末にアンリ・ポアンカレによって証明された。 画像は割愛 画像は割愛 Giuseppe Luigi Lagrancia Jules-Henri Poincaré

15 三体問題(three-body problem)
物体Pは物体Qから力Fを受ける:𝐅=− 𝐺 𝑚 𝑃 𝑚 𝑄 𝐫 𝑃 − 𝐫 𝑄 𝐫 𝑷 − 𝐫 𝑸 物体Oは物体A, Bに比べて質量が大きく 位置を変化させないとすると、運動方程式は AがOから受ける力 AがBから受ける力 BがOから受ける力 BがAから受ける力 𝑦 物体B 𝑦 𝐵 𝐫 𝑩 𝑦 𝐴 物体A 𝐫 𝑨 𝑥 𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 物体O

16 三体問題(three-body problem)
ルンゲクッタ法は8系統必要。

17 三体問題(three-body problem)
サンプルプログラム:three-body.c 𝐫 𝐴 =(1.0, 0.0) 𝐫 𝐵 =(1.2, 0.0) 𝒗 𝐴 =(0.0, 1.0) 𝒗 𝐵 = 0.0, 𝐺 𝑚𝑜 = 𝐺 𝑚𝐴 = 𝐺 𝑚𝐵 = Δ𝑡=0.001


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