８．数値微分・積分・微分方程式 工学的問題においては 解析的に微分値や積分値を求めたり， 微分方程式を解くことが難しいケースも多い。

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1 ８．数値微分・積分・微分方程式 工学的問題においては 解析的に微分値や積分値を求めたり， 微分方程式を解くことが難しいケースも多い。
このような場合は数値的に解かざるを得ない。

2 ８．１ 数値微分 （１）差分法を用いる 関数 の における微分係数 の定義 ： 刻み幅 差分近似 ［前進差分近似］ ［中心差分近似］
８．１　数値微分 （１）差分法を用いる 関数 の における微分係数 の定義 ： 刻み幅 差分近似 ［前進差分近似］ ［中心差分近似］ ［後退差分近似］

3 （２）差分法の誤差 ①刻み幅が大きいと， 誤差が大きい（打切り誤差）。 ②刻み誤差が小さ過ぎると， 丸め誤差による誤差が大きくなる。

4 ①前進差分法の打切り誤差 前進差分では，以下のテーラ展開から導く を代入して，整理すると。 に比例した打切り誤差

5 ②後退差分法の打切り誤差 後退差分では，以下のテーラ展開から導く を代入して，整理すると。 に比例した打切り誤差

6 ③中心差分法の打切り誤差 後退差分では，以下の２つのテーラ展開から導く を代入して，整理すると。 に比例した打切り誤差

7 誤差の比較（１） 前進差分，後退差分，中心差分をＥｘｃｅｌで式定期

8 前進差分や後退差分に比べ，中心差分の誤差が少ない!!
誤差の比較（２）

9 微分値は，ほとんど中心差分と重なっているが…
誤差の比較（３） 細かくみると 誤差はある…

10 刻み幅が小さくなると誤差が減るが 刻み幅による誤差の比較 小さすぎると丸め誤差が大きくなる 誤差 刻み幅 h

11 ［参考］ 刻み幅による誤差データの生成プログラム（１） Function FX(X) As Single
X2 = X * X: X3 = X2 * X: X4 = X3 * X FX = X4 + X3 + X2 + X + 1 End Function Function DFX(X) As Double X2 = X * X: X3 = X2 * X DFX = 4 * X3 + 3 * X2 + 2 * X + 1 誤差の影響を大きくするために，あえて関数値はSingle， 微分値はDoubleにしてある。 次のページの変数値も同様である。

12 ［参考］ 刻み幅による誤差データの生成プログラム（２） Sub ボタン1_Click()
Dim DF1 As Single: Dim DF2 As Single With Worksheets("Sheet2") h = 0.1 For i = 1 To 100 DF = DFX(1) ‘ 真値 DF1 = (FX(1 + h) - FX(1)) / h ‘ 前進差分 DF2 = (FX(1 + h) - FX(1 - h)) / (2 * h) ‘ 中心差分 G1 = Abs(DF1 - DF) ‘ 誤差の計算 G2 = Abs(DF2 - DF) .Cells(i + 1, 1) = h .Cells(i + 1, 2) = G1 .Cells(i + 1, 3) = G2 h = h / 1.2 Next End With End Sub

13 ＶＢＡによる表現 ①Excelシートの定義
ＥＦＧ列は，２行目以降は空白にして， 差分の結果を入れるセルとする。

14 ＶＢＡによる表現 ②データ宣言とデータ設定
ＶＢＡによる表現　②データ宣言とデータ設定 Private DX As Double Private Y() As Double Private DY() As Double Private N As Double Sub データ設定() With Worksheets("Sheet4") i = ‘ 　入っているデータをカウントする。 Do While .Cells(i, 2) <> "": i = i + 1: Loop N = i - 2 ReDim Y(N), DY(N) DX = .Cells(2, 1) For i = 1 To N Y(i) = .Cells(i + 1, 3) Next End With End Sub

15 ＶＢＡによる表現 ③結果設定とボタンのClickイベントハンドラ
Sub 結果設定(DY, Ist, N, ID) With Worksheets("Sheet4") For i = Ist To N .Cells(i + 1, ID) = DY(i) Next End With End Sub Sub Sheet4_ボタン1_Click() データ設定 前進差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 1, N - 1, 5 後退差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N, 6 中心差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N - 1, 7 Sub 前進差分(DX, Y, DY, N) For i = 1 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i)) / DX Sub 後退差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N DY(i) = (Y(i) - Y(i - 1)) / DX Sub 中心差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i - 1)) / (2 * DX)

16 ＶＢＡによる表現 ④各差分の定義 Sub 前進差分(DX, Y, DY, N) For i = 1 To N - 1
ＶＢＡによる表現　④各差分の定義 Sub 前進差分(DX, Y, DY, N) For i = 1 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i)) / DX Next End Sub Sub 後退差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N DY(i) = (Y(i) - Y(i - 1)) / DX Sub 中心差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i - 1)) / (2 * DX)

17 （３）高次の差分法 をテーラ展開し

18 （３）高次の差分法 を1次の式に代入し したがって， ２次の前進差分

19 （３）高次の差分法 同様に，２次の後退差分，中心差分も求めることができる。 ２次の後退差分 ２次の中心差分

20 前進差分における１次と２次の誤差 同様に，２次の後退差分，中心差分でも確認してみよう。