高柳 匡 東京大学数物連携宇宙研究機構 (IPMU) 湯川記念財団・木村利栄理論物理学賞記念講演　於京都大学基礎物理学研究所 2011年1月19日 量子重力理論とホログラフィー原理 高柳　匡　 東京大学数物連携宇宙研究機構 (IPMU)

内容 ① ホログラフィー原理とは ② ホログラフィーの最も簡単な例： ２次元超弦理論とタキオン場 ①　ホログラフィー原理とは ②　ホログラフィーの最も簡単な例： ２次元超弦理論とタキオン場 ③　ホログラフィーとエンタングルメント：量子情報の幾何学化 ④　結論と今後の展望

① ホログラフィー原理とは 重力理論の量子化（量子重力理論）は、理論物理の最大の 問題の一つ。理論的な興味のみならず、たとえば、宇宙がビッ ①　ホログラフィー原理とは 　 重力理論の量子化（量子重力理論）は、理論物理の最大の 問題の一つ。理論的な興味のみならず、たとえば、宇宙がビッ クバンなどを通してどのように無から生まれたか理解する上で 必要不可欠。 　　量子重力理論の最有力候補 ⇒ 超弦理論 (Superstring) 　　成功例：　ブラックホールのエントロピーの微視的導出 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　[Strominger-Vafa 96’,…] 　この時、超対称性が重要な役割　⇒　静的(Static)　な背景　　　　

しかしながら、現在でも時間に依存する（ダイナミカルな）時空 の超弦理論による記述は、特別な例を除いてよく理解されてい ない。例えば、宇宙創成や、ドジッター時空の量子重力理論が どのようなものか分かっていない。 この理由は、 超弦理論が非摂動的に定式化されていない。 (2) 超弦理論の摂動計算も、曲がった時空では、技術的に困難。 この問題点を大きく改善するアイデアが、ホログラフィー原理で ある。これを用いると、量子重力の計算を我々のよく知っている 量子多体系の計算に置き換えることができると期待される。

ホログラフィー原理とは 重力理論において、多くの物質を十分小さな空間に詰め込んで 行くと、ある質量に達したところで重力崩壊してブラックホール になる。 大量の物質 ブラックホール 地平線 ブラックホールは、その中の状態を外にいる観測者が知ること ができない。光ですら、地平線から外に出ることが不可能。 ブラックホールの内部には隠された情報がある。 ＝ブラックホールのエントロピー

ブラックホールのエントロピーは、Bekenstein-Hawkingの 面積公式で与えられる。（熱力学とのアナロジー） このような考察から、重力理論において、与えられた領域Ａ内の エントロピーの上限が、 と求められる。（∂Aは、Aの境界部分） この不等式をエントロピーバウンドと呼ぶ。（Boussoバウンド）

従って重力理論では、ある領域内のエントロピーは、高々表面積 に比例する。 cf. 場の量子論、もっと一般に量子多体系では、エント 　　　　　　　　　　　ロピーは体積に比例する。 　　　　　　　　重力理論の自由度は、体積ではなく、面積に比例する。　 このようにしてホログラフィー原理が提案された。[‘t Hooft 93’, Susskind 94’] 　　　　　　　　　　　　　　　ホログラフィー原理 　　(d+2)次元の（量子）重力理論　on M ＝ (d+1)次元の非重力理論 （～量子多体系） on ∂M 非摂動的に定義された 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　計算可能な理論　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Boundary Bulk

超弦理論におけるホログラフィー このように、ホログラフィー原理は、量子重力の非摂動的な定 式化を与えると期待される。その具体的な例は、超弦理論の 様々な場合を考察することで得られる。超弦理論においては、 ホログラフィー ＝ 開弦と閉弦の双対性（の極限） open-closed duality と解釈される。 開弦 ⇒ ゲージ理論 （非重力） 閉弦 ⇒ 重力理論

Ｄpブレイン Ｎ枚 ＝(p+1)次元の とても重い板 閉弦 開弦 (p+1)次元のSU(N)ゲージ理論 = 曲がった空間における 超弦理論 　とても重い板 閉弦 ブレインを重力理論の背景 と思う＝時空が曲がる さらに、ブレイン近傍を拡大 ブレイン上の 低エネルギー有効理論 開弦 (p+1)次元のSU(N)ゲージ理論 = 曲がった空間における 超弦理論

② ホログラフィーの最も簡単な例： ２次元超弦理論 ②　ホログラフィーの最も簡単な例： ２次元超弦理論 ホログラフィーの成り立つ最も簡単な例は、時空の次元が２次 元の超弦理論である。２次元では、重力がダイナミカルではな いが、他にスカラー場なども付随するので、全体としてダイナミ クスを持った系になる。 この理論は、２次元Type 0超弦理論と呼ばれ、非摂動的に安 定で、厳密に解けるダイナミカルな量子重力理論として貴重な 模型である。このホログラフィック双対は、行列量子力学で与え られる。 [Toumbas-高柳 03’, Douglas-Klebanov-Kutasov-Maldacena-Martinec-Seiberg 03’]

２次元Type 0超弦理論 通常、超弦理論の時空の次元（臨界次元）は、１０次元である。 しかし、ディラトンを空間座標に依存させる（linear dilaton)と臨 界次元を変わる。非臨界弦理論とも呼ぶ。[Polyakov81’…] 世界面の超対称性N=1を仮定する（ String とも呼ばれる)。 弦の世界面上の場： 時間方向 空間方向 （リュービル理論）

そこでリュービルポテンシャルを導入して次の世界面の作用を 考える。 そこでリュービルポテンシャルを導入して次の世界面の作用を 考える。 ポテンシャルの壁 波は反射される φ 弱結合 強結合

GSO projectionの取り方で、Type 0AとType0Bの二種類の超弦 理論が定義できる。それぞれのmassless場は以下の通り。 Type 0A 理論 NSNS セクター： ⇒ massless スカラー場 RRセクター ： ⇒ ２種類のRRベクトル場 （ダイナミカルな自由度なし） Type 0B 理論 NSNS セクター： ⇒ massless スカラー場 RRセクター ： ⇒ RR スカラー場 両者は、T-dualityで関係付き、以下では主に0B理論を考える。

ホログラフィック双対：Type0B行列模型 (1+1)次元のType0超弦理論＝(0+1)次元の‘ゲージ理論’ （行列模型）

ゲージ対称性を用いて、Ｍを対角化する。 この時、Ｎ粒子の自由なフェルミオン系と等価になる。 従って、非摂動的に厳密に解くことができる。

自由な多体フェルミオン系なので、フェルミ面ができる。 フェルミ面上の波の散乱振幅＝２次元超弦理論のＳ行列 が確かめられる。 スカラー場＝ フェルミ面上の波 フェルミ面 cf. ２次元Bosonic弦理論 ⇒ 非摂動的に不安定

タイプゼロ行列模型 ＝ Ｎ個のD0ブレイン と解釈できる！ ホログラフィーとタキオン場 では、タイプゼロ行列模型は、どのように超弦理論のホログラフィー から理解できるだろうか？ 　タイプゼロ行列模型　＝　Ｎ個のD0ブレイン と解釈できる！ 一般に、超弦理論には通常の安定なＤブレインのほかに 不安定なＤブレイン（brane-antibraneとnon-BPS brane)が存在する。 ２次元のType0B超弦理論のD0ブレインも、不安定ブレインである。 そのようなＤブレイン上には、タキオン場Ｔが存在し、有効作用には、 タキオンポテンシャルU(T)が存在する。 [bosonic 2D string: Mcgreevy-Verlinde 03’]　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒Type 0 行列模型

タキオン凝縮 不安定なブレイン タキオン凝縮による崩壊 （Rolling Tachyon) ブレインが消滅 して真空になる 通常の１０次元の超弦理論でも不安定なブレインは存在する。その場合のタ キオン凝縮は、時間に依存する背景で実際に解析できる系として貴重であ り、宇宙論(インフレーション）への応用も行われてきた。 タキオン場有効作用の計算：　Sen-Zwiebach 99’ (Cubic SFT) Kutasov-Marino-Moore 00’ (non-BPS D-brane BSFT) 寺嶋-上杉-高柳 00’ (brane-antibrane BSFT) Rolling Tachyon： Sen 02’ (Open String) Strominger-高柳 03’ (Closed String) 不安定なブレイン タキオン凝縮による崩壊 （Rolling Tachyon) ブレインが消滅 して真空になる

③ ホログラフィーとエンタングルメント：量子情報の幾何学化 ③　ホログラフィーとエンタングルメント：量子情報の幾何学化 　　　　　　　　　　　 ２次元量子重力のホログラフィーは、厳密に解析できるので理 想的だが、トイ・モデルである。現実的には、より高次元の ホログラフィーが必要。 その代表的な例が、超弦理論におけるAdS/CFT対応である。 Type IIB超弦理論におけるD3ブレインを考える。[Maldacena 97’] N D3 開弦 ４次元　N=4 超対称性ゲージ理論 ⇒ 共形場理論(CFT) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　等価 閉弦　　　　Type IIB 超弦理論　on

AdS/CFT (d+2)次元反ドジッター(AdS) (d+1)次元空間上の 空間上の（量子）重力理論 共形場理論(CFT) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ラージN ゲージ理論） AdS空間:　 AdS空間 境界 UV　cutoff 　　z>a 長さのスケール UV ⇒ (繰りこみ群) ⇒ IR

ホログラフィーで最も重要な点は、二つの等価の理論で、次元 が変わることである。そこで次のような疑問が生じる。 Question (d+1)次元の共形場理論のある領域Ａの情報は、 (d+2)次元のAdS重力理論のどの部分に対応するのか？ A

議論を明確にするために、次のような量を考える。 空間をAとBに分けたとする。そのとき、観測者は、Bに関する情 報を得ることができないとする。その場合に、生じる情報の不確 定性は、エントロピーとして見積もれる。 このようなエントロピーは、量子多体系において、 エンタングルメント・エントロピーと呼ばれる。 B A CFTの時間一定面

簡単な例 : スピン1/2を持つ二つの粒子系（2 qubit) Not Entangled ? ? Entangled ?

エンタングルメント・エントロピーの面積則 場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の 面積則が知られている（aは正規化のための格子間隔）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’] これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重力理論的な解釈が 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あるのでは。　　　　　　　　　　　　　　

ホログラフィック・エンタングルメントエントロピー [笠-高柳 06’] 　　漸近的にAdSd+2に近づく空間　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　ＵＶ固定点を持つd+1次元の場の理論　 この場合には、　　　　　　　　　　　 ここで、 は、d+2次元時空中のd次元の最小曲面 で、境界が部分系Aの境界と一致するもの。

直感的解釈 　　　　　があたかもブラックホールのホライズンであるかのように振る舞い、Ｂの情報を中に隠している。

コメント 幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると とても容易である。 なぜならば、AdSの計量は、境界付近（紫外領域）で発散する からである。

d+2次元のAdS空間の場合に、ホログラフィックな公式を用いると、 次の2つの場合にエントロピーを解析的に計算できる。 具体的計算 d+2次元のAdS空間の場合に、ホログラフィックな公式を用いると、 次の2つの場合にエントロピーを解析的に計算できる。 　(a) 帯状 　　　　(b) 球殻 A B A A B

球殻の場合 [Sinha-Myers 10’] [Theisen et.al. 09’, Casini et.al., Solodukhin 10’]

閉じ込め・非閉じ込め相転移への応用 IRで閉じ込めが起こるゲージ理論の重力双対を考える。その 一つ良い例は、AdSソリトンと呼ばれる背景であり、PureなSU(N)ゲージ 理論と（近似的に）AdS/CFTによって双対になることが知られている。 その背景でエンタングルメント・エントロピーを考えてみる。[Witten 98’]　　　　　　　　　　　　　　　　　 AdS Soliton 最小曲面 Cap off: Mass gap

２種類の最小曲面が競合するので相転移が起こる。 [西岡-高柳 06’, Klebanov-Kutasov-Murugan 07’] r=r0 Sfinite Disconnected Surfaces 閉じ込め・非閉じ込め 相転移 Minimal Surface

格子ゲージ理論の結果（４次元ＹＭ） [SU(3): Nakagawa-Nakamura-Motoki-Zakharov 0911.2596] 相転移 [SU(2): Buividovich-Polikarpov 0802.4247] 相転移 [See for other calculations of EE in lattice gauge theory: Velytsky 0801.4111, 0809.4502; Buividovich-Polikarpov 0806.3376, 0811.3824]

SA BH t 最近の話題：強結合系の熱化現象への応用 v Linear growth 時間発展 量子多体系を励起した場合に起こる熱化現象は、相互作用が重要なので、 直接的な解析は困難。しかしAdS/CFT対応を用いると、ブラックホールの生 成過程として古典的に記述することができる。 エンタングルメント・エントロピー ＝ 　粗視化したエントロピー 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝　生成されたブラックホールの大きさ [宇賀神-高柳 10’] Vaidya時空を用いた解析 m(v) SA v Linear growth 時間発展 BH t* t [Arrastia-Aparicio-Lopez 10’ (also Albash-Johnson 10’, de Boer et.al 10’)]

実空間繰りこみ群(Entanglement Renormalization)とAdS/CFT ［Vidal et. al 実空間繰りこみ群(Entanglement Renormalization)とAdS/CFT ［Vidal et.al. 06’ Swingle 09’] 一次元空間 エンタングルメント・ エントロピーの計算 粗視化

④ 結論と今後の展望 ホログラフィー原理は、現在でも理解されていないの量子重力の問 題を解決する上で、最も重要な鍵となると期待される。 ④　結論と今後の展望 ホログラフィー原理は、現在でも理解されていないの量子重力の問 　題を解決する上で、最も重要な鍵となると期待される。 ホログラフィーの最もシンプルな例が、２次元Type0超弦理論の行列模型による記述である。低次元であるが、非摂動的に安定で厳密に解ける貴重な模型である。量子重力のダイナミクスも計算されてきた。 ２次元超弦理論では、ダイナミカルに系を励起してもブラックホールは生成されない。しかし、２次元超重力理論の近似では生成する 　　ことが知られている[CGHS BH　92’]。 　　⇒行列量子力学が可解系だからか？ 弦理論の補正がとても大きいので超重力理論を信頼できない。 　　 [最近の 3 dim. SL(n) Chern-Simons + matter 　⇔　2D W-minimal model ではどう か？ Gaberdiel-Gopakumar 10’]　　　　　　

エンタングルメント・エントロピー(EE)は、AdS/CFTのような高次元のホログラフィーにおいて、量子多体系の量子情報がどのように重力背景に蓄積されているか明らかにする。 　　例えば、平坦な時空の重力に関してホログラフィーが成り立つと 　すると、それと双対な非重力理論は、非局所的な場の理論になり、 　基底状態が強くエンタングルしていることが分かる。 [李-高柳 10’]

今後の展望 (1) ドジッター時空や初期宇宙のホログラフィー ⇒エンタングルメント・エントロピーでプローブ？ 行列量子力学におけるアナロジー？ (2)ブラックホールの情報問題の解決 ⇒ブラックホールと輻射の量子エンタングルメント？ (3)AdS/CFT対応の物性物理への応用 ⇒ランダム系の記述？

　　　ご清聴どうもありがとうございました。

エンタングルメント・エントロピーの基本的性質 Aと Bの間に相互作用がなく独立 全体系が純粋状態の場合 　　　　熱力学エントロピーと違って示量的ではない！ (iii)　有限温度では、一般に　　　　　　　　である。 　　　特に高温極限では、

（iｖ) 強劣加法性（Strong Subadditivity) 　[Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book 00’] ある種の凸性(Concavity)を表す B A C

[07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] コメント(3) 強劣加法性のAdS/CFTによる証明 　　　　　　　　　　　　　　　[07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] A B C = A B C = この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。 強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。