ベースバンドデジタル変調 Baseband Digital Modulation 加法性白色ガウス雑音(AWGN)伝送路を通過してデジタル情報を伝送するベースバンドデジタル変復調 Baseband digital modulation and demodulation for transmitting digital information thｒough an Additive White Gaussian Noise channel 2値変調から多値変調 Binary signal transmission and Multiamplitude signal transmission 最適受信機 Optimium Receiver 平均誤り率によって性能を評価 Performance Evaluation by SER or BER

5.1 2値信号の伝送 Binary Signal Transmission 0と1の系列からなる2進データが2つの波形s0(t), s1(t)によって伝送される。 Binary data of a sequence of 0s and 1s are transmitted by 2 signal wave form s0(t), s1(t) 2進データの各ビットは，下の規則に従って信号波に割り当てられる。 Each bit is mapped into a corresponding signal waveform according to the rule: データレート：Rビット/秒 data rate: R bit/sec ビット時間間隔：Tb=1/R Bit time interval データビット0と1は同じ確率(0.5)で発生し，相互に独立であると仮定する。 Assume that data bit 0 and 1 are equally probable and are mutually statiscally independent. 伝送路では，電力スペクトル密度N0/(2W)/Hzを持つ白色ガウス過程の関数n(t)で表される加法性雑音が信号に加わる(加法性白色ガウス雑音(AWGN)伝送路)。 Additive white Gaussian noise n(t) with the power spectral density with N0/(2W)/Hz is added to the signal when they pass through the channel. 伝送路通過後の受信信号 The received signal waveform is expressed as i=1,0 0≤t≤Tb (5.1.1)

5.1.1 AWGN伝送路最適受信機 Optimum Receiver for the AWGN Channel 受信機の役割：0≤t≤Tbの間受信信号r(t)を観測した後，0と1のどちらが送られているかを決定する。 Task of the Receiver: Determine whether 0 or 1 after observing the received signal in the interval 0≤t≤Tb 受信機は誤り率が最小になるように設計される。 Receiver is designed to minimize the probability of error AWGN伝送路に使用する最適受信機は，図6.1に示すように，2つのブロック(相関器もしくはマッチドフィルタ，判定器）からなっている。 Optimum receiver for the AWGN channel consists of a signal correlator or a matched filter and a detector detector Output data

5.1.2 相関器 Signal Correlator (5.1.2) 0≤t≤Tb (5.1.3) 相関器は予め用意された2つの信号波形s0(t), s1(t)と受信信号r(t)との相互相関を取る。 Signal correlator cross correlates the received signal r(t) with the two possible transmitted signals s0(t), s1(t). 相関器は0≤t≤Tbで2つの出力を計算 The signal correlator computes two signal outputs in the interval 0≤t≤Tb (5.1.2) t=T0で2つの出力を標本化して標本出力を判定器に出力。 The signal correlator samples the two outputs at t=T0, and feeds them to the detector 図6.2に示す信号波形s0(t), s1(t)を仮定する。 Suppose the waveform s0(t)　and s1(t) s0(t)が送信されたと仮定すると，受信 信号は Let s0 be the transmitted signal, the received signal is 0≤t≤Tb (5.1.3)

信号r(t)が図6.1の2つの相関器に入力される時，標本時間t=Tbでの出力r0, r1は， When the signal r(t) is processed by the 2 signal correlators, the output r0, r1 at the sampling instant t=Tb (5.1.4) n0, n1は相関器の出力での雑音成分。 n0, n1は are the noise components at the signal correlator output (5.1.5) E=A2Tbは信号s0(t), s1(t)のエネルギー。 2つの信号は直交。 E=A2Tb is the energy of the signal s0(t) and s1(t). The two signal waveform are orthogonal (5.1.6) s1(t)が送信された時，受信信号は When the s1(t) s the transmitted signal, the received signal is 0≤t≤Tb (5.1.7) 相関器の出力は The signal correlator outputs are (5.1.8)

Output of correlator 0 Output of correlator 1 Output of correlator 0 Output of correlator 1 S0(t) was transmitted S1(t) was transmitted Noise-free correlator output 図6.3は2s0(t)が送信された時とs1(t)が送信された時の，0≤t≤Tbでの雑音がない場合の相関器出力。 Fig.6.3 illustrates the 2 noise free correlator outputs in the interval of 0≤t≤Tb n(t)が電力スペクトルN0/2を持つ白色ガウス過程の標本関数なので，雑音成分n0, n1の中央値は0 the noise component n0 and n1 are Gaussian with 0 means since n(t) is a sample function of a white Gaussian process with power spectrum N0/2 (5.1.9) 雑音成分n0, n1の分散は variance (i=1, 2) are

i=0,1 (5.1.10) (5.1.11) s0(t)が送信された時，r0, r1の確率密度関数は When s0(t) is transmitted the probability density function of r0, r1 (5.1.11) p(r0|0)とp(r1|0)の確率密度関数 2 probability density functions denoted p(r0|0)とp(r1|0) as probability density functions p(r0|0)とp(r1|0) when s0(t) is transmitted s1(t)が送信された時，r0は分散σ2を持つ中央値0のガウス分布，r1は分散σ2を中央値Eのガウス分布となる。 r0 is zero-mean Gaussian with variance σ2，r1is Gaussian with mean value E and variance σ2when s1(t) is transmitted

5.1.3 マッチドフィルタ Matched filter 信号波形s(t)に使用するマッチドフィルタのインパルス応答 A filter that is matched to the signal waveform s(t) where 0≤t≤Tb has an impulse response (5.1.12) 入力信号がs(t)の時，マッチドフィルタの出力波形y(t)は畳み込み積分で表される。 Signal waveform at the output of the matched filter when the input waveform is s(t) is given by the convolution integral (5.1.13) 式(5.1.13) のh(t-τ)をs(t)に置き換える Substitute in (5.1.13) for h(t-τ) from 5.1.13 (5.1.14) t=Tbで標本化 Sample y(t) at t=Tb (5.1.15) Eは信号s(t)のエネルギー。 E is the energy of the signal s(t) t=Tbで標本化したマッチドフィルタ出力は相関器の出力と同じ。 The matched filter output at the sampling instant t=Tb is identical to the output of the signal correlator.

図6.2の2つの信号をマッチドフィルタを利用して復調する。 Consider the use of matched filter for the demodulation of the two signal waveform shown in Fig. 6.2 2つのマッチドフィルタのインパルス応答は図6.5 Impulse response of the two matched filter is shown in Fig 6.5 (5.1.16) s0(t)が送信されたとする。Suppose s0(t) is transmitted 受信信号r(t)=s0(t)+n(t)が2つのマッチドフィルタを通過する。 The received signal r(t) is passed through the 2 matched filters 信号s0(t)に対応するインパルス応答h0(t)をもつフィルタの応答が：図6.6(a) The response of the filter with h0(t) to the s0(t) is illustrated in Fig 6.6(a) 信号s0(t)に対応するインパルス応答h1(t)をもつフィルタの応答：図6.6(b)

(5.1.17) 標本時間t=Tbでインパルス応答h0(t)とh1(t)を持つマッチドフィルタの出力は The response of the filter with h1(t) to the s0(t) is illustrated in Fig 6.6(b) 標本時間t=Tbでインパルス応答h0(t)とh1(t)を持つマッチドフィルタの出力は At the sampling instant t=Tb, the outputs of the 2 matched filter with impulse response h0(t) and h1(t) (5.1.17) t=Tbで標本化した信号相関器出力と同じ These outputs are identical to the outputs obtained from sampling the signal correlator outputs at t=Tb.

5.1.4　判定器: Detector 判定器は相関器またはマッチドフィルタ出力r0とr1を観測し，送信された信号が，0と1いずれかに相当するかを決定。 The detector observes the correlator or matched filter outputs r0 and r1 and decides whether the transmitted signal waveform is s0(t) or s1(t). 最適な判定器は誤り率を最小にするものとして定義される。 Optimum receiver is defined as the detector that minimizes the probability of error 2つの信号は同じ確率，エネルギーを持つと仮定。 2 signals are equally probable and have equal energies. 最適な判定器はr0とr1を比較し,r0>r1のとき0，r0<r1のとき1が送られたと決定。 The optimum detector compares r0 and r1. Then, it decide that 0 was transmitted when r0>r1 and that 1 was transmitted when r0<r1 s0(t)が送信信号のとき，誤り率は When s0(t) is the transmitted signal waveform, the probability of error is (5.1.18) n0とn1が中央値0のガウス乱数なので，その差x=n1-n0も中央値0のガウス分布。差xの分散は Since n0 and n1 are 0 mean Gaussian random variables, the difference x=n1-n0 is also 0 mean Gaussian. The variance of the random variable s is

(5.1.19) (5.1.20) (5.1.21) (5.1.22) 誤り率は The probability of error is 変数変換 Transform variable 積分範囲は Integral range E/N0は信号対雑音比（SNR）と呼ばれる。 E/N0 is called the signal to noise ratio データ系列にある0と1は同じ確率で発生するので，平均誤り率は式(5.1.22)で与えられる。 The probability of error when s1(t) is transmitted is identical to that obtained when s0(t) is transmitted because data bit 0 and 1 are equally probable

例5-1　2値直交信号の誤り率 Problem 5-1 Binary detection 2値直交信号の誤り率をSNRの関数としプロットせよ。SNRは対数スケール10log10E/N0で表示せよ。 Show the relationship between probability of error and SNR for binary detection. Use 10log10E/N0 for SNR 誤差補関数(MATLABの組み込み関数) complementary error function can be used in MATLA code

5.1.5 2値通信システムのモンテカルロシミュレーション Monte Carlo simulation of a binary communication system Uniform random number generator Gaussian random number generator detector compare Error counter Binary data source Gaussian random number generator 判定器への入力r0とr1を発生する Generate the random variables r0 and r1 同じ確率で独立の0と1の2値系列を発生(範囲(0,1)の一様乱数を発生し，発生した数が(0,0.5)にあれば0，そうでなければ1とする。) Generate a binary sequence that occur with equal probability and are mutually statistically independent. Use random number generator with range (0,1). If the number generated is in the range (0,0.5), the binary source output is 0. 0が発生されれば，相関器出力は If a 0 is generated, then r0=E+n0, r1=n1 1が発生されれば if a 1 is generated, r0= n0, r1= E+n1

2. 加法性雑音成分n0, n1の発生 Generate additive noise n0 and n1. 　中央値は0で分散はσ2＝EN0/2 Their means are 0 and their variance is EN0/2 　信号のエネルギーを1に規格化してσ2を変化させる Normalize the signal energy E to 1 and vary σ2 in place of SNR 3．判定器の出力 : r0>r1のとき0，r0<r1のとき1 Detector outputs 0 in case of r0>r1 or 1 in case of r0<r1 ４．エラーカウント Count error 　判定器出力と送信系列を比較 The detector output is compared with the binary transmitted sequence SNRを変えN=10000ビット送信したシミュレーション結果 Results of the simulation for transmission of N=10000 bit at several different value of SNR. シミュレーション結果と式(5.1.22)で与えられるPeの理論値が一致 Simulation results agree with theoretical value Pe given by 5.1.22 N=10000データビットのシミュレーションはPe=10-3までの誤り率を推定可能 N=10000 data bit allow us to estimate the error probability reliably down to about 10-3

Antipodal signals for binary signal transmission 5.1.6　アンチポーダル信号による2値信号伝送 Antipodal signals for binary signal transmission アンチポーダル信号： 1つの信号が他方の負となる信号 Antipodal signal: one signal waveform is negative of the other Matched filter detector Output decision detector Output decision correlator アンチポーダル信号の最適受信機 Optimum receiver for antipodal receiver

2値情報を送るためs0(t)=s(t)とs1(t)=-s(t)を使う。 To transmit binary information, we use waveform s0(t)=s(t) and s1(t)=-s(t) s(t)はエネルギーEの任意の波形である。 s(t) is an arbitrary waveform having energy E AWGNチャネルからの受信信号は次のように表される。 The received waveform from AWGN channel is expressed by (5.1.23) s(t)が送信されたときの受信信号　When s(t) is transmitted, the received signal is (5.1.24) 標本時間t=Tbでの相関器またはマッチドフィルタの出力 Output of the correlator or matched filter at sampling instant t=Tb (5.1.25) Eは信号のエネルギー，nは加法性雑音成分 E is the signal energy n is the additive noise component (5.1.26) 加法性雑音は中央値が0：E(n)=0である。分散は The additive noise process n(t) is zero mean, E(n)=0, The variance of the noise component (5.1.27)

(5.1.28) (5.1.29) (5.1.30) s(t)が送信されたときのrの確率密度関数 Probability density function r when s(t) is transmitted (5.1.28) -s(t)が送信されたときの判定器への入力 Input to the detector when –s(t) is transmitted (5.1.29) rの確率密度関数 Probability density function (5.1.30) アンチポーダル信号 antipodal signal　　　　　　　直交信号 orthogonal signal 最適な判定器：rと0スレショルドを比較する。 r＞0ならs(t)、r＜0なら‐s(t)が送信されたと決定。 Optimum detector: compare r with threshold 0 If r>0, s(t) was transmitted, If r<0, -s(t) was transmitted

(5.1.31) 判定誤りの確率 Probability of a detector error s(t)が送信された時の誤り率：r＜0となる確率。-s(t)を送信しても同じ。 The probability of error: probability that r<0, Similar results incase of –s(t) 2つの信号が発生する確率が同じなら，平均誤り率は When 2 signal waveforms are equally probable, the average probability of error (5.1.31) 変数変換 Transform variable アンチポーダル信号の誤り率：同じ送信電力で直交信号より低い。 For the same transmitted energy antipodal signal results in better performance 　アンチポーダル信号は，直交信号の半分の送信エネルギーで同じ性能が得られる。 Antipodal signal yield the same performance as orthogonal signals by one half of the transmitted energy of the orthogonal signals

On/Off signals for binary signal transmission 受信信号 The received signal waveform (5.1.32) 最適な受信機：相関器またはs(t)と同じマッチドフィルタで構成。 その出力はt＝Tbで標本化される。 Optimum receiver consists of a correlator or matched filter matched to s(t). The output is sampled at t=Tb. 判定器：予め定められたスレショルドαと標本化出力を比較する。 Detector compare the sampled output to the threshold α r＞ αなら１, r＜ αなら１と判定 If r＞ α, a 1 is declared to have been transmitted, otherwise 0 is declared. 判定器入力 Input to the detector (5.1.33) Eは信号のエネルギー， nは中央値0分散σ2＝EN0/2のガウス乱数 n is zero mean Gaussian random variable with variance σ2＝EN0/2 rの確率密度関数 The probability density function for random variable r (5.1.34)

0が送信されたとき誤り率 The probability of error when a 0 is transmitted (5.1.35) 1が送信されたとき誤り率 The probability of error when a 1 is transmitted (5.1.36) 2進情報ビットが同じ確率を持つとすれば，平均誤り率は Assume that the binary information bits are equally probable. The average probability of error (5.1.37) 平均誤り率を最小にするスレショルドα Optimum threshold (5.1.38) 誤り率は Probability of error

Constellation of the binary signal ONOFF信号の誤り率性能： アンチポーダル信号より6dB，直交信号より3dB悪い。 ONOFF信号の平均送信エネルギー： アンチポーダル信号や直交信号より3dB低い。 Error rate performance with on off signal: 6dB worse than with antipodal signals 3dB worse than with orthogonal signal The averaging transmitted energy is 3dB less than for antipodal and orthogonal signal. 5.1.8　2値信号の信号コンスタレーション Constellation of the binary signal アンチポーダル，ONOFF，直交信号は，信号空間の点で表現できる Map antipodal, ON/OFF, and orthogonal binary signal on the complex plane (a)Antipodal binary signal (b)ON/OFF binary signal (c )orthogonal binary signal 上の2値信号表示は信号のコンスタレーションと呼ばれる。 These expressions are called by constellation of the modulated signal

Influence on performance of the binary signal transmission 2値通信システムへの雑音の影響 Influence on performance of the binary signal transmission 2値直交信号のコンスタレーション Constellation of the orthogonal binary signal σ=0.1　　　　　　　　　　　 　　σ=0.3　　　　　　　　　　　　　　σ=0.5

直交信号 orthogonal アンチポーダル信号 antipodal 演習1：モンテカルロシミュレーションを使って2値アンチポーダル通信システムの誤り率を推定せよ。シミュレーションモデルは下に示される。式(5.1.31)で与えられるPeの理論値も一緒にプロットせよ。 Problem1: Perform a Monte Calro simulation of the antipodal binary transmission. Block diagram of the system is shown in below. Also. Show the probability of symbol error by 5.1.31. Uniform random number generator Gaussian random number generator Binary data source detector Error counter compare 直交信号 orthogonal　　　　　　　　　　　　アンチポーダル信号 antipodal

getf('C:\work\chap6\mont_2ort.sci') // モンテカルロシミュレーション snr1=0:1:12; // バイナリ直交信号の誤り率 getf('C:\work\chap6\mont_2ort.sci') // モンテカルロシミュレーション snr1=0:1:12; for i=1:length(snr1), sim_err(i)=mont_2ort(snr1(i)); end // 理論的な誤り率 snr2=0:0.1:12; for i=1:length(snr2), a=snr2(i)/10; snr_linear=10^(a); the_err(i)=(1/2)*erfc(sqrt(snr_linear)/sqrt(2)); end; scf() plot2d(snr1,sim_err,logflag="nl",style=-2) plot2d(snr2,the_err,logflag="nl") title('error characteristics binary orthogonal modelation') xlabel('SNR(dB)') ylabel('BER') legend('monte carlo','theory'); function p=mont_2ort(snr) getf('C:\work\chap6\gn1.sci') E=1; snr_linear=10^(snr/10); sig=E/sqrt(2*snr_linear); // 雑音の分散 N=10000; // 発生データ数 // ランダムな10系列の生成 for i=1:N, temp=rand(); if (temp<0.5), d(i)=0; else d(i)=1; end end; // detection, and probability of error calculation num_err=0; // 誤りの数をリセット for i=1:N // マッチドフィルタの出力 if (d(i)==0), r0=E+gn1(sig); r1=gn1(sig); r0=gn1(sig); r1=E+gn1(sig); // 判定 if (r0>r1), dd=0; dd=1; // 誤りのチェック if (dd~=d(i)), num_err=num_err+1; p=num_err/N; // 誤り率 function x=gn1(sgma) u=rand(); z=sgma*(sqrt(2*log(1/(1-u)))); x=z*cos(2*%pi*u);