公共経営 「シミュレーション」 森戸担当分 第２回 公共経営 「シミュレーション」 　森戸担当分　第２回　 2005/12/09 森戸　晋

前回のキーワード 数理計画法（数理計画問題）、変数、制約条件、目的関数（評価関数） 線形関数とはなにか 定式化 線形計画問題の定式化 EXCELソルバーによる求解 最適解、最適（目的関数）値、限界コスト、潜在コスト

公共経営 「シミュレーション」 第２回 内容 第1回宿題解説 定式化例： 鉄鉱石配合、農場経営問題 「目標計画」 家具の生産計画 公共経営　「シミュレーション」 第２回　内容 第1回宿題解説 家具の生産計画 Red Brand Canners 定式化例：　鉄鉱石配合、農場経営問題 「目標計画」

　 「家具の生産計画」（宿題１．１） 解答例

家具の生産計画： 問題の提示 a)切断時間にはどれぐらいの余裕（スラック）があるか。 家具の生産計画：　問題の提示 a)切断時間にはどれぐらいの余裕（スラック）があるか。 b)製品Aを生産するようになるためには、製品Aの利益がいくらになる必要があるか。 c)製品B、１台当たりの利益が＄１００に落ちたときの最大総利益はいくらになるか。 d)外部から研磨機が１時間当たり＄２０で借りられるとしたとき、研磨機を借りるのがよいか。 e)無理に製品Cを作ろうとした場合、どんなことが言えるか。 f)仕上げ工程の生産能力を１００時間追加したときに、最大利益はどうなるといえるか。

家具の生産計画：　ソルバー結果

家具の生産計画：　質問ａ） a)切断時間にはどれぐらいの余裕（＝条件との差＝スラック）があるか。：　切断工程の生産能力に60時間の余裕（余り）があることを示す。（余らせているのは、他工程の生産能力が先にネックになっているから）

家具の生産計画：　質問ｂ） b)製品Aを生産するようになるためには、製品Aの利益がいくらになる必要があるか。：　製品Aの限界コストが10なので、1台当たりの利益があと10ドル増え、100ドル以上にならないといけない。

家具の生産計画：　質問ｃ） c)製品B、１台当たりの利益が$100に落ちたときの最大総利益はいくらになるか。：　製品Bの「目的セル係数」160の許容内減少($80)の範囲内なので、最適解は変わらず、$60*55＝$3,300の減収となり、最適値は$15,500となる。

家具の生産計画：　質問ｄ） d)外部から研磨機が１時間当たり$20で借りられるとしたとき、研磨機を借りるのがよいか。：　研磨機の生産時間の潜在価格(最適値の改善率）が$15/時間であるので、1時間当たり$20の賃貸料に見合わない

家具の生産計画：　質問ｅ） e)無理に製品Cを作ろうとした場合、どんなことが言えるか。：　製品Cの限界コストが$130なので、製品Cを作ろうとしたとき、1単位当たり$130の割合で利益が減少する。（製品Cの単位当たり利益が$170以上にならない限り、製品Cを作るのは得策ではない）

家具の生産計画：　質問ｆ） f)仕上げ工程の生産能力を100時間追加したときに、最大利益はどうなるといえるか。：　仕上げ時間の潜在価格($12.5）とその許容内増加(96時間）から、少なくとも$12.5*96＝$1,200増加する。96時間以上の部分については、この出力からは何とも言えない。

「最適（目的関数）値」関数 家具の生産計画問題の仕上げ工程の能力を例に 　（問題の）他の条件が変わらないとしたときに、○○（例：仕上げ工程）リソースが変化したときの最適（目的関数）値の変化を示したグラフ 最適値 20000 18800 12.5 14400 50 288 640 736 仕上げ工程の生産能力

鉄鉱石配合問題（Blending Problem) ４鉱山から鉄鉱石を購入し、配合して使用 配合されたものは、一定の品質基準を満たす必要あり（ここでは、元素A,B,C） 最小費用の配合割合を決めたい（具体的に「何ton必要」という情報はない） この種の配合問題は、いろいろなシナリオでしょっちゅう発生する（dog foodの配合、農薬の配合、金属の配合、．．．）

鉄鉱石配合 問題データ 鉱山 必要 元素 １ ２ ３ ４ 最小量 A 10 3 8 2 5 B 90 150 75 175 100 鉄鉱石配合　問題データ 　　　　　　　　　　　鉱山　　　　　　　　　　必要 元素　　　１　　　 ２　　 　３　　　 ４　 最小量 　A 10 3 8 2　 5　 　B 90 150 75 175 100 　C 45 25 20 37 30 コスト 800 400 600 500 (＄／トン)

鉄鉱石配合問題のLP定式化 変数： Ｔｉ＝鉱山ｉの配合比率 （≧0） 目的関数：最小化 トン当たりの費用 変数：　Ｔｉ＝鉱山ｉの配合比率 （≧0） 目的関数：最小化　　トン当たりの費用 制約条件：各元素(A-C)の品質基準満足 　　　　　　　配合比率の合計は1 Min ｚ＝800T1＋400T2＋600T3＋500T4 (費用) s.t. 10T1＋ 3T2 ＋ 8T3＋ 2T4≧ 5　(元素A) 　　90T1＋150T2＋75T3＋175T4≧100 (元素B) 45T1＋ 25T2＋20T3＋ 37T4≧ 30　(元素C) T1＋ T2＋ T3＋ T4＝ 1 (合計1) 　　　 T1，　　 T2， T3， T4 ≧ 0(非負条件)

農場経営（Buster Ｓｏｄ） 問題 灌漑設備付1,200acresの農場の年間計画 wheat, alfalfa, beefの生産 2,000 acre feet（水量の単位）の用水割当 beef($600/t) wheat($1.60/bushel; 50 bushel/acre) alfalfa(sell $34/t, buy $36/t; 3t/acre) 「技術的」条件（問題文中の表） 最大利益（または、最小費用）の計画立案

農場経営問題 「技術的」データ 農場経営（Buster Sod）問題の技術的条件 労働・機械 水 土地 alfalfa 農場経営問題　「技術的」データ 農場経営（Buster Sod）問題の技術的条件 労働・機械　　水 　土地　alfalfa Activity 等コスト($) (acre ft)(acres)(tons) 1 acre wheat 8 　 1.5 1 1 acre alfalfa 30 2.5 1 1 ton of beef 40 0.1 0.05 4

農場経営問題のLP定式化 ①変数(variables) ②目的関数(objective function) ③制約条件(constraints) （決定）変数：wheat､alfalfa､beefの生産量 　　　　　　　　 alfalfaの販売・購入量 目的関数：「収益ー費用」最大 制約条件：土地の許容上限 　　　　　　 用水の許容上限 alfalfaのバランス　　　　　

農場経営問題　変数・目的関数 変数(variables)：（単位の設定は一例） W=wheat raised and sold (acres) Ar=alfalfa raised (tons) B=beef raised and sold (tons) Ab=alfalfa bought (tons) As=alfalfa sold (tons) 目的関数(objective function)： 最大化 72Wー30/3Ar+560Bー36Ab+34As

農場経営問題 制約条件 制約条件 土地 （単位acres） W+（1/3）Ar+0.05B≦1,200 農場経営問題　制約条件 制約条件 土地　（単位acres） W+（1/3）Ar+0.05B≦1,200 灌漑用水　（単位acre feet） 1.5W+（2.5/3）Ar+0.1B≦2,000 alfalfa　（単位tons） ーAr+4BーAb+As=0 非負条件　（Excelモデルではオプション指定） W, Ar, B, Ab, As ≧ 0

Red Brand Canners解説

Red Brand Canners

Red Brand Canners 登場人物 Mitchell Gordon, 副社長(Vice President) William Cooper, 財務部長(Controller) Charles Myers, 販売部長(Sales manager) Dan Tucker, 製造部長(Production manager)

Red Brand Canners 原料供給と製品需要 Tucker製造部長, Myers 販売部長 収穫量と品質構成（検査部の情報） 収穫量　3,000,000 pounds (lbs) 品質構成　品質A　 600,000 lbs (20%) 品質B　2,400,000 lbs (80%) トマト加工品の需要見通し（Myers販売部長） ホールトマト缶詰(whole canned tomatoes) 十分 トマトジュース、トマトペースト　　　　　限度あり 資料１に需要予測（販売価格に基づく販売量の予測） 販売価格は長期販売戦略を反映

Red Brand Canners 製品の利益性、原料使用量 Cooper財務部長 単位当たり利益：　ホールトマト＞他製品 農家からのトマトの購入価格：　18 ￠/ lb 資料２：　各トマト加工品の利益への寄与度 　　　　　　　各製品のケース当たり原料使用量

Red Brand Canners 生産能力と品質基準 Tucker製造部長 生産能力は十分 品質Aの原料に限りがあるため、ホールトマトだけを生産できず 原料・製品の評価システム 評価値は0～10（10が最高） 品質Aクラス（Bクラス）の評価値は平均9（5） 各製品の原料の許容平均評価値 ホールトマト缶詰≧8，トマトジュース≧6， トマトペースト≧0（制限なし；品質Bの原料から生産可） ホールトマト缶詰の生産は原料最大800,000 lbs

Red Brand Canners 追加原料調達の可能性 Gordon副社長 追加購入量の上限：　80,000 lbs 追加購入単価：　25.5￠/lb

Red Brand Canners 「限界利益」分析に基づく判断？ Myers販売部長 今年の業績見通しは明るい ホールトマト缶詰の生産がよい訳ではない Cooper財務部長の計算のように、数量だけを考慮するのでなく、トマトの数量と品質を考慮して決めるべき 資料３：　限界利益(marginal profit)の計算 トマトペースト＝品質Bの2,000,000 lbs ジュース＝品質Bの400,000 lbsと品質Aすべて これで＄144,000の利益を達成できるはず

Red Brand Canners 「限界利益」に基づく分析？ Myers販売部長 EXHIBIT ３ 連立方程式を解いて、品質Aトマトと品質Bトマトのlb当たりの原料コストを計算（これって妥当?） 　製品　　ホール缶詰　　ジュース　　ペースト 　　 売価　 $12.00 $13.50 $11.40 原料費を除く変動費 7.56 9.54 5.85 原料費 4.47 3.72 3.90 　限界利益 $－0.03 $0.24 $1.65 　　

１．なぜTuckerはホールトマト缶詰の生産が800,000 lbsで抑えられるというのか? Red Brand Canners 質問 １．なぜTuckerはホールトマト缶詰の生産が800,000 lbsで抑えられるというのか? ２．原料をすべてホールトマト缶詰の生産に回すというCooper財務部長の提案はどこに問題があるのか? ３．Myers販売部長はどのようにして資料3を計算したか?Myers販売部長の論理はどこに問題があるのか?

Red Brand Canners 質問（続き） ４．Gordon副社長の追加購入を考えないという想定の下で、最適生産計画を線形計画問題として定式化せよ。トマト製品の重量(lbs)を変数(決定変数；decision variables)とせよ。目的関数の係数は単位重量(lb)当たりの利益(￠)で表現すること。 ５．Gordon副社長が提案する原料の追加購入を考慮した場合にはモデルをどう修正すればよいか。

Red Brand Canners 質問への解答例(1) １．なぜTuckerはホールトマト缶詰の生産が800,000 lbsで抑えられるというのか? 品質基準Aの原料はa＝600,000(lbs) ホールトマト缶詰の品質基準から 9a／ (a＋b) ＋5b／ (a＋b) ≧8 ただし、bは品質Bの原料 　なお上の不等式は， 9a＋5b≧8 (a＋b)と等価 品質基準を等式として連立方程式を解くと、 a＝600,000，b＝200,000，あわせて800,000 lbs

Red Brand Canners 質問への解答例(2) ２．原料をすべてホールトマト缶詰の生産に回すというCooper財務部長の提案はどこに問題があるのか? 品質基準を満たさなければいけないために、ホールトマト缶詰の生産には原料800,000lbsという限度がある。仮に、ホールトマト缶詰を限度一杯生産した場合（品質基準の制約から，残りの原料2,200,000lbsはペーストにせざるをえない；一方，ペーストの需要は2,000,000lbsまで）の利益は（計算すると10136000￠となり，比較してみると）最適計画の利益13609000￠より低い

Red Brand Canners 質問への解答例(3) ３．Myers販売部長はどのようにして資料3を計算したか?Myers販売部長の論理はどこに問題があるのか? 品質Bの原料2,000,000lbsをペーストに割り振っているのは、ペーストが（Myersの計算では）一番もうかるが、需要制約のため、これ以上作っても売れないため そもそも、トマトの価格と品質評価値が比例するという命題の論拠は疑わしい 1000000*0.24/20＋2000000*1.65/25＝144,000 (ジュース，および，ペーストのmarginal profitは，それぞれ，ケース当たり$0.24，$1.65なのでlb当たりに換算） より、利益が$144,000上がるという計算には、トマトの原料費の一部しか考慮されていない この方式はトマトの原料費を正しく評価できない

検討の順序 変数の設定 ↓ 制約条件の設定 目的関数の設定 あとは各自でどうぞ 検討の順序 変数の設定 ↓ 制約条件の設定 目的関数の設定

最適生産計画 線形計画問題としての定式化(1) 追加購入を考えない場合 変数（単位は重量：lb） WA(WB)：品質A(品質B)の原料によるホールトマト缶詰の生産量 JA(JB) ：品質A(品質B)の原料によるトマトジュースの生産量 PA(PB) ：品質A(品質B)の原料によるトマトペーストの生産量 目的関数（単位はセント￠） 総利益の最大化

最適生産計画 線形計画問題としての定式化(2) 追加購入を考えない場合 制約条件 トマトの原料使用量はトマトの原料供給量以下 トマト製品の生産量は予測需要量以下 各製品（ホールトマト缶詰、トマトジュース）の投入原料品質基準を満足 制約条件の数式化の準備 トマトの原料使用量　≦　トマトの原料供給量 製品生産量　≦　予測需要量　 ホールトマト缶詰（トマトジュース）の投入原料平均評価値　≧　8 (6)　　（非線形制約にならないよう注意）

最適生産計画 線形計画問題としての定式化(3) 追加購入を考えない場合 目的関数　 　各自、考えてください。いろいろ幻惑させる情報があるので、どの情報を使うべきかよく考えてください。 　ヒント：　トマトの購入費用は、一括して払う（定数）と考えられる。各製品に対する目的関数の係数は、トマトの原料費を除いた「売値－変動費」で考えればよさそう。ただし、単位（per case, per poundなど）に注意。

最適生産計画 線形計画問題としての定式化(4) 追加購入を考えない場合 制約条件 　各自、考えてください。（制約は比較的簡単） なお、「品質基準制約」を のように書くと、非線形制約になってしまい、ソルバーから文句を言われます。文句を言われないように分母を払って整理した上で線形制約にしましょう。

Red Brand Canners 質問への解答例(4) ４． Gordon副社長の追加購入を考えないという想定の下で、最適生産計画を線形計画問題として定式化せよ。トマト製品の重量(lbs)を変数(決定変数；decision variables)とせよ。目的関数の係数は単位重量(lb)当たりの利益(￠)で表現すること。 森戸の計算では、最適値は、13,609,000セントとなっています。 結果出力省略

最適生産計画 線形計画問題としての定式化(5) 追加購入を考慮した場合 目的関数　（単位　￠）　 　各自考えてください。４と同様に考えればよいでしょう。 制約条件 　考えてください。

目標計画法 複数評価尺度（多目的）問題への一対処法

線形計画の定式化（１） 最大化 制約 （万円）：　粗利益 （時間）：　工程１ （時間）：　工程２

実行可能領域での利益最大化 600 工程1制約 300 最適解 工程2制約 実行可能領域 300 450

線形計画の定式化（２） 最大化 制約 （万円）： 粗利益 （時間）： 工程１ （時間）： 工程２ （個） ： 製品Qの販売量 （万円）：　粗利益 （時間）：　工程１ （時間）：　工程２ （個）　 ：　製品Qの販売量 （個）　 ：　製品Rの販売量

実行可能領域が存在しない場合 製品Rの販売目標 600 工程1制約 300 製品Qの販売目標 工程2制約 300 450

目標計画法による定式化 制約 G1（粗利益の目標） G2（製品Qの販売目標） G3（製品Rの販売目標） T1（工程１の制約） 最小化 （リグレット関数）

付順方式のソルバー結果

目標計画とは 一般に複数の評価尺度を考慮する 評価尺度ごとに、「目標値との差」がいくつかを制約条件として表現する 「目標値との差」の重み付き和を最小化する（なるべく目標に近づけたい） その他、通常の制約条件（目標計画では、テクニカル制約と呼んでいる）は通常の数理計画問題と同じようにあってよい

目標計画法の図解 製品Rの販売目標（G２） 600 工程1制約 450 300 製品Qの販売目標（G３） B A 工程2制約 D E C 300 450

pの決め方：付順方式 G１～G３に優先順位をつける。 優先順位の高いものから順に、大きな数を与える。各値の差は十分大きくなるように設定する。 例えば、順位がG1→G2→G3のような場合に、p1=100, p2=1, p3=0.01とする。

pの決め方：加重方式 G１～G３の各目標にウェイトによる重み付けを行う。 各ウェイトは重要性に比例した値とする。重要なものほど大きな値とする。

第２回 宿題 宿題２．１ 農場経営問題（「数理計画問題集（その1）」問題2）を解き、質問ａからｊに答えなさい。 第２回　宿題 宿題２．１　農場経営問題（「数理計画問題集（その1）」問題2）を解き、質問ａからｊに答えなさい。 宿題２．２　Excelソルバーで問題を解くことによってRed Brand Cannersの質問4,5に答えなさい。