上田晴彦(秋田大学), 郷田直輝, 矢野太平(国立天文台), 小山博子 (名古屋大学), 銀河系力学構造の 構築方法について JASMINEワークショップ ２０１０年２月２３日　国立天文台 上田晴彦(秋田大学), 郷田直輝, 矢野太平(国立天文台), 小山博子 (名古屋大学), 阪上雅昭  (京都大学)

本日の内容 1. 力学構造と位相分布関数 2. Torus Fitting 3. 力学構造構築の全体像 銀河系の力学構造を決めるに際しての困難さとは？ 2. Torus Fitting トーラス構築に関する新しい手法の提案 3. 力学構造構築の全体像 銀河系の力学構造をどのように決めるか？

1 力学構造と位相分布関数 位置天文学は新時代に突入 Nano-JASMINE GAIA 1 力学構造と位相分布関数 位置天文学は新時代に突入 　　　Nano-JASMINE　　　　　　　　　　GAIA http://www.jasmine-galaxy.org/nano/nano-ja.html http://sci.esa.int/science-e/www/area/index.cfm?fareaid=26

なぜ求まらない？ 高精度位置天文データが入手可能に ⇒ 新たなサイエンスの誕生 銀河系の力学構造の決定が可能になるのでは？ ⇒　新たなサイエンスの誕生 銀河系の力学構造の決定が可能になるのでは？ 位相分布関数は力学構造を記述する基本量 ⇒　しかしながら位相分布関数は観測データからは 　　　　直接は求まらない。 なぜ求まらない？

欲しい情報 我々の銀河の全ての構成要素（重力物質）を表現 　　する位相分布関数 fmatter(x,v) アストロメトリ・データが持つ情報 観測された星の位相分布関数 fobs(x,v) アストロメトリ・データから、重力物質全体の位相分布関数をどのように構築していくか、という理論的な研究の必要性（サイエンスWGの研究課題）

註）星の軌道とトーラス構造 ３次元ポテンシャル（Three-dimensional Triaxial Potential）　のもとでの星の軌道は、 かなり複雑 　　　　コア内部では box orbit 　　　　コア外部では box orbit + tube orbit 　　⇒　位相空間内では単純 　　　　　　　　　　　　（３次元トーラス上を動く）

配位空間　⇒　軌道はbox型 または tube型 位相空間　⇒　３次元トーラス構造

2 Torus Fitting 銀河系の位相分布関数を決定することを考える。 ⇒ 銀河系の力学的時間尺度は宇宙年齢に比べ 　⇒　銀河系の力学的時間尺度は宇宙年齢に比べ 　　　　　十分に短いことを考慮する 基本的仮定：銀河系の構造は定常状態 ただし現実的には銀河は非定常であるかもしれない。 　⇒　ずれが小さいと期待できるので、定常状態からの 　　　　　摂動として計算可能 f(x,v) f(x,v,t)

銀河系の構造が定常であると？ ⇒ ほぼすべての星の軌道は規則的 強いジーンズの定理 　　位相分布関数は３つの孤立積分（作用変数）の関数 　　　　 　⇒　f(J1,J2,J3 )　 J は位相分布関数をコンパクトに表現する際に有用

位相分布関数のコンパクトな表現はモデル作りに有用 しかし、弱点も存在する 　　 fmodel はJの関数 ⇒　fmodel(J) 　　 fobs は (x,v) の関数 ⇒ fobs(x,v) もし我々がJ ⇔ x,v の変換を知らなければ、モデルと 　　観測の結果を比べることが出来ない。 よって、これらの変換を求めることは、とても重要!!

変換 J ⇔ x,v に関する注意 変換 J ⇔ x,v が解析的に実行可能なのは、ポテンシャルの形が理想的な場合のみ。 ２つの例外 (Ideal Potential) A）Harmonic-Oscillator Type 　B）Isochrone Type 一般のポテンシャルものとでの J ⇔ x,v の変換を数値的に求めることは、とても重要。

このプロセスはトーラス構築と呼ばれる。 もっとも洗練されたトーラス構築の１つとして、Binney　とその協力者たちによって提案された方法が有名。 変換の母関数Sを用いる 　 一般のポテンシャルのもとでの作用変数 J’　 　　⇔　理想的なポテンシャルのもとでの作用変数 J 我々は J と x, v の関係は知っているので、最終的に J’ と x, v の座標変換が得られる。 　　　　　　⇒　 J’ ＝ J’ （J） ＝ J’ （x、v）

系のエネルギーが保存する ⇒ J’⇔J の変換を引き起こす母関数を、洗練された 　　　　方法で求める。 この手法は優れているが、トーラス構造が複雑になってくると、J’⇔J の変換を求めることが難しくなってくる。 よって我々はこの手法を採用しない ⇒　不変トーラスの幾何学的情報を用いる 　　　　　　(Torus fitting) 複雑な系のもとで、J’ ⇔ J の変換を求める際に力を発揮する

1) 与えられたポテンシャルのもとで、星の軌道を計算 ⇒ いくつかの位相空間上の位置を保持 (xi,vi) アルゴリズム 1) 与えられたポテンシャルのもとで、星の軌道を計算 　⇒　いくつかの位相空間上の位置を保持 (xi,vi) (x3,v3) (x2,v2) (x4,v4) (x1,v1) (x5,v5)

2) Ideal potential の型を決定 A）Harmonic-Oscillator 　　　B）Isochrone 　　　保持している位置　　　　作用・角変数 　 　 （ｘi、ｖi）　　　⇒　　（J i、θ i） 　　　　　　　　　　　　　⇒　　（J、θ）　　　　　　補間 15 15

3) 以下の関係式を満たすように（J、θ） を修正 : 実数 母関数 　母関数 　　　　　最終的に変換 J’ ⇔ J が求まる 16 16

3 次元ポテンシャルにおけるデモンストレーション 1) Logarithmic potential Rｃ=0.14, ｑ１=0.9 ｑ２ =0.8 2) Ferrers potential n=1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a2=0.9a１ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a3=0.8a１ 与えられた J’ の値をもとに、関係 J’⇔(x,v) を探す ⇒ 与えられた J’ のもとで、不変トーラスを再構築

Logarithmic potential y=z=0 J’1=0.4 px J’1=0.06 x

Ferrers potential y=z=0 J’1=0.28 px J’1=0.04 x

3 力学構造構築の全体像 先に述べた方法で、数値的に J’=J’(x,v) が得られる。 ⇒ しかしこれは、銀河系の力学構造構築のための 3 力学構造構築の全体像 先に述べた方法で、数値的に J’=J’(x,v) が得られる。 　⇒ しかしこれは、銀河系の力学構造構築のための 第一歩に過ぎない。 位相分布関数を決める必要がある。 力学構造構築のためのアルゴリズムは、以下の通り

１）銀河系の重力ポテンシャルを仮定 A) Logarithmic potential (Disk部分) 　B) Ferrers potential (Bulge部分) 　どのようなものがよいのか、現在考察中

２）J ⇔ x,v の評価 仮定したポテンシャルのもとで、作用変数とｘ、ｖとの 変換を求める 　仮定したポテンシャルのもとで、作用変数とｘ、ｖとの 　　変換を求める 　　⇒　Torus fitting (サイエンスWG） Torus construction (Binneyグループ) 　　　　 その他の手法 　位相分布関数をJの関数として求める準備完了

３）重力物質の位相分布関数の作成 仮定したポテンシャルのもとで、初期条件を変えた テスト粒子の軌道を多数計算。 　　仮定したポテンシャルのもとで、初期条件を変えた 　　　　テスト粒子の軌道を多数計算。 　　ポアソン方程式　　　　　　　　を通して、密度分布を計算 　　各々の軌道をある重みで足し上げる 　　　⇒　密度分布を再現できるような重みを求める 　　　⇒　位相分布関数ｆ（J）およびｆ（ｘ、ｖ）を推定

４）観測データから重力物質の位相分布関数を 推定 　　　推定 　観測データは、明るさや色で選択された特定の星のみ 　　の情報を含む 　⇒　選択効果が働いている！！ 　　・選択効果を取り除く手法の確立 　　・観測にかからない星＋ダークマター等を加える

５）両者の比較 　　　一般に食い違うので、より近くなるようポテンシャルの 　　　　パラメータを変更 　　⇒　かなりの試行錯誤が必要？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

アルゴリズムの全体像 ポテンシャル Φ(x) f (x,v) J(x,v) f (x,v) f (J) f (x,v) Φ(x)を仮定 obs J ⇔ x,v を評価 全ての重力物質　 　の DFを推測 (２章の内容) J(x,v) 改良！ f (x,v) matter made-to-measure法で 　　　 　f(J)の形を決定　 比較 Syer & Tremaine (1996) f (J) model f (x,v) model

ご清聴ありがとう ございました