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§6．無衝突ボルツマン方程式の平衡解 ★無衝突系の例： 楕円銀河 定常状態としたらどのような 状態か？（平衡解） 現在の力学構造
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★平衡解：以下を満たす解 (strong)Jeans定理を応用
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★運動の積分 ◎意味があるのは、孤立積分(isolating integral) 積分量に対してある値を満たす軌道を考えたとき、
位相空間でのその軌道の次元が全体に比べて減るとき 例：エネルギー、運動量、角運動量 反例：
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○積分の例： 作用ー角変数 Jが積分量 例：１次元調和振動子
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○CBEの任意の定常解 運動の積分を通してのみ
★Jeans Theorem ○CBEの任意の定常解 運動の積分を通してのみ 位相空間座標に依存 ○運動の積分の任意の関数 CBEの定常解 証明：
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★Strong Jeans Theorem ほとんどすべての軌道が、規則的(regular)であるとき、
定常状態の分布は、３つの独立な孤立積分の関数として あらわされるだろう。 ＊ただし、3つの基本周期が、通約できない(incommensurable)場合に限る
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◎証明
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○ほとんどすべての星が規則的運動 位相空間の至る所で、作用ー角変数が存在 例：１次元調和振動子
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★定常解の例(Jeans定理の応用） I.球対称
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一般には、self-consistentでなくてはいけない。
★定常解の求め方 一般には、self-consistentでなくてはいけない。 つまり、どんな関数形でも解になるのではなくて、 ポアッソン方程式を満たさなくてはならない。
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★Eddington’s formula 前式を次のように書き直す。
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★具体例 (1)PolytropesとPlummerモデル
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Lane-Emden equation 星の構造を解くときにもよく用いられるもの
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一般には、数値計算で解く。 しかし、解析解も存在。 ○n=5の場合： Plummerモデルと呼ばれる ＊いくつかの球状星団とは一致。 銀河とは合わない
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○等温解（isothermal solution)
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○Kingモデル ＊質量が無限大になる等温分布を補正したもの ○Hernquistモデル ＊楕円銀河の密度分布をかなり良く再現
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○Jaffeモデル
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○球対称非等方速度分散のモデル 例：Osipkov-Merrittモデル
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○球対称でない場合（一般） ＊軸対称モデル 例：Evansモデル ＊３軸不等楕円体（大きな楕円銀河） Stackel Potentialモデル 後述
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*高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布 ◎fの例（今までは簡単な例。一部は正しいかも）
★現実の力学構造は？ 観測データとの比較 観測データとの比較 *高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布 が比べられる。 ◎fの例（今までは簡単な例。一部は正しいかも） 実際のバルジ、ディスク、ハローは？ 一般的なモデルを作成する必要性あり ＊ハミルトニアン（重力ポテンシャル）をgiven 積分量を評価(Torus construction法など） fの関数形を仮定 モデル作りが必要：力学構造の構築法の開発
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§7．緩和と力学構造 例：楕円銀河 十分良い近似で自己重力多体系とみなす。 さらに、 無衝突系 二体散乱による緩和は起こっていない！
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しかし、・・・・ ＊楕円銀河：２体緩和していないが、楕円銀河には いくつかの共通点がある ○密度分布は、ドゥボークルールの１／４則
いくつかの共通点がある ○密度分布は、ドゥボークルールの１／４則 ○回転サポートではない 速度分散の ○ ３軸不等楕円体 非等方性 重力～速度分散による“圧力” 力学構造の詳細は分からないが、共通の特徴がある ある種の“緩和”が起こっている どういう緩和？
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★楕円銀河の密度分布（光度分布） ◎ドゥボークルールの１／４則
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Surma,Seifert and Bender（１９９０）
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★速度分散の非等方性（回転サポートではない）
★速度分散の非等方性（回転サポートではない） 巨大楕円銀河(L>2.5×1010L ）は、ローテーション サポートではなく、速度分散の非等方性により偏平 になっている。
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★Tensor Virial Theorem
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○Tensor Virial Theoremを用いる
★速度分散、回転速度、偏平度の関係 ○Tensor Virial Theoremを用いる ○簡単のため、z軸周りの軸対称であるとする。 ○銀河の中心方向への視線はx軸と一致するとする。
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Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より
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★観測との比較 Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より
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◎巨大な楕円銀河は、回転サポートではない。 速度分散の非等方性により、形態が偏平に 維持されている。 三軸不等であろう。 実際、
速度分散の非等方性により、形態が偏平に 維持されている。 一般には、軸対称とは考えにくい。 三軸不等であろう。 実際、 光度分布を２次元平面にprojectした場合、isophotの twistが見られる。 三軸不等の証拠 Madejsky&Mollenhoff(1990)など
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◎以上のように、共通の特徴をもっていることから、
何らかの“緩和”を受けているようである （しかし、２体散乱による緩和ではない） “緩和”するメカニズムは？ また、その力学構造は？
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★Violent Relaxation: Lynden-Bell(1967) ◎無衝突系の緩和過程
空間的、時間的に激しく振動 microscopic: phase mixing fは保存(Liouvilleの定理）。しかし、それはどんどん小さな スケールでの運動となる。 macroscopic ：coarse-grained distribution function “平衡状態”に落ち着く
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★Violent Relaxation： Lynden-Bell(1967)
平均重力場の激しい時間的空間的変動による 位相分布のmixing （ハミルトン系のカオスが起こる機構と同様）
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★平衡状態での(coarse-grained)分布関数は？ ◎Lynden-Bell統計 ○ “非圧縮流体”のように運動
○ “非圧縮流体”のように運動 ○phase mixing fの要素(element)は、位相空間内を複雑に 運動し、細分化 fを十分小さい要素に分解し、要素は次の条件を満たすものとする。 (1)要素の数は不変 (2)全エネルギーは保存 (3)要素の密度ηは一定：F=η（局所的な密度は非圧縮性のため保存） (4)要素の体積をωとする。
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◎位相空間を多くの微細胞(micro-cell)に分割
＊微細胞は、十分小さく、その位相体積は、fの要素の位相体積ωとする。 ＊micro-cellの中にelementが入れば、micro-cellの密度は、η、 さもなくば、０。 ◎興味があるのは、巨視的構造 micro-cellをν個（ν＞＞１）集めた巨細胞(macro-cell)
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○非圧縮性のため、各要素は同一のmicro-cellを示すことは
できない。 排他律 ○各要素は区別できるものである。 区別化 よって、場合の数は、
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あり F-D分布 Lynden-Bell分布
参考： 区別不可 区別可 排他律なし B-E分布 M-B分布 あり F-D分布 Lynden-Bell分布 ＊L-D分布の特徴 分布は星の質量に依らない （CBEの形は、星の質量に依らないので）
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◎いくつかの数値実験 Lynden-Bell分布と
★問題点 ◎いくつかの数値実験 Lynden-Bell分布と 一致しない deZeeuw et al(1991), Funato et al.(1992), Yanashiro et al.(1992) などなど ◎L-D統計ーーー＞Maxwell分布ーーー＞等温分布 ーーー＞全質量が無限大 Lynden-Bell達は、violent relaxationの不完全性に よって、この問題を回避しようとした （後ででてくる、安定カオスと関連）
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◎Lynden-Bell分布でないとすると、実際は
どんな分布か？ ◎緩和過程はどうなっているか？ その続きに行く前に・・・
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★r1/4則は説明できるのか？ Jaffe(1987), Makino et al.(1989)
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