平面波の反射と屈折 TM TE u qi 完全導体面による反射 入射角･･･入射波の方向と境界面の法線方向がなす角：qｉ ［定義］ 入射角･･･入射波の方向と境界面の法線方向がなす角：qｉ 入射面･･･入射波の方向と境界面の法線方向を含む平面 z y x u qi 反射波 入射波 完全導体 TM 　TE波（直交偏波）・・・電界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。 　TM波（平行偏波）・・・磁界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。 　　　　　　　　　　　　　　すなわち，電界はxz面（入射面）内にある。 注＆復）　基準は入射面。偏波は電界の振動方向。 TE 入射波のみでは不可能→反射波との重ね合わせで充足 完全導体表面(x=0)では式(1.43)［導体表面では電界は法線方向成分のみ］が成立しなければならない。 ［ TE波（直交偏波） ］ 電界はy方向成分のみで表される。 1) 電磁界の比は界インピーダンスh0 （|Ey/Hz|＝±h0） 2) 電界方向(y方向)と波の伝搬方向(u方向）の双方に垂直な方向はu及びy方向ベクトルの外積方向（ｕ軸からy軸へ右ねじを回して進む方向） k0 qi u ← 座標変換

反射波は，x及びzの正方向へ伝搬するので理にかなっている。また，式(4)も満たす。 　　であれば接線方向成分が連続 入射波が完全導体面上に表面電流を誘起→表面電流が二次電界を放射・・・反射波 k0 qi 1)　表面電流，放射電界を順に求める方法・・・反射体形状が複雑な場合には有効 ※ 2)　入射波を既知とし，反射波を未知数を含む形で仮定し，境界条件を適用して未知数を求める方法 y方向には構造の変化が無いので　　　　　　　と置き，教科書式(2.43)より次式を得る。 z y x u qi 反射波 入射波 完全導体 ２次元ヘルムホルツ方程式 と置き，変数分離法で解を求めると， －ｘ方向 ＋ｚ方向 ここで，反射波の電界成分を以下のように仮定する。 ＋ｘ、＋ｚ方向 ・・・　入射波と反射波の重ね合わせが総合電磁界 反射波は，x及びzの正方向へ伝搬するので理にかなっている。また，式(4)も満たす。 ・・・+x方向に進む波動 ・・・－x方向に進む波動 と式(8)を用いて，電界の境界面（x=0面）での接線成分が０となると置く。

TE波の場合と同様に解析できる。 ［補足－２０，２１］参照 式(10)がz=－∞とz=∞で成立するには，同式のz依存性がなくならねばならないので，exp(　) の項が等しくなるように選ぶ。（位相整合） ←　電界振幅は逆位相 ･･･　exp(　)の項を等しくしたので式(10)からexp(　)の項を消去出来る。 従って，総合電磁界は，以下のようになる。 x一定でz変化のみ・・・位相定数k0sinqiの平面波　→　進行波 z一定でx変化のみ･･･極大点，ゼロ点の位置が時間に依存しない。　→　定在波 ［ TM波（平行偏波） ］ 　TE波の場合と同様に解析できる。　　［補足－２０，２１］参照 課　題 １．TM波の場合について，式(15)及び(16)に対応する総合電磁界を求めよ。

(+x,+z) (-x,+z) (-x,+z) ２種類媒質の平面境界における反射と屈折 EyまたはEz 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt 　完全導体の場合と同様に，境界面(x=0)の領域I及びII側の電界の 接線成分は領域Iでは入射波と反射波，領域IIでは透過波が存在し， その重ね合わせとして次式のようになる。 (-x,+z) 　境界条件より，式(17)と(18)が等しいとした次式が，zが（-∞，∞）で等しくなる にはexp（　）の中身が等しくならねばならない。（位相整合の条件） EyまたはEz ［境界条件］ 式(20)はスネルの法則に一致する。

－ ＋ ＋ ＋ － ＋ A B A×B No.23の式(3)から (3.3)の変換参照 外積A×Bの方向・・・Aベクトル z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt ［ TE波（直交偏波） ］ 入射（Ei, Hi)，反射（Er, Hr)及び透過（Et, Ht)波の電磁界は次式で表される。 － ＋ z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt ＋ ＋ － ＋ A B A×B No.23の式(3)から (3.3)の変換参照 外積A×Bの方向・・・Aベクトル からBベクトルの方向に右ねじ を回したときに進む方向

TM偏波は［補足－21,22］参照 x 入射波 反射波 qi z y 透過波 w 　x=0面での境界条件より，x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分（電界はy成分，磁界はz成分） が等しいとして ，次式が得られる。 　式(20)の位相整合条件を適用するとexp（　）の項は打ち消し合い，次のようになる。 　式(37)と(38)を連立して解くことにより，TE入射波の場合反射係数，透過係数は下記のように求まる。 z y x w qi 反射波 入射波 透過波 TM偏波は［補足－21,22］参照

［分子］=0 TE入射では無反射状態は存在しない!! 「重要」 z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt 各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数　→　RTE=0あるいは RTM=0となるための条件（無反射条件） 式(39)及び(41)より ［分子］=0 また，TM(平行偏波)入射の場合について，式(46)’と(45)をかけ合わせると，反射係数が0となる場合の入射角と透過角の関係が求まる。 ここで，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を用いて，qtを消去すればTM(平行偏波)入射の場合にのみ反射係数が0 となる入射角が存在する。 TE入射では無反射状態は存在しない!! 「重要」 ブルースター角でTE波(直交偏波)およびTM波(平行偏波)が入射した場合，TE波のみが反射される。→［偏光角］ ※）無反射はTM偏波のみで存在するので偏波が分離される事に由来する。

（平方根の中身が）＜０ 式(27)より 指数関数的に減衰 各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数である　→　RTE=1， RTM=1となるための条件（全反射条件） 式(39)および(41)の形の類似性に着目　→ の絶対値は1である。 常に！ 反射係数が上記の形になる場合の条件を求めれば，その絶対値は１となる。→cos qtが純虚数になれば良い！ ・スネルの法則(46)’より なので，純虚数になる条件は以下のように求まる。 （平方根の中身が）＜０ z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt 負 全反射時の透過波電界（TE波；直交偏波の場合） 式(27)より エバネッセント波 指数関数的に減衰

下方向はｘは負の方向なので，金属内に入ると減衰 領域IIが良導体（sが十分大きい時）の場合のMaxwellの方程式（m2=m0） ベクトル恒等式 No.12より 式(51)の両辺の回転(rot)をとって次式が得られる。 式(53)の右辺に式(52)を代入し，ベクトル恒等式を用いると次の様な波動方程式が得られる。 波動方程式(54)の一般解（ベクトルの成分）は次のように書ける。 下方向はｘは負の方向なので，金属内に入ると減衰 上式は領域ＩＩ中で-x方向に減衰定数aで減衰する関数である。特に電磁界が1/eまで減衰する 深さ方向距離，すなわちax=1となる距離を表皮深さ（Skin Depth)と呼ぶ。

偏波の基準は何に対する何の方向？？ 課 題 誘電率はe=ere0 Eは入射面に垂直 課　題 誘電率はe=ere0 １．携帯電話の電波(1.8GHz)が空気中から比誘電率er=3.0の媒質へ30°の角度 　で入射する。電磁波の電界が入射面内にある場合と磁界が入射面内にある場 　合について，それぞれ，反射係数を求めなさい。また，それぞれの入射波が何 　偏波であるかを答えなさい。 ２．周波数が5GHzの電波に対する銅の表皮の深さ（表皮厚さ）を求めなさい。 　※）導電率は教科書の付録にある。 z y x 領域I：(1) e1, m1 領域II：(2) e2, m2 qi qr qt Eは入射面に垂直