第７課 原子、分子のエネルギー準位 平成１６年１１月２９日 講義のファイルは http//www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html に置いてあります。質問は nakada@kiso.ioa.s.u-tokyo.ac.jp レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いません。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。とにかく全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。 Ｍ２、Ｂ４で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。

７．１．電子配列 (configuration) 原子内の電子を、いくつかの量子数で指定する。 n：主量子数 (principal quantum number) l：方位量子数 (azymuthal quantum number) ｍ：磁気量子数 (magnetic quantum number) 主量子数は殻（shell)と、例えばＫ－シェル、呼ばれることもある。 主量子数 ｎ １（Ｋ） 　　　　　　　　２（Ｌ） 　　　　　　　　３（Ｍ） 方位量子数 ｌ 　０（ｓ） ０（ｓ） 　　　　　１（ｐ） 磁気量子数 ｍ ０ －１ １ スピン ↑↓ 主量子数 ｎ 　　　　　３（Ｍ）（続き） 方位量子数 ｌ 　　　　　　　　　２（ｄ） 磁気量子数 ｍ －２ －１ ０ １ ２ スピン ↑↓ この先は、 n=4(N), 5(O),6(P)…

実際、原子の基底状態の電子配列 は上の式に従って決まっている。 同じｎでも、ｌ小（遠心力ポテンシャル低い）では中心付近にたまるので 他の電子の遮蔽効果が弱くなり、エネルギーレベルが下がる。 -⇒　ｎ＋ｌ（エル）がレベルの目安。　 　（ｎｌ）レベルをエネルギーの低い順にならべると、 　n l 1s 　2s 　2p 　 3s 　 3p　 4s 　3d　 4p 　5s　 4d ……. n+l 1 　 2 　 3　 3　 4　 4 　 5 　 5　 5 ……….. 実際、原子の基底状態の電子配列 は上の式に従って決まっている。 H He 1s (1s)2 Li Be (1s)22s (1s)2(2s)2  B C N O F Ne (1s)2(2s)22p (1s)2(2s)2(2p) 2 (1s)2(2s)2(2p) 3 (1s)2(2s)2(2p) 4 (1s)2(2s)2(2p) 5 (1s)2(2s)2(2p) 6

（続き） （下線のあるＣｒとＣｕのところで飛びがある） （続き）　　　　　（下線のあるＣｒとＣｕのところで飛びがある） 　Na Mg ..(2p) 6(3s) ..(2p) 6(3s)2 　Al Si P S Cl Ar ….(3s)23p ….. (3s)2(3p) 2 ….. (3s)2(3p) 3 ….. (3s)2(3p) 4 ….. (3s)2(3p) 5 ….. (3s)2(3p) 6   K Ca …(3p) 64s …(3p) 6 (4s)2 Sc Ti V Cr Mn …(3p) 63d(4s)2 …(3p) 6 (3d)2 (4s)2 …(3p) 6 (3d)3 (4s)2 …(3p) 6 (3d)5 4s …(3p) 6 (3d)5 (4s)2   Fe Co Ni Cu 　　　　　　Zn …(3p) 6 (3d)6 (4s)2 …(3p) 6 (3d)7 (4s)2 …(3p) 6 (3d)8 (4s)2 …(3p) 6 (3d)10 4s 　 …(3p) 6 (3d)10 4s

７．2．項 (term), 準位 (level), 状態 (state), スペクトル線 (line)、multiplet 名前 量子数 状態数 電子配列 ( configuration) (n1l1) (n2l2)………(nklk) 項 ( term ) (n1l1) (n2l2)………(nklk) SL (2S+1)(2L+1) 準位 (level) (n1l1) (n2l2)………(nklk) SLJ 2J+1 状態 ( state) (n1l1) (n2l2)………(nklk) SLJM 1 Ｓ＝ s1＋ s2＋ s3 ＋ ……… ＋ sk Ｌ＝ l1＋ l2＋ l3 ＋ ………. ＋ lk 　　　　　　Ｊ＝Ｓ＋Ｌ、　　Ｍ＝MＪ

項（term） 準位（level） 状態（state） multiplet line 合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、 　Ｌ＝　１　　２　　３　　４ 　　　　Ｓ 　　　Ｐ　　　 Ｄ　　　 Ｆ スペクトル線 (line) 準位(level)間の遷移 multiplet 項(term)間の遷移の全体

項 (Term) 最外殻の電子は通常共通の主量子数を持っている。殻のエネルギー準位は、 L=Σlによって分裂する。これを項 (term) と呼ぶ。 項は(n1l1) (n2l2)………(nklk) SL で指定される。 　　多電子系： L=Σl, S=Σs, J=L+S (LS結合) g L・Ｓ(ＬＳ相互作用 )  (2S+1) 準位 　　S<Lの場合 (2L+1) 準位　　S>Lの場合 項の決定法: 通常、内側の殻（shell）はＬ＝０，Ｓ＝０の状態で閉じている。最も外側の殻に属 　　　する電子だけでＬとＳを決める。その電子は同じ（ｎ、ｌ）を持つかどうかで扱いが　　　　少し異なる。 例１　ｐ電子(l=1)＋ｄ電子(l=2) 　２つの軌道角運動量ｌが異なる（不等価電子） ので 　　L=１＋２  L=3 (F), 2（Ｄ）, 1（Ｐ） S= 1/2+1/2  S　= 1, 0 　　　　　　　2S+1L = 1P, 1D, 1F, 3P, 3D, 3F (ＳとＬの任意の組み合わせ）

等価電子[ 同じ(n,l) ]にはパウリ排他率の考慮が必要。 ２つのｐ電子は同じｍｌ（＝１，０、－１）とｍｓ（＝1/2、－1/2） 例２ ２個のｐ電子 （ｌ＝１） 等価電子[ 同じ(n,l) ]にはパウリ排他率の考慮が必要。 ２つのｐ電子は同じｍｌ（＝１，０、－１）とｍｓ（＝1/2、－1/2） を持つことが出来ない。 まず、可能な組み合わせを↑(ms=+1/2), ↓(ms= - 1/2) を使い、表にする。 ml +1 0 ‐1 Σ ml =ML Σms=MS ( ml ms) ↑↓ 　　　　　 ２ 　　　　０ 　 ( 1, 1/2) ( 1, －1/2) ↑ ↑ 　　　　　 1 　　　　1 　　 ( 1, 1/2) ( 0, 1/2) ↑ ↓ 　 1 　　　　 0 　 ( 1, 1/2) ( 0, －1/2) 　 ↓ ↑ 　 1 　　　　0 　　 ( 1, －1/2) ( 0, 1/2) 　 ↓ ↓ 　 1 　- 1 　 ( 1, －1/2) ( 0, －1/2) ↑ ↑　　　　 0 1　　　 ( 1, 1/2) (－1 , 1/2) ↑ 　　　　 ↓ 0 0 ( 1, 1/2) (－1 , －1/2) ↓ 　　　　 ↑ 0 0 (1, －1/2) (－1 , 1/2) ↓ 　　　　 ↓ 0 - 1 (1, －1/2) (－1 , －1/2) ↑↓ 0 0 (0, 1/2) ( 0, －1/2) ↑ ↑ -1 1 ( 0, 1/2) (－1, 1/2) ↑ ↓ -1 0 ( 0, 1/2) (－1, － 1/2) ↓ ↑ -1 0 ( 0, －1/2) (－1, 1/2) ↓ ↓ -1 - 1 ( 0, －1/2) (－1, －1/2) ↑↓ -2 - 0 (－1, 1/2) (－1, － 1/2)

前頁の表から、ｐ電子2個には計15個の独立な状態があることが判る。Ｌ，Ｓの固有関数も計１５個で、前頁15個関数の一次結合で表わされる。 Σ ml =MLの列を見ると、最大が２で、そのMS＝０である。これじさあいは、Ｌ＝２、Ｓ＝０の状態が出来ていることを意味する。（Ｌ＝１，０から、 ML ＝２は生じないし、Ｌ＝３が出来れば、 ML＝３があるはず。）そこで、Ｌ＝２，Ｓ＝０状態に寄与し得る関数に○をつける。実際にはＭｓ＝０で、ＭＬ＝２，１，０、－１、－２を一つずつ選ぶ。 ml +1 0 ‐1 Σ ml =ML Σms=MS ↑↓ 　　　　　 ２ 　　　　０ 　　○ 1D (L=２､ S=0) ↑ ↑ 　　　　　 1 　　　　1 　　× 3P (L=1, S=1) ↑ ↓ 　 1 　　　　 0 　　○ ↓ ↑ 　 1 　　　　0 × ↓ ↓ 　 1 　- 1 　× ↑ ↑　　　　 0 1　　　 × ↑ 　　　　 ↓ 0 0 ○ ↓ 　　　　 ↑ 0 0 × ↓ 　　　　 ↓ 0 - 1 × ↑↓ 0 0 △ 1S (L=0, S=0) ↑ ↑ -1 1 × ↑ ↓ -1 0 ○ ↓ ↑ -1 0 × ↓ ↓ -1 - 1 × ↑↓ -2 - 0 ○

ところで、( ml ms)＝ ( 1, 1/2) ( 1, －1/2) は（Ｌ、Ｓ）の固有関数でもあるので、（Ｌ，Ｓ）の次の固有関数を作る際にはこれはもう使えない。残った中で(ＭＬ, ＭS)の最大値を探すと、 (ＭＬ, ＭS) ＝（１，１）があるので、Ｌ＝１，Ｓ＝１状態があることが判る。そこで (ＭＬ, ＭS) ＝(1,1) (1,0) (1,-1) (0,1) (0,0) (0,-1) (-1,1) (-1,0) (-1,-1)となる( ml ms)９組に×印をつける。 　最後には(ＭＬ, ＭS) ＝（０，０）が一組だけ残る。したがって、これはＬ＝０，Ｓ＝０を表わすと考える。 このようにして、 ２個の等価ｐ電子からは （Ｌ，Ｓ）＝(2，０）、（１，１）、（０，０）の項が出来ることが分かった。（２，１）や（１，０）はできない。 項は　２Ｓ＋１Ｌ　という形で表記する。 （Ｌ，Ｓ）　　（２，０）　（１，１）　（０，０） 　２Ｓ＋１Ｌ　　　　１Ｄ　　　　３Ｐ　　　　１Ｓ　　　　　である。 各項はさらに、Ｊ＝Ｌ＋Ｓにしたがって分裂する。

項(term)は異なる Ｊ 毎に準位 (level) へと分裂する。前の例で、 1D 項(Ｌ＝２，Ｓ＝０)は、Ｊ＝Ｌ＋Ｓ＝２＋０＝２のみだが、 3P項(Ｌ＝１，Ｓ＝１)は、Ｊ＝Ｌ＋Ｓ＝１＋１＝２，１，０が存在する。 準位は、Ｓ，Ｌ，Ｊが指定され、２Ｓ＋１ＬＪの形で表記される。従って、2個の等価ｐ電子の系から生じる準位は、 電子配列 項 準位 状態 (configuration) (term)　　　　(level)　　　　　(state)　 1S 1S0 JM=0 1D (2p)2 1D２ JM=2,1,0,-1,-2 3P 3P２ JM=2,1,0,-1,-2 1D 3P１ JM=1,0,-1 3P０ JM=0

項(term) がＪの違いで準位(level)へと分裂することを 　　　微細構造 ( fine structure)　と呼ぶ。 また、２準位以上を多重項と呼ぶ。 　　　 Ｓ状態ではＬＳ結合Ｊ＝０なので、微細構造はない。

７．３．エネルギー準位と天体スペクトル線 （i） 水素原子 a p 水素原子のエネルギー準位 Ｅ 2πp a=nh ： 量子条件 　　K=p2/2m=e2/2(4πεｏ)a　 ：　ビリアル  p2/m=(nh/2π)2 /(a2m) =e2/ (4πεｏ) a ( hνL =13.6 eV ) 詳しい値は以下のように与えられる。 左の式にはＬもＳも入っていない。従って、水素原子には項による準位の分裂がない。主量子数で決まる殻（shell）から、項を飛ばして、いきなりＪによる分裂、微細構造、になるという特殊な構造を示す。

水素のエネルギー準位 ２Ｄ ２Ｐ ２Ｓ ２Ｐ ２Ｓ ２Ｓ 殻（shell） 項(term) 準位(level) ｎ＝３（Ｍ殻） ２Ｄ　２Ｐ　２Ｓ ｎ＝３（Ｍ殻） (3s), (3p), (3d) 2D5/2 2D3/2 2P3/2 2P1/2 2S1/2 　２Ｐ　２Ｓ ｎ＝２（Ｌ殻） (2s), (2p) 2P3/2 2P1/2 2S1/2 　２Ｓ ｎ＝１（Ｋ殻） (１s) 2S1/2 Ｌが違うから違う項に属す。普通はＪが同じでも準位は違う。水素は特別。 項が分裂していないのが珍しい 微細構造

水素のスペクトル線 水素のエネルギー準位 バルマー系列(Balmer) H α： n=3  n=2 β： n=4  n=2 自由 　電子 　n= 2 　n= 1 バルマー系列(Balmer) 　 H α： n=3  n=2 　　　　 β： n=4  n=2 　　　　 γ ： n=5  n=2 　　 Hα Hβ　Ｈγ hνL =13.6 eV ライマン系列(Lyman) 　Lyman α： n=2  n=1 　　　　 β： n=3  n=1 　　　　 γ ： n=4  n=1 　　 Lyα LyβLyγ ｎ１　　　ｎ２　　　ｎ３　　　　ｎ４ Ｌｙｍａｎ　　Ｂａｌｍｅｒ　Ｐａｓｃｈｅｎ　　Ｂｒａｃｋｅｔｔ

ライマンα線 Lyα （ライマン アルファ線）：H （水素原子） 2ｐ 2P３/2 2ｐ 2P1/2 2 ｓ 2S1/2 1215.668 A 1215.674 A Two Photon A(2S)=8.23/s １ｓ　2S1/2 　　　　共鳴線( resonance line)の最初の例。 共鳴線＝基底状態 ――＞遷移可能な第１励起状態。 　　　　通常最も強い。A(2P)=4.7 108 / sec で短時間で放出される。 吸収もされやすく,したがって、高温ガス星雲内ではLyαフォトンは１Ｓ 状態のＨ原子により、散乱を受けながら拡散していく。

(ii) ｓ型原子 アルカリ金属、Li, Na, K, Sc,..、のように閉殻の外にｓ電子が１つ付加。 電離エネルギーが低い。 存在比は小さいが、電離しやすいので、Te < ５000 K (Ｋ型より晩期 ) ではＫとNa が電子の主な供給源である。 元素 Eion(eV) Li(2s) 5.4 Na(3s) 5.1 K (4s) 4.3 Rb(5s) 4.2 Cs (6s) 3.9   He Ne Ar H B Na Al Li K

（ｓ）型例１：Ｎａ Ｎａ (1s)2(2s)2(2p) 6 (3s) 2S1/2 　（ｓ）型例１：Ｎａ Ｎａ　　(1s)2(2s)2(2p) 6 (3s) 2S1/2 　 　　　基底状態　　　　　 3s電子 ――＞ L=0, S=1/2, J=1/2  2S1/2 　　 　　　　第１励起状態　　　 3p電子 ――＞ L=1, S=1/2, J=1/2,  2P1/2 　――＞ L=1, S=1/2, J=3/2,  2P3/2 (4s) 2S1/2 2P 項(term) S=1/2, L=1 (3p) 2P3/ 2 準 位 (level) S=1/2,L=1,J=3/2 (3p) 2P1/ 2　準 位 (level) S=1/2,L=1,J=1/2 g=4 g=2 D line (multiplet) D1 line 5889 A D2 line 5895 A 2S 項(term) S=1/2, L=0 g=2 (3s) 2S1/2準 位 (level) S=1/2,L=0,J=1/2

（ｓ）型例２： Ｃａ ＩＩ CaII triplet （ｓ）型例２：　Ｃａ ＩＩ Ca II 基底状態の電子配列は (1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s) 2S その上に、 　　　　　　　 (1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (3d) 2D 　と 　　　　　 (1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s) 2P 　がある。 (4p) 2P3/2 (4p) 2P1/2 (4s) 2S1/2 CaII triplet 8542 8498 8662 7291 7323 3933 Ｋ線 3968 Ｈ線 (3d) 2D3/2 (3d) 2D5/2

G型星吸収線 Mg ｂ g Hβ D Hα Hγ B CaII triplet K, H A

（ｐ）２型 例１：ＮＩＩ Ground -level = (1s)2(2s)2 (2p)2 3P 　　　　　(p)2 型 なので、 1D, 3P, 1S 項 (term)　が出来る。 NII　　 (2p)2 3070 3062 5754 6583 6548 22μ 76μ 1S0 1D2 3P2 3P1 3P0

（ｐ）２型例２：ＯＩＩＩ (2p)2 1D, 3P, 1S 1S0 2331 4363 2321 1D2 5007 4959 3P2 3P1 52μ 88μ 1S0 1D2 3P2 3P1 3P0

（ｐ）３型 例１： OII (2p)3 2P1/2 2P3/2 2D3/2 2D5/2 4S3/2 3726 3728 7330 7319 7329 7318 2470

（ｐ）３型 例２： ＳＩＩ SII (3p)3 2P3/2 2P1/2 2D5/2 2D3/2 4S3/2 6730 6716 10370 （ｐ）３型　例２：　ＳＩＩ SII (3p)3 2P3/2 2P1/2 2D5/2 2D3/2 4S3/2 6730 6716 10370 A=0.08/s 10336 A=0.16/s 10320 A=0.18/s 10286 A=0.13/s 4076 A=0.09/s 4068 A=0.22/s

問題７ 平成1６年 1１月２９日 天文学部生はなるべく７－Ｂを選ぶよう。 問題７　　　　　 　　　　　　　平成1６年 1１月２９日 　　　　　　　　　　　　　　　　　　天文学部生はなるべく７－Ｂを選ぶよう。 問題　７－Ａ 等価p電子が３個の場合に、　4S, 2P, 2D　項が現れることを示せ。やり方はｐ２の場合に習えばよい。等価p電子が４個の場合、5個の場合はどうか？ 問題　７－Ｂ 電離領域での、エネルギー基底状態と励起状態との間の遷移を下図のように考える。 統計重み 数密度（ｃｍ－３） 励起状態 Ｎ２ ｇ２ 衝突励起 衝突落下 自然放出 Ｎ２ ・Ａ２１ Ｎｅ・Ｎ１ ・Ｃ１２ Ｎｅ・Ｎ２ ・Ｃ２１ Ｎ１ ｇ１ 基底状態

すると、平衡の式は、Ｎｅ・Ｎ１ ・Ｃ１２ ＝Ｎｅ・Ｎ２ ・Ｃ２１ ＋Ｎ２ ・Ａ２１ 惑星状星雲やＨＩＩ領域からはＯＩＩの強い輝線が出る。禁制線[OII]3726と[OII]3729について上の数値をあたると、以下の通りである。また、電離領域の温度（電子の運動温度）は多くの場合Ｔ＝８０００－１２０００Ｋである。 　　　　　　　　　　　　　　　　 [OII]3726　　　　　　　　　　[OII]3729 準位２（上）　　　　　　　　　２Ｄ３/２　　ｇ＝４　　　　　　　　　 ２Ｄ５/２ 　ｇ＝６ 　　　　　　　 準位１（下）　　　　　　　　　 ４Ｓ３/２ 　ｇ＝４　　　　　　　　　 ４Ｓ３/２ 　ｇ＝４ Ω（１，２）　　　　　　　　　　０．５８８　　　　　　　　　　　　　　０．８８２ Ａ２１　（ｓ－１）　　　　　　　　１．８×１０－４　　　　　　　　　　 ４．２×１０－５ 　　　　　　　

（１）　輝線強度 Ｉ はＮ２・Ａ２１・ｈνに比例すると考えて、2本の輝線の強度比 　　　　Ｒ＝( I3729 / I3726 ) をＮｅ（ｃｍ－３）の関数として表わせ。 （２）　Ｎｅ０、Ｎｅ∞の時のＲを表わせ。その物理的な意味を考えよ。 （３）　縦軸にＲ、横軸に log10 Ne (cm-3) をとってグラフにせよ。（１＜Ｎｅ＜１０５） （４）　下の表はＨＩＩ領域と惑星状星雲で観測されたライン強度比Ｒの値である。 　　　　各天体でＴ＝１００００Ｋと仮定して、グラフからＮｅ（ｃｍ－３）を求めよ。 　　　　（１－２桁程度でよい） 　　　　　　　　　　　　　　天体名　　　　　　　　Ｒ 　　　　ＨＩＩ領域　　　　ＮＧＣ１９７６Ａ　　　　０．５０ 　　　　　　　　　　　　　Ｍ８（Ｈｏｕｒｇｌａｓｓ）　０．６５ 　　　　　　　　　　　　　ＮＧＣ７０００　　　　　１．３８ 　　　　惑星状星雲　　ＮＧＣ７０２７　　　　　０．４８ 　　　　　　　　　　　　　　ＮＧＣ３５８７　　　　１．３４ 　　　　　　　　　　　　　　ＩＣ４１８　　　　　　　０．３７