計算理工学基礎 第4回 － コンピュテーショナル・ファイナンスの基礎 － 計算理工学基礎　第4回 － コンピュテーショナル・ファイナンスの基礎 － 2006年5月2日 張研究室　山本有作

はじめに 数理ファイナンスにおける課題 金融取引（株式売買，為替取引，融資など）に伴うリスクを数学モデルにより定量的に求めてその低減を図り，効率的に利益を得る方法を追求する。 実際の問題では，解析的に解を求めることが困難な場合が多い。 ファイナンス理論では，確率論をはじめとする数学が大きな役割を果たす。 更に，実際の問題に適用するには，数値計算が必須。 そのため，数学出身者が多い。 金融工学とも呼ばれる。 数値計算により解を求めるコンピュテーショナル・ファイナンスが重要

コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ 資産価格のモデル化 株価，為替レート，金利などはどのように時間変化するか。 その統計的な法則を調べ，モデル化する。 デリバティブの設計・価格計算 市場変動による損失を回避するための，デリバティブ（金融派生証券）と呼ばれる商品群がある。 デリバティブを設計し，その経済学的に妥当な価格を計算する。 デリバティブについては，後ほど詳しく説明。

コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ リスク管理 金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価 市場リスク：　資産価格の変動による損失の可能性 信用リスク：　貸し倒れによる損失の可能性 資産運用最適化 様々な種類の資産（株式，国債，外貨など）を組み合わせることにより，最小限のリスクで最大限の利益を得られる運用方法を求める。 銀行は様々な企業にお金を貸して利子を稼ぐが，倒産すると返してもらえなくなる。 普通は担保を取るが，担保として取った土地の価値がなくなることも。 不良債権の問題でリスク管理の重要性がクローズアップされたことは記憶に新しい。 投資信託の会社。預かった資金をどのように運用すればよいか。

授業の目標 代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。 資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について学ぶ。 上記を用いてオプションの価格計算を行う。 生協の書籍部の数学の棚に行くと，金融工学と呼ばれる本がたくさん並んでいる。 ブラック＝ショールズという名前のついた本もたくさん見つかるはず。

参考書 今野浩： 「金融工学の挑戦」，中公新書，2000. 今野浩：　「金融工学の挑戦」，中公新書，2000. P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne （伊藤幹夫，戸瀬信之訳）：　「デリバティブの数学入門」，共立出版，2002. P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison：　“Option Pricing”，Oxford Financial Press, 1993. 森真：　「なっとくする数理ファイナンス」，講談社，2001. 今野先生の本は，本講義で扱うテーマの概要を知るには大変お勧め。 講義はOption Pricing の本に沿う。ただし，確率論の基礎についてもう少し簡単なところから述べる。

株価の時間変化の例 (1) 米国IBM社の株価 2002年４月～2004年４月の２年間

株価の時間変化の例 (2) トヨタの株価（ニューヨーク証券取引所） 2002年４月～2004年４月の２年間

為替レートの時間変化の例 ドル／円の為替レート 2003年４月～2004年４月の１年間

株価・為替レートデータの入手先 株価 ドル／円の為替レート Yahoo! Finance 朝日新聞（経済 為替欄） http://finance.yahoo.com/ ページトップの “Enter Symbol(s)” の欄に会社名の略号（IBM, TMなど）を入力 １日～５年間のグラフが見られる。 ドル／円の為替レート 朝日新聞（経済　為替欄） http://www.asahi.com/business/exchange.html 過去３ヶ月間，１年間のグラフが見られる。 実際に生のデータに触れて欲しい。 データの入手先を紹介する。

Yahoo! Finance

１. オプションとは オプションとは オプションの例 将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利 １.　オプションとは オプションとは 将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利 対象となる金融商品：　株式，債券，外貨，etc オプションの例 １年後にトヨタの株を3500円で売却する権利 --- プットオプション ３ヵ月後に１ドルを120円で購入する権利 --- コールオプション 資産価格 St このグラフは株価あるいはドル価格などの資産価格が，時間につれて変動する様子を描く。 確率的に変動するから，いろいろな可能性がある。 コールオプションの買い手は，満期Tにおいてドルをこの価格で購入する権利を持つが，義務は持たない。したがって，もし満期の時点でドルが125円より下がっていれば，権利を放棄して市場でドルを買ったほうが得。 一方，オプションの売り手は，自分が損をしても指定された価格で売る義務を負う。 St – K > 0 : 権利を行使 St – K 円の利益 行使価格 K St – K < 0 : 権利を行使しない。 （市場で購入したほうが得） 満期 T 時間 t

１. オプションとは オプションの用途 例： コールオプションによる為替リスクの回避 将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。 １.　オプションとは オプションの用途 将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。 これにより，市場変動によるリスクを回避する。 例：　コールオプションによる為替リスクの回避 ３ヵ月後に，ある原材料をアメリカから輸入したい。 購入代金は，その時点にならないと用意できない。 しかし予算は １ドル = 120円 を前提として組んでおり，万一３ヵ月後の時点で円が大きく下がっていると，赤字となる。 満期 T = ３ヶ月，行使価格 K = 120円 のドルのコールオプションを購入することにより，為替リスクを回避可能。

１. オプションとは オプションの種類 ヨーロピアンオプション アメリカンオプション 満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション １.　オプションとは オプションの種類 ヨーロピアンオプション 満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション 前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。 アメリカンオプション 満期Tまでの間のいつでも権利行使が可能なオプション 市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。 St この時点でのみ行使可能 K T t オプションには非常に多様な品種がある。 もっとも基本的なものはヨーロピアンとアメリカン。 いま，緑の線のシナリオを考える。最後まで持っていると，権利は行使しないまま終わる。 しかし，もし… 赤丸の時点で権利を行使して買い，すぐに市場価格で売れば，利益を手にする。 St 価格が下落して権利が無駄になりそうだと予測すれば，　　の時点で行使可能 K T t この期間にいつでも行使可能

１. オプションとは オプションの種類（続き） バリアオプション ルックバックオプション １.　オプションとは オプションの種類（続き） バリアオプション 資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション ヨーロピアンタイプ，アメリカンタイプの両方がある。 ルックバックオプション 満期Tにおいて，期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプション St バリアレベル 　　の時点でオプション無効化 K T t 他の種類のオプションでポピュラーなものとしては… なぜこんなオプションがあるかというと，売る側の保護のため。 市場価格と行使価格の差があまりにも開くと，売る側は大損。 それを避けるため，ある価格以上になると権利が消滅するというオプションがある。 St 　　の時点での価格で購入可 K T t

１. オプションとは オプション市場の拡大 オプションの多様化 国内のデリバティブ市場は420億ドル規模（日銀調査による） １.　オプションとは オプション市場の拡大 国内のデリバティブ市場は420億ドル規模（日銀調査による） オプションの多様化 金融以外の商品に対するオプション 原油，銅，大豆，etc 天候デリバティブ リアルオプション 事業価値，特許価値などの評価 いま説明したオプションに加えて，様々なデリバティブ，金融派生商品と呼ばれる商品群がある。その市場規模は…。 オプション市場の拡大に伴って，その価格評価や，後に説明するリスク管理などの金融工学市場も拡大しつつある。 天候デリバティブ --- 気温や天気がある条件を満たしたとき，払い戻しがあるオプション。保険に似ている。 リアルオプション --- オプションではないが，オプション理論の考え方を用いて，事業の価値や特許の価値などを判定する方法。この発表で述べるようなオプション価格の評価方法が使える。

２. オプションの価格評価 オプションの価格 価格評価の方針 オプションの買い手： 自分が利益を得られる場合にのみ，権利行使。 ２.　オプションの価格評価 オプションの価格 オプションの買い手：　自分が利益を得られる場合にのみ，権利行使。 オプションの売り手：　 自分が損する場合でも，行使価格で商品を売る 　　 （買う）義務がある。 オプション契約が成立するには，買い手が売り手に対し，代価（= オプションの価格）を支払う必要あり。 価格評価の方針 資産価格はランダムに変動すると仮定。 より正確には，価格が幾何的ブラウン運動をすると仮定 権利行使により買い手が得られる利益の期待値を，オプションの価格とする。 正確には，リスク中立確率などの議論が必要 オプションは２者間の取引となる。 ここで，考えてみると… これは，きわめてわかりやすい考え方。

オプション価格の例 IBM株に対するオプション（2004年４月満期）

オプション価格データの入手先 アメリカ Chicago Board Options Exchange (CBOE) http://quote.cboe.com/QuoteTable.asp 左上の “Enter a Stock or Index symbol” の欄に会社名の略号を入れ，“Submit” を押す。 “List all options and LEAPS” にチェックをしておくと，すべての行使価格，満期に対するオプション価格が表示される。

Chicago Board Options Exchange (CBOE)

ブラウン運動のシミュレーション [0,1]を1000分割した計算

資産価格のモデル化の例 幾何的ブラウン運動（S0=100，μ=0.05，σ=0.2）

オプション価格の計算例 バリアオプション

オプション価格の収束 バリアオプション