非圧縮粘性流れに対する カルマンフィルター有限要素法の適用 非圧縮粘性流れに対する　　 　　カルマンフィルター有限要素法の適用 加藤　有祐 中央大学理工学部土木工学科川原研究室

求めたい場所を直接観測できるとは限らない はじめに Intro1 流速・圧力… 多くの問題 求めたい場所を直接観測できるとは限らない It is important to get to know the flow velocity and fluid power of fluid, when preventing flood damage. For example, I want to know flow velocity here. But there are many problems. I want to estimate this point using limited observation data Then, solution of these problems is explained next sheet. 観測値は様々な誤差を含む

はじめに 有限要素法 カルマンフィルター Filtering 時間方向の推定 さまざまな自然現象を解析できる 空間方向の推定 noise Intro2 有限要素法 数値解析法の一つ さまざまな自然現象を解析できる カルマンフィルター Filtering noise ノイズで乱された観測値から 未知パラメータを推定する 時間方向の推定 空間方向の推定 My research use kalmanfilter and finite element method. Finite element method is one of numerical analysis method and approximation of space direction method. If differencial equation and boundary conditions of natural phenomenon are analyzed by FEM, Various Approximate solutions is obtained. Kalman Fileter is one of estimation method. This method is used various scean. Kalman filter is the method of estimating unknown parameter using observation data distroted by noise. But this method is not able to estimate the state values in space direction. これらの手法を使うことで、 But I use these methods,then,

求めたい場所を直接観測できるとは限らない はじめに Intro1 流速・圧力… 多くの問題 などなど….. 求めたい場所を直接観測できるとは限らない It is important to get to know the flow velocity and fluid power of fluid, when preventing flood damage. For example, I want to know flow velocity here. But there are many problems. I want to estimate this point using limited observation data Then, solution of these problems is explained next sheet. 観測値は様々な誤差を含む

カルマンフィルター有限要素法は時間方向だけでなく カルマンフィルター有限要素法は限られた点から カルマンフィルター + 有限要素法 カルマンフィルター有限要素法は時間方向だけでなく 空間方向にも推定できる カルマンフィルター有限要素法は限られた点から 全体を推定できる

ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター 目的 ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター 有限要素法を適用する 　　　推定点での推定値と観測値を比較する ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター 有限要素法を適用できるか確認 Purpose of my research, Fluid problem is treated in my research. Therefore,navier-stokes equation is applied in my research in order to analyze fluid. The Kalman fileter finite element method is applied to the Navier-Stokes equation. I Make a Comparison between the estimation value and the observation value. Herewith, to check whether can apply the Kalman Filter Finite Element Method to the Navier-Stokes equation

ナビエ・ストークス方程式 State Equation ui : 流速 p : 圧力 : 動粘性係数 この研究では、物理モデルとして非圧縮ナビエストークス方程式を用いる。 As a state equation, incompressible navier stokes equation is used in this research. Because, Navier-stokes equation can analyze various fluid. So, it purpose at extending the possibility of Kalman Filter. The equations show the momentum and continuity equations of Navier-Stokes equation. U is veloity, p is pressure, v is viscosity coefficient p : 圧力 : 動粘性係数

State Equation of Kalman Filter カルマンフィルターの基礎方程式 システムモデル State Equation of Kalman Filter 観測モデル : 状態ベクトル : 観測ノイズ : システムノイズ : 観測ベクトル As a state equation of Kalman filter , it is applied state space model. State space model consist system model and observation model. : 状態遷移行列 : 観測行列 : 駆動行列

カルマンフィルター有限要素法 有限要素方程式 The figure shows Kalman filter algorithm. K is kalman gain, p is estimated error covariance, Γis predicted error covariance, x* is optimal estimate value, Xhat is estiate value. Red zone is the state transition matrix The finite element equation is アサインド to this matrix , kalman filer finite element method is made.

ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルターを適用 時間方向の離散化は陽的オイラー法でなければ 有限要素方程式は一つのマトリックスでなければ find qualified ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルターを適用 するために・・・ ① 時間方向の離散化は陽的オイラー法でなければ ならない ② 有限要素方程式は一つのマトリックスでなければ ならない I must Find qualified method so as to apply the KF-FEM into Navier-Stokes equation. Tmporal discretization must be explicid euler method. This reasen is explained next slide. The right hand matrix of Finite element matrix must be one matrix

陽的オイラー法 Explicit E uler Method カルマンフィルターへ Like this Finite Elment Method Must be made In order to apply Finite Element Method to Kalman Filter. Non diagonal element of left hand side put together diagonal element, Lumped coeficcient is obtained. This equation substantly can be solve without inverse matrix. This solution is called explicit euler method. This matrix is applied state transition matrix of Kalman Filter. カルマンフィルターに有限要素法を適用するためには、 このような有限要素方程式をつくる必要があります。 左辺の対角項のうち、非対角項を対角項へ集中化させることで、 逆行列を求めないで解くことができます。 この部分をカルマンフィルターの状態遷移行列に適用します。 ですが、今研究で使用するナビエストークス方程式は、 連続式にＰを含まないことなどからこのような 有限要素方程式になります。 よって、このままではＫＦに適用することはできません。 そこで、解決策として圧力場と流速場を分離する分離法を用いることを 提案します。

ナビエ・ストークス方程式を適用するのが難しい About navier 左辺が集中化できない 陽的オイラー法 一つのマトリックス カルマンフィルター有限要素法に ナビエ・ストークス方程式を適用するのが難しい But, Finite element equation of naiver stokes equation is expressed this. Because continity equation doesn’t include pressure. Diagonal matrix consisting lumped coefficient can’t be made. If nothing is done, can’t apply naiver stokes equation to Kalman Fileter. So, I propose a solution that divide velocity from pressure.

分離 ニューアプローチ 流速 圧力 陽的オイラー法 Step 2 Step 1 New Approach 　　陽的オイラー法 　 分離 Step 1 圧力 Step 2 流速 In this research is applied Separation method. Temporaly discretization is applied explicit Euler method using Selective lumping parameter method. This equation is separated by pressure and velocity. Step 1 is obtained n+1 time step pressure. Step 2 is obtained n+1 time step velocity.

圧力 ニューアプローチ Step 1 This is First step to solve the pressure. New Approach –press- This is First step to solve the pressure. This equation is differentiated with respect to u. So this equation is maded. continuity equation into this equation. And pressure poisson equation is obtained.

ニューアプローチ 空間方向の離散化 The spacial discretization is carried out applying the Galerkin method. The pressure is interpolated using linear element.

流速 ニューアプローチ 空間方向の離散化 Step 2 New Approach –ve- 空間方向の離散化 This is a second step to solve the velocity. The spacial discretization is carried out applying the Galerkin method. The velocity is interpolated using linear element Obtaining first step pressure in here.

境界条件問題 Boundary problem P = 0 影響 P = 0 影響 Pressure boundary conditoin is need In order to solve Pressure poisson equation If don’t set the pressure boundary condition, this equation can’t solve. But, pressure bandary condition is nothing in actual phenomenon. Therefore, Pressure boundary condition set to here for descriptive purposes. But, to set boundary condition here is not so good idea because in a actual situation, pressure boundary condition of here is not equal 0. This pressure boundary condition adverse affect to analysis value. Solution of this promlem is outlined below. Consiquately, analysis domain is made longer. as setting boundary condition here, effection of boundary condition can be reduced.

境界条件問題 P = 0 P = 0 These figure shows the pressure distribution. Boundary problem2 P = 0 P = 0 These figure shows the pressure distribution. I make a comparison analysis value between before domain and this domain of long domain. This figure is this part. Such a difference appears.

状態遷移行列 F 状態遷移行列 F This matrix of finite element equation shows State transition matrix. S is advection term.

数値解析例 計算モデル 節点数 : 878 要素数 : 1624 有限要素分割 v=0 D 3.5D 27.5D U=1 P=0 V=0 Numerical Example 有限要素分割 節点数 : 878 要素数 : 1624 The figure shows computational model and finite element mesh. The total number of Nodes and elements are 878 and 1624, respectively. Boundary condition of this line is velocity given, this lines are slip conditions. This line is non-slip condition. This line is pressure = 0.

観測点 観測点 推定点 The figure shows Finite element mesh. Observation point 観測点 推定点 The figure shows Finite element mesh. Observation point is four point.Estimation point is here.. Estimation value is obtained using these observation data.

ノイズ noise noise Velocity Velocity Time Time noise Pressure Time These figures show the analysis value using Finite element method. In this research, add noise to ovservation data in order to ascertain the effect of Kalman filter finite element method. Time

Pressrue Distribution 圧力分布図 Pressrue Distribution カルマンフィルター有限要素法 These figure show the pressure distribution of whole domain. Whole domain is estimated using observation data. This figure show the pressure distribution using kalman filter finite element method. The other hand show the pressure distribution using finite element method. These figure is good agreement! Whole domain can be removed noise. 有限要素法

観測点 観測点 推定点 The figure shows Finite element mesh. Observation point 観測点 推定点 The figure shows Finite element mesh. Observation point is four point.Estimation point is here.. Estimation value is obtained using these observation data.

結果 <ｘ方向の流速> 推定値 観測値 Time As a result, 結果　<ｘ方向の流速> 観測値 推定値 Time Result of x-velocity As a result, The figure shows velocity-x. red line is estimation, green dot line is observation. Tow lines is good agreement.

結果 <ｙ方向の流速> As a result, 結果　<ｙ方向の流速> Result of y-velocity As a result, The figure shows velocity-y. red line is estimation, green dot line is observation. Tow lines is good agreement.

結果 <圧力> As a result, 結果　<圧力> Predicted pressure As a result, The figure shows pressure. red line is estimation, green dot line is observation. Tow lines is good agreement. I invite your attention to this. Early time step couldn’t remove noise. As a One of cause, I think so that how to give initial condition of predicted error covariance. この部分に注目してください。これ以降に比べて、ノイズが取りきれていない のが分かります。 その原因の一つとして、予測誤差共分散の初期条件にあると考えます。

Predicted error covariance 初期予測誤差共分散 Predicted error covariance 単位行列 予測誤差共分散(200) Unit matrix set to the predicted error covatiance in before result. Because, it is difficult to set the initial condition of predicted error covairance. Case2 estimate using predicted error covariance at the 2000 time step. I tried setting the predicted error covariance at the 2000 time and estimating. 2000 time step is chosen because Kalman gain is convergence enough. 先ほどの解析結果は、予測誤差共分散の初期条件を単位行列で与えていた。 なぜならば予測誤差共分散は最適な初期条件を与えることが現在難しい。 今回、その解決策として、一度２０００ステップまで計算を行い、そのときの予測誤差共分散を 初期条件として計算してみた． : 予測誤差共分散

結果 <圧力> 予測誤差共分散(200) 単位行列 Result 2 予測誤差共分散(200) 単位行列 This figure show the pressure setting unit matrix. This figure show the pressure setting predicted error covariance at the 2000 time step. Comprared with these result, this rsult removed the noise. So, initial conditon of predicted error covariance is one of the cause of this problem. 二つを比較すると、ノイズが取れています。 よって、初期条件の与え方が原因の一つであったことがわかりました。

ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター ４点の観測点から全体を推定することができた まとめ ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター 有限要素法を適用できた 観測誤差を取り除くことができた ４点の観測点から全体を推定することができた カルマンフィルター有限要素法を使った推定値は 観測値と一致した In my research, many problems is solved.

Result 2 <X-Velocity> Time Result 2 　at the 2000 - time Time Unit Matrix This figure show the pressure setting unit matrix. This figure show the pressure setting predicted error covariance at the 2000 time step. Comprared with these result, this rsult removed the noise. So, initial conditon of predicted error covariance is one of the cause of this problem. 二つを比較すると、ノイズが取れています。 よって、初期条件の与え方が原因の一つであったことがわかりました。 Time

Result 2 <Y-Velocity> 　at the 2000 - time Time Unit Matrix This figure show the pressure setting unit matrix. This figure show the pressure setting predicted error covariance at the 2000 time step. Comprared with these result, this rsult removed the noise. So, initial conditon of predicted error covariance is one of the cause of this problem. 二つを比較すると、ノイズが取れています。 よって、初期条件の与え方が原因の一つであったことがわかりました。 Time

Boundary Conditions The figure shows boundary conditions. Γ1 is verocity known. 2 is slip condition. 3 is non-slip condition. 4 is traction =0 and pressure = 0,

Longmesh conter

Velocity Vector Result KF-FEM FEM This figure shows the velocity vector. I make a comparison between the estimation value and the analysis value at the all domain. KF-FEM and FEM is good agreement on every point. FEM

Pressure Conter Result KF-FEM FEM This figure shows the Pressure conter. I make a comparison between the estimation value and the analysis value at the all domain. KF-FEM and FEM is good agreement on every point. FEM

Matrix of Pressure poisson equation

Linear Interpolation Linear element １ ３ ２ This is linear element

NOISE KF-FEM KF-FEM

The KF-FEM is applied to the actual phenomenon. Future Work Future work It is neccesary to consider about pressure boundary condition on the outflow boundary. The KF-FEM is applied to the actual phenomenon.