参考書 佐藤 淳： 「コンピュータビジョン －視覚の幾何学－」 コロナ社 視覚の幾何学3 呉海元＠和歌山大学 参考書 佐藤　淳： 「コンピュータビジョン　－視覚の幾何学－」 コロナ社

２眼視の幾何: Two-View Geometry x3 x’3 x2 x’2 x1 x’1 courtesy of F. Dellaert 画像間の点（xi to x’i ）の対応関係は 　・カメラ間の剛体変換（カメラ行列） 　・シーンの構造 により決定　

特徴に基づいた立体視 corner 差(disparity) 2枚の画像から 3次元情報を復元

立体視の原理 カメラキャリブレーション済みなら 光軸は平行になるように変換（R,tが既知） ２Ｄ⇒３Ｄ 問題： 対応点の探索をどう絞るか？ p l r P Ol Or Xl Xr Pl Pr Zl Yl Zr Yr R, t t X’l Xl’ = T, Yl’ = Xl’xZl, Z’l = Xl’xYl’ カメラキャリブレーション済みなら 光軸は平行になるように変換（R,tが既知） ２Ｄ⇒３Ｄ　 Pr = R (Pl – T) Pl’ = Rrect Pl Pr’ = Rrect RT Pr First rotate the right camera so that it’s three axes parallel to the left camera; then Rotate both camera so that they have the same x axis, and Z axes are parallel 問題： 対応点の探索をどう絞るか？

エピボラ幾何(Epipolar geometry） 複数の視点における相対的なカメラの位置や姿勢の情報を エピポーラ幾何（Epipolar geometry）と呼ばれる画像特 有の幾何によって記述できる O O’ カメラ間の剛体変換（カメラ行列）

エピボラ幾何（Epipolar Geometry） Baseline: カメラ中心C, C’を繋がる直線 Epipolar plane p: baselineとシーンの中の点 Xより決定された平面 エピボラ平面 baseline from Hartley & Zisserman

エピボラライン（Epipolar Lines） Epipolar lines l, l’: epipolar plane p と画像面との交線 Epipoles e, e’: baselineと画像面との交点 C C’ from Hartley & Zisserman エピボラ平面 Epipolar line エピボラライン Epipolar line Epipole エピホール Epipole ベースライン

Epipolar Pencil X の位置を変化すると、epipolar planes はbaselineの周りに“rotate” Epipolar lines はepipole から“radiate” これは pencil of epipolar lines from Hartley & Zisserman epipolar pencil エピボラペンシール pencil of epipolar line

エピボラ制約（Epipolar Constraint） エピボラ幾何より、片方の画像内の一点はかならずもう一方の画像内のエピボラ直線（１Ｄ）上存在 x’ C’ C from Hartley & Zisserman

例：Epipolar Lines for Converging Cameras Left view Right view from Hartley & Zisserman epipolar linesの交線 = Epipole ! 他方のカメラ中心の位置を表す ロボット・カメラの移動軌跡の推定

特例: Translation Parallel to Image Plane カメラの運動が画像面と平行する場合、 　　・epipolar linesは平行 　　・対応点は対応 epipolar line上に存在 (全種類のカメラ運動)

特例: Translation along Optical Axis カメラの運動が画像平面と垂直： Epipolesはfocus延長線上に一致 一般的に、無限遠点と異なる e e’

ステレオから3眼視へ エピボラ幾何より、片方の画像内の一点はかならずもう一方の画像内のエピボラ直線（１Ｄ）上存在 対応付け： C C’ x’ 対応付け： 左側の画像上の1点 右側の画像上の一本の直線

Transfer: epipolar transfer 点点 Using more cameras to remove match ambiguity

3眼視

透視カメラのエピポーラ幾何 複数のカメラの関係や対象物との関係を考えるために、何か基準となる座標系を考えなければならない（各のカメラのカメラ座標系を元に考えるのではない） すべてのカメラや対象物に対して共通に決められた座標のことをワールド座標(world coordinates)と呼ぶ（ワールド座標を一つ決める） ワールド座標を基準に考えなければならない

Coordinate Transformations 座標変換 If we want to measure something (size of an object, depth of image points, distance between features……), we need to understand the geometry from image to world Coordinate system transformations Image (i) camera (c) world (w) object (o) xc zc yc yi xi xw zw yw xo zo yo

行列・ベクトルの外積

幾何変換 Geometric transformation

基本行列 (Essential matrix) ２カメラ間の姿勢と位置： R : 3*3 rotation matrix t : 3*1 translation vector pとp’が対応点同士なら： ⇒ 即ち：同一平面内の三つのベクトルから二つのベクトルの外積と残るもう一つのベクトルの内積は０となる エピボラ方程式 基本行列（Ｅ行列） 前提： pとp’は画像座標から計算された物理(カメラ)座標である （カメラの内部パラメータ既知） ★　Ｅが求まれば、tとＲに分解することができる

基礎行列（Fundamental matrix） 画像座標xと物理（カメラ）座標pの関係： 　　　x=Kp , x’=K’p’ ⇒ p=K-1x, p’=K’-1x’ 　　　 (K,K’ are the camera calibration matrix) 基本行列から : p’TEp=0 ⇒ x’TK’-TEK-1x=0 ⇒ x’TFx=0 　F= K’-TEK-1　基礎行列　（Ｆ行列） ●基礎行列はカメラの内部パラメータと外部パラメータの双方を含んでいる

基礎行列Fの性質 x’TFx=0 x=eの場合 (e is epipole) : x’TFe=0,∀x’ (∵全てのepipolar linesはepipoleの所に交叉)　⇒ Fe = 0 x’=e’の場合(e’ is epipole) : e’TFx =0,∀x ⇒ e’TF = 0 ⇒ FTe’ = 0 ●Ｆ行列が与えられれば、eとe’はそれぞれＦTFとＦＦTの最も小さい固有値に対応する固有ベクトルとして求められる

The Fundamental Matrix F 片方の画像内の点xがもう一方の画像内epipolar line l’ 上に対応付けることは： 　　　　　　l’ = F x このpoint-on-lineの関係は l’TFx = 0より決定され、l’T Fx = (Fx)T l’ = 0の関係も成り立つ F is 3 x 3, rank 2 (逆行列が求められない） line point

Homography 空間中の対象点がすべてある平面内の上にある場合

Homography 空間中の対象点がすべてある平面内の上にある場合 x’=Hx　空間内平面と画像間の投影 ホモグラフィ行列Hの自由度： 8

Compute H 一対の対応点 ((x,y,1)⇔(x’,y’,1))が分かれば、二つの方程式が得られる 4組み以上の対応点(n>=4)が分かれば、Ｈが唯一に決定できる (linear in hij)

Applying Homographies to Removing projective distortion select four points in a plane with know coordinates (linear in hij)

Homographies for Bird’s-eye Views from Hartley & Zisserman

Homography between images of planes x=H1xπ , x’=H2xπ x’=H2xπ=H2H1-1x=Hx 4組み以上の対応点(n>=4)が分かれば、Ｈが唯一に決定できる

Homographies for Mosaicing from Hartley & Zisserman

Stereo

Wider Baseline

Multi-Camera Stereo

Stereo

Multi-Camera Stereo