電気回路学 Electric Circuits コンピュータサイエンスコース、ナノサイエンスコース4セメ開講 回路に関する諸定理 山田 博仁

連絡事項 1. 教科書および参考書 1) 大学課程 電気回路(1) (第3版) 大野 克郎、西哲 生 共著、オーム社 　　1) 大学課程 電気回路(1) (第3版)　大野 克郎、西哲　生 共著、オーム社 　　2) 電気回路　- 三相、過渡現象、線路 -　喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店 　　3) 電気・電子工学基礎シリーズ　電気回路　山田 博仁 著、朝倉書店 2. 成績評価 　　・ 講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う 　　・ 講義点(約30点)は毎回講義時のレポート提出をもって認定する 　　・ 定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる 　　　(再試は行なわないかも知れない) 3. オフィスアワー 　　　随時、場所: 2号館203号室　(事前に電話またはE-mailにより予約のこと) 　　　E-mail: yamada@ecei.tohoku.ac.jp、電話(内線): 7101 4. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/ 5. 講義に関するご意見などはブログ「講義の落書き帳」へ: http://kougi.at.webry.info/

講義日程と内容 日程 (回目) 講義内容 教科書、参考書の章との対応 1) 2) 3) 　日程 (回目)　　　　　　講義内容　　　　　　　　　　教科書、参考書の章との対応 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1)　　　　　　2)　　　　　　3) 10/1　(第1回)　重ね合わせの理　　　　　　　　　　　　8.1　　　　　　-　　　　　5.1, 5.2 10/8　(第2回)　双対回路と相反定理　　　　　　　　8.2, 8.3　　　　 -　　　　 5.3～5.5 10/15 (第3回)　等価電源と補償定理　　　　　　　 8.4, 8.5　　　　 -　　　　　5.6, 5.7 10/22 (第4回)　供給電力最大の法則　　　　　　　　　8.6　　　　　　-　　　　　　3.4e 10/29 (第5回)　二端子対網、 Y行列　　　　　　　　9.1, 9.2　　　　 -　　　　　6.1, 6.3 11/5　 (第6回)　 Z行列と縦続行列　　　　　　　　　 9.3, 9.4　　　　 -　　　　　6.2, 6.4 11/12 (第7回)　諸行列間の関係、Y-D変換　　　　9.7, 9.8　　　　 -　　　　　 6.6, 6.7 11/19 (第8回) 　二端子対網の伝送的性質　　　10.1, 10.2　　　　-　　　　　　 6.8 11/26 (第9回)　円線図　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.7　　　　　 -　　　　　　3.5c 12/3　(第10回)　分布定数線路の方程式　　　　　　　 -　　　　 8.1～8.3　　7.1～7.4 12/10 (第11回)　線路の縦続行列、波の反射　　　　 -　　　　 8.4～8.6　　7.5～7.8 12/17 (第12回)　理想線路、無ひずみ線路　　　　　　-　　　　　　 8.8　　　　　7.9 1/7　　(第13回)　複合線路　　　　　　　　　　　　　　　　-　　　　　　 9.1　　　　　7.10 1/14　(第14回)　無損失線路と反射波　　　　　　　　　-　　　　　　 9.2　　　　　7.11 1/21　(第15回)　まとめ 1/28　(予備日)　　

TAの紹介 井元 敦生(M1) E-mail: imoto@ecei.tohoku.ac.jp 研究室Tel: 795-7104 電気回路学の学習に関すること、 何でもお気軽にご相談ください

線形回路 R(I) I V 実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている (非線形素子) V = R(I) I R (I1+I2) = R I1 + R I2 (重ね合わせ) 世の中には非線形な現象の方が多くてむしろ自然である。例えば、Aさんがりんご5個を買った時には1個100円であったものが、Bさんがりんご15個を買う時には1個95円、AさんとBさんが一緒に買いに来て、まとめてりんご20個を買っていくときには1個90円といったように、物の価格は必ずしも数に比例しない。 R が線形でなければ、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　である R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2 (重ね合わせ) R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1 のみが流れている状態と、I2 のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1 と I2 が同時に流れている状態に等価となる 実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に線形素子として扱える場合を対象にしている

重ね合わせの理 複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置に存在するときの分布の総和に等しい。 I I1 E1 J1 J2 Z2 Z1 Z4 Z3 E1 Z2 Z1 Z4 Z3 V V1 E1 のみ存在 その他の電源は殺す 電圧源→短絡 電流源→開放 複数の電源を含む回路網 In J1 Z2 Z1 Z4 Z3 Vn J1 のみ存在 その他の電源は殺す V = V1 + V2 + ‥ + Vn I = I1 + I2 + ‥ + In

重ね合わせの理の証明 n 個の電圧源 E1, E2, ‥, En が存在する線形回路網において、各閉路に電流 I1, I2,‥, In が流れていたとすれば、 インピーダンス (Z)行列 Z行列は、線形回路なので普遍 次に E1 のみが存在する場合の各閉路の電流を I11, I12,‥, I1n とすれば、 次に E2 のみが存在する場合の各閉路の電流を I21, I22,‥, I2n とすれば、

重ね合わせの理の証明 さらに En のみが存在する場合の各閉路の電流を In1, In2,‥, Inn とすれば、 (2), (3), ‥ ,(4)式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、 (5)式と(1)式とを比較すると、 即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。

重ね合わせの理 例題8.1 E1のみ I1 I E2のみ I2 重ね合わせの理 J のみ I3

重ね合わせの理 例題8.2 E1のみ I I1 重ね合わせの理 E2のみ Jのみ I2 I3

重ね合わせの理 演習問題(8.1) I I1 E1のみ

重ね合わせの理 E2のみ I2 I2 Jのみ I3

出席レポート問題 以下の回路において、I と I4 を求めよ E R1 J R2 R3 R4 I4 E 2E 2R J R I (a) (b) 次回の講義(10/8)の時までに提出された場合のみ、本日の出席を認定 提出先: 次回の講義時に持参するか、私のメールボックスまで

双対性 電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、このような対応関係にある概念は双対といわれる。 双対関係にある素子などの例 双対関係にある概念の例 電圧　V 電流　I インピーダンス　Z アドミタンス　Y 抵抗　R コンダンタンス　G インダクタンス　L キャパシタンス　C 電圧源　E 電流源　J リアクタンス　X サセプタンス　B 直列接続 閉路 カットセット 短絡 Y型接続 並列接続 開放 D型接続 キルヒホッフの第1法則 キルヒホッフの第2法則 双対回路 ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路があるとき、このような2つの回路を互に双対回路という。

双対回路 E R I I E L E = R I E = jw L I J V G J V C J = GV J = jw C V 上の2つは双対回路 上の2つも双対回路

双対回路の作り方 双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。 q p E Z 1 2 J Y 2’ 1’ q p 原回路 原グラフ 双対なグラフ 双対回路 電源など、極性のある素子の扱い (a) 電圧源　→　電流源 　原回路で点 p を囲んで時計回りに電圧が上昇(降下)する電圧源なら、新回路では点 p の方向(点 p から出る方向)に電流を流す電流源になる E E p J

双対回路の作り方 (b) 電流源　→　電圧源 　原回路で点 p を囲んで時計回りに(反時計回りに)電流を流す電流源なら、新回路では点 p の方向に電圧が上昇(降下)する電圧源になる J J p E (c) ダイオード　→　ダイオード 　原回路で点 p を囲んで時計回りに順方向(逆方向)のダイオードなら、新回路では p の向きに順方向(逆方向)のダイオードとなる p 以下の回路と双対な回路を求めよ E1 Z1 Z2 E2 Z3 J L C G

双対回路の作り方 E1 Z1 Z2 E2 Z3 原回路 原グラフ Y1 Y3 Y2 Y1 Y3 J1 J2 Y2 p q J1 J2 r 双対なグラフ

双対回路の作り方 4 J1 原回路の電源 J2が閉路2と同じ向きなので、節点2に向かうように E2=K J2 を入れる 1 2 J2 E2 3 4 J1 E1 J2 原回路の電源 J2が閉路2と同じ向きなので、節点2に向かうように E2=K J2 を入れる E2 原回路の電源 E1が閉路3と同じ向きなので、節点3に向かうように J1=E/K を入れる

逆回路 逆回路とは Z1 Z2 逆回路 2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを Z1, Z2 とするとき、その積が周波数 w に関係なく Z1 Z2 =K2 となるならば、二つの回路は K に関して互いに逆回路であるという。 逆回路の作り方 D=1/C ただし、D1=1/C1

逆回路 演習問題(8.2) Kに関しての逆回路を求めよ 逆回路 上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1 Z2 =K2 の関係を満たしていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する

逆回路 演習問題(8.2)の解答 Kに関しての逆回路は、

定抵抗回路 インピーダンスが w に依存しない二端子回路 下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、w には依存しない定抵抗回路 Z 10/8の出席レポート問題 　上記回路のインピーダンスがいずれも Rとなることを確かめよ 　※ 次回の講義(10/15)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと

定抵抗回路 演習問題(8.4) インピーダンス この式が、周波数 w の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項の係数の比が R0 に等しくなければならない つまり、 従って、

定抵抗回路 演習問題(8.6) I1+I2 E I1 V I2 I2 I1- I2 I1 I1+I2 ∴ また、

相反定理 Ep Ip’ = Eq’Iq 相反回路 Jp Vp’ = Jq’ Vq 相反回路 Ip’ Iq Black Box の関係が成り立つ時 Ep p q Eq’ 相反回路 Black Box Jp Jq’ Vp’ Vq Jp Vp’ = Jq’ Vq の関係が成り立つ時 相反回路

相反定理の証明 線形回路網 E1 E2 En I1 I2 In 回路が線形ならば、Z行列は電流値に依らず普遍。 また、回路網が相反回路なら、Zjk = Zkj が成り立つ。つまり、Z行列は対称行列となる。 線形回路網 E1’ I1’ I2’ In’ E2’ En’ また、各閉路に電圧源E1’, E2’, ‥, En’があるとき、各閉路の電流をI1’, I2’, ‥, In’とすると、

相反定理の証明 (1)式から、転置行列の公式および Z 行列が対称行列であることを用いて、 上式の両辺に対して右から を作用させると、

相反定理の証明 (2)式の関係より、 つまり、 従って、 この特別の場合として、p番目の端子対にのみ電圧源 Ep を接続し、それ以外の端子対を短絡(Ep≠0 = 0)した時、q番目の端子に電流 Iq が流れたとする。次にq番目の端子対にのみ電圧源 Eq’ を接続し、それ以外の端子対を短絡(E’q≠0 = 0)した時、 p番目の端子に電流 Ip’ が流れたとすると、EpIp’ = Eq’Iq となる。