物理システム工学科３年次 物性工学概論 第３回講義2004.4.27 火曜１限0023教室 大学院ナノ未来科学研究拠点 量子機能工学分野 佐藤勝昭

第２回の演習問題 問1： Naは原子１個につき１個のs電子を結晶に供給する。Naの結晶構造は体心立方(bcc)で、格子定数はa=0.43nmである。Naの電子密度を求めよ。 [ヒント] 1つの単位胞(unit cell)に原子はいくつあるか。８つのコーナーに1/8個ずつ、体心に１個。計２個。これを単位胞の体積で割れば、電子密度が得られる。 [解答]　n=2/(0.43nm)3 =25.15×1027m-3=2.515×1022cm-3　単位はm-3　またはcm-3　です。

第２回の演習問題 問2： 金属は、展性をもち叩いて箔(はく)状に延ばすことができるが、シリコンなどの半導体単結晶に衝撃を加えると、劈開(へきかい)して破壊される。この違いを、原子結合の違いから説明せよ。 [解答] 金属においては、原子同士が接近していて、外殻のs電子は互いに重なり合い、分子軌道を形成する。電子は、それらの分子軌道を自由に行き来し、もとの電子軌道から離れて結晶全体に広がり非局在電子となる。金属の場合、叩いて塑性変形しても非局在電子の海に正の原子核が浮かんでいる状態を保つことができるので、箔に引き延ばすことができる。一方、半導体結晶では、価電子は共有結合を作って原子間の結合分子軌道に局在しているので、結合は明確な方向性をもち、変形すると結合が保てなくなって、結晶面どうしがスリップしてずれ、破壊が起きる。

講義内容 金属の色：金、銀、銅、鉄、白金 ３原色：加法混色と減法混色/CIE色度図 ヒトが色を認識する仕組み 自由電子のプラズマ運動 誘電率と屈折率・消光係数 負の誘電率の意味するところ

金属の色：金、銀、銅、鉄、白金 銀 銅 しろがね あかがね 金 こがね 白金 くろがね 鉄

三原色 光の3原色（加法混色 ） 各色の強さを変えて混ぜ合わせると，いろいろな色の光になる。赤い光，緑の光，青い光を同じ強さで混ぜ合わせると， 白い光になる。 色の3原色 （減法混色） 各色を混ぜ合わせると，いろいろな色ができる。マゼンタ・シアン・イエローを同じ割合で混ぜると 黒になる。 赤(red) 緑(green) 青(blue) マゼンタ(red) シアン(blue) イエロー(yellow) http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm

CIE色度図 色を表す（表色）ためには， 一般に３つの数値が必要であるが，明るさの情報を犠牲にして２つの数値で色を表し，２次元の図に表現したものを， 色度図という． ある温度で光っている（熱放射・黒体輻射している）物体の色を測定して，温度と色の関係を色度図上に描くことができます．この曲線は黒体輻射の色軌跡と呼びます．なお，一般の光源は黒体輻射をしているわけではないので，色軌跡の上のある色で光っている光源の温度が，その点に対応する温度になっているとは限りません．そのため，色から決まる温度を色温度といいます 実際には感覚的な３原色RGBだけでは表せない色もあるので、機械による測色、表色、目の波長感度特性を詳しく調べて数値化した “表色上の３原色”である３刺激値XYZを使う。その３刺激値XYZにもとづいて，上記のような考え方にしたがい，２つの数値 (x , y ) を使ってxy 座標空間で色を表したものを， xy 色度図と呼ぶ。 http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm

ヒトはどのように色を認識するか 色を感じる 光を感じる なぜ３原色で表せるか。それは人間の色を感じる細胞が3種類あるからである。これらの細胞は錐体（すいたい）と呼ばれ，三種の錐体の送り出す信号の強さの違いによりさまざまな色を感じることができる。

RGB感度曲線とXYZ等色曲線 RGB感度曲線 一方，XYZ表色系はRGBでは再現できない色をも表現するシステムなので， XYZ表色系などにおける３色の“感度”曲線は，たとえば赤が2山のピークをもつなど少し変わった形になっています． http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm

XYZ等色曲線と金属の色 http://www.hk.airnet.ne.jp/shung/periodic_table_s.htm ３刺激値 金銀銅の分光反射率 http://www.hk.airnet.ne.jp/shung/periodic_table_s.htm

金銀銅の反射スペクトル 波長表示 エネルギー表示 佐藤勝昭：金色の石に魅せられて

貴金属の選択反射の原因 光は電磁波の一種である。つまりテレビやラジオの電波と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。 金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。 電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、電気分極が起きる。 外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に入れないことを示す。光が入れないということは、いいかえれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。

電気分極 電気双極子列 電気双極子 単純化した電気双極子列 金属の電気誘導 誘電体の電気分極 http://www.ce-mag.com/archive/2000/julyaugust/mrstatic.html

電子分極の古典電子論 (1) 自由電子 電子の位置をu、有効質量をm*、散乱の緩和時間をτとすると、自由電子に対する運動方程式は、 電子分極の古典電子論 (1)　自由電子 電子の位置をu、有効質量をm*、散乱の緩和時間をτとすると、自由電子に対する運動方程式は、 ここで、E、uにｅ-iωtの形を仮定し、代入すると

電子分極の古典電子論つづき1 これより変位uはEの関数として次のように表される 自由電子による分極Pf＝-Nfquの式に代入し

電子分極の古典電子論つづき2 、D＝ε0εrE＝ε0E＋Pの式を使うことにより、 これより ここに　　　　　　　　　　　である。これをドルーデの式 という。

①減衰項のない場合 とすると の形に書ける この式より、=pのときゼロを横切る。 　の形に書ける この式より、=pのときゼロを横切る。 <pのとき比誘電率r<0である。 負の誘電率は、電界と電束密度が逆向きで、電界が物質内に入り込めないことを意味する。

自由電子による電子分極 D=ε0E+P E 電界の印加により電子と核の 相対位置が変化し、逆向きの分極を生じる P ＋ － + + + + - E D=ε0E+P 電界の印加により電子と核の 相対位置が変化し、逆向きの分極を生じる

②減衰項のある場合 比誘電率rは複素数で表され、実数部を‘r、虚数部を”rとすると、 r＝ ’r＋i ”r 実数部、虚数部に分けて書くと下記のようになる。 は、プラズマ角振動数である。

②減衰項のある場合 つづき グラフにすると図のようになる。 誘電率の実数部は において0を横切る。 ②減衰項のある場合　つづき グラフにすると図のようになる。 誘電率の実数部は　　　　　　　 において0を横切る。 負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が起きる。

負の誘電率と反射率 電磁気学によれば、反射率Rは で表される。もし、比誘電率rが負の実数ならば、aを正の数として、 r＝-aと表されるから、上の式に代入して すなわち100%反射する。

参考：マクスウェル方程式 rotH＝D/t rotE＝－B/t ここに，E，Hは，それぞれ，電界[V/m]，磁界[A/m]を表すベクトル量である．また，D，Bは，それぞれ，電束密度[C/m2]，磁束密度[T(ﾃｽﾗ)]，]を表す。 媒質が等方的であり，磁界や電界などがなければ，DとEの関係，BとHの関係は，スカラーの比誘電率r，比透磁率r を用いて D＝r0E B＝r0H (10) と書き表される。0，0は真空の誘電率および透磁率である．ここに，00=1/c2であることに注意しておこう。

負の誘電率と反射率 空気中から複素屈折率Nの媒体への垂直に入射した光の電界に対する振幅反射率は r=(N-1)/ (N+1)で与えられる。 もし、比誘電率rが負の実数であったとし、 r­=-a(aは正の数)とすると、N=r1/2=ia1/2 であるから、r= ( ia1/2-1)/( ia1/2+1)である。 光強度の反射率Rは電界の絶対値の２乗に比例するのでR=|r|2=(a+1)/(a+1)=1、即ち100%となる。

貴金属の誘電率スペクトル

復習してほしいこと 自由電子に対する運動方程式を解いて、電界Eを加えたときの電子変位uを求め、P=nquを使って分極Pを計算し、D=0P+E、D= r0Eからrに対する式(Drudeの式)を求めよ。 Maxwellの方程式を解いてr＝N2を導け。 ただし、 rot rot E=-2E+(・E)Eおよび ・E=0を考慮せよ。

予習の勧め シリコンのバンド構造について 量子物性工学配付資料2001,5.25 に基づいて(http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/r010525p.pdf) 原子の寄り集まりと電子のバンドの項を読んでおいてください。 k空間の考え方を修得してください。

第３回の問題 問1：さまざまな色が３原色によって表される理由を述べよ。 問２：金が金色である原因と、半導体であるゲルマニウムや黄鉄鉱(FeS2)が金色を示す原因は異なっている。何が違うのかを関与する電子状態を考えて説明せよ。